Calculus Marathon (2)

[passer-by]

ไม่ต้องใช้อะไรพิเศษหรอกครับ น้อง timestopper

เพียงแต่ขอบเขตคราวนี้มันไม่ใช่ rectangular region การสลับขอบเขตเลยไม่ใช่เพียงแค่สลับขอบเขตในกับขอบเขตนอก แต่ต้องเขียนใหม่ทั้ง 2 ขอบเขตภายใต้ area เดิม

เดิมบริเวณ $dvdu$ มันเป็น $ 0 \leq v \leq u \,\,\, , u \geq 0 $ ดังรูปข้างล่างก่อนหมุน (บริเวณ A cover ใต้เส้นถึง infinity นะครับ)

แล้วก็เปลี่ยนเป็นขอบเขตแบบ $dudv$ ก็เหมือนน้องมองเอาแกน v เป็นเส้นนอน และแกน u เป็นเส้นตั้งน่ะครับ ก็จะเห็นเป็นรูปล่าง และขอบเขตก็จะเป็น $ v \leq u < \infty \,\,\, , v \geq 0 $

NOTE : $\infty$ ที่ผมเขียนบรรทัดก่อน เป็นแค่ notation เท่านั้นนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ Timestopper_STG:

งงตอนสลับขอบเขตอะครับ
ทำไมพอสลับduกับdvละขอบเขตเปลี่ยนเป็น0ถึงuเป็นvถึง$\infty$
ต้องใช้ความรู้เรื่องอะไรป็นพิเศษรึเปล่าครับ

ใช้ความรู้เกี่ยวกับเซตและฟังก์ชันครับ ตัวลิมิตการอินทิเกรตก็คือเซต พอเราเปลี่ยนตัวแปรก็เหมือนกับเรา apply ฟังก์ชันลงบนเซตนั้น ตัวลิมิตการอินทิเกรตหลังจากเปลี่ยนตัวแปรจึงขึ้นอยู่กับ image ของเซตเริ่มต้นที่ส่งผ่านโดยฟังก์ชันที่เราใช้เปลี่ยนตัวแปรครับ อย่างกรณีนี้การสลับตัวแปรในการอินทิเกรตก็คือการใช้ฟังก์ชันสลับตัวแปร $u$ กับ $v$ นั่นเองครับ แต่เวลาเราเขียนมักจะใช้ตัวแปรตัวเดิมจึงทำให้งงครับ จริงๆถ้าเปลี่ยนเป็น $x$ กับ $y$ ก็จะทำให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นครับ

มีสุดยอดวิชาอยู่สามอย่างที่ใครได้มาครอบครองก็จะได้เป็นนักคณิตศาสตร์ผู้เยี่ยมยุทธ์ สามสิ่งนั้นคือ ความรู้เกี่ยวกับ ตรรกศาสตร์ เซต และ ฟังก์ชัน ครับ

[passer-by]

BRIEF SOLUTION #80

The answer is $ \mathbf {\frac{6}{\pi}}$
Set $ x=\frac{1}{y} $
First equation becomes $$ g(\frac{1}{y}) - \frac{d}{dy}\bigg(\frac{1}{y^2}g'(\frac{1}{y}) \bigg) =0 \,\, \cdots(*)$$
Let $ w= g(\frac{1}{y})$ and hence (*) becomes $$ w(y)+w''(y)=0 \Rightarrow w= c_1\cos y +c_2 \sin y \Rightarrow g(x)= c_1\cos(\frac{1}{x}) +c_2 \sin(\frac{1}{x})$$
Since $\lim_{x\rightarrow \infty} xg(x)=1 $ ,it forces $c_1=0$ and then $ c_2=1$
Now $ g(x)= \sin(\frac{1}{x}) $ and we can easily solve for $a$.

[M@gpie]

เป็นโจทย์ ODE ที่พระเจ้าจอร์จมากครับพี่ passer-by
ผมนั่งเปลี่ยนตัวแปรอยู่นาน แต่ไม่เห็นความสัมพันธ์

[warut]

โห... คุณ passer-by ให้เวลาข้อ 80. น้อยจังครับ ผมมาเห็นโจทย์ข้อนี้ก็ตอนเฉลยซะแล้ว

[passer-by]

คือปกติ ผมจะตั้ง timer ไว้ว่า คำถามข้อนึงของผมมีเวลา 4 วัน ถ้าไม่มีใครมาตอบ ผมก็จะเฉลย ไม่อยากทิ้งไว้นานครับ เพราะ 2 สาเหตุคือ เดี๋ยวผมลืมว่าผมเคย post ข้อนี้ไว้ กับอีกเหตุผลคือ มีคำถามที่ไม่มีใครตอบในกระทู้มาราธอนมากมายพอแล้ว

แต่เอาเป็นว่า คราวหลังผมตั้ง timer ไว้ซัก 1 สัปดาห์แล้วกัน

ส่วนข้อ 80 ผมเอามาจาก competition (ชื่อย่อขึ้นต้นด้วย h) ซึ่งดังมากๆและเพิ่งจบไปไม่นานนี้ ที่สำคัญก็คือมีเด็กไทยไปแข่งด้วยครับ

ถ้าจำไม่ผิดรู้สึกข้อนี้จะ 7 คะแนน

[Timestopper_STG]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Timestopper_STG

74.จงหาค่าของ$\displaystyle{\int\limits_0^{\infty}\frac{e^{-t}-2e^{-3t}+e^{-5t}}{t^2}dt}$

At first we observe that $\displaystyle{\frac{1}{t^2}=\int_0^{\infty}xe^{-tx}dx}$
$\displaystyle{\int\limits_0^{\infty}\frac{e^{-t}-2e^{-3t}+e^{-5t}}{t^2}dt}$
$\displaystyle{=\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}xe^{-tx}\left(e^{-t}-2e^{-3t}+e^{-5t}\right)dxdt}$
$\displaystyle{=\int_0^{\infty}x\int_0^{\infty}e^{-(1+x)t}-2e^{-(3+x)t}+e^{-(5+x)t}dtdx}$
$\displaystyle{=\int_0^{\infty}\left[\left(\frac{x}{1+x}\right)-2\left(\frac{x}{3+x}\right)+\left(\frac{x}{5+x}\right)\right]dx}$
$\displaystyle{=\int_0^{\infty}\left[\left(1-\frac{1}{1+x}\right)-2\left(1-\frac{3}{3+x}\right)+\left(1-\frac{5}{5+x}\right)\right]dx}$
$\displaystyle{=\int_0^{\infty}\left[-\frac{1}{1+x}+\frac{6}{3+x}-\frac{5}{5+x}dx\right]}$
$\displaystyle{=\left[\ln\left(\frac{(3+x)^6}{(1+x)(5+x)^5}\right)\right]_0^{\infty}=\ln\left(\frac{5^5}{3^6}\right)}$
Don't be surprise why a "ลมปราณบริสุทธิ์" man can solve this question with a beautiful method.
Because I have just copied this from the other place.

[Timestopper_STG]

ผมเห็นว่าช่วงนี้บอร์ดเงียบๆไป+ผมไม่เห็นว่ามีโจทย์เหลือในกระทู้นี้เลยครับเลยหามาลงเพิ่มให้
81.$\displaystyle{\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{dx}{\{\sin(x+a)+\cos x\}^2}=?,|a|<\frac{\pi}{2}}$
82.$\displaystyle{\int_0^\infty\frac{\ln x}{x^3+1}dx=?}$
83.$\displaystyle{\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx=?}$
ไม่รู้ว่ามีข้อไหนซ้ำหรือเปล่านะครับถ้าซ้ำผมจะได้เอาออกครับแหะๆ

[passer-by]

ข้อ 83 ซ้ำ้กับ คำถามข้อ14 ที่นี่ ครับ

[Timestopper_STG]

ผมเคยเห็นเวลาที่พิมพ์แล้วใช้เส้นขีดฆ่านี่ทำกันยังไงหรอครับผมจะได้ทำมั่งที่พิมพ์ผิดไป

[passer-by]

83. (Medium level) Evaluate $$ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\ln \cot \theta}{(\sin^5 \theta + \cos^5 \theta)^2}\cdot \sin^4 2\theta \,\, d\theta $$

[Timestopper_STG]

ใช้ partial fractions หรือเปล่าครับผมทำมาละมันถึกมากๆถ้าถูกทางจะได้ทำต่อครับ

[passer-by]

คิดว่าไม่จำเป็นครับ (หมายความว่า ถ้าใช้ ก็ไม่ใช่ขั้นตอนสำคัญของข้อนี้ครับ)

แต่ที่น่าจะได้ี่ใช้แน่ๆ คือ by parts หรือบางคนอาจจะเลือกกระจาย series ก็ไม่ว่ากันครับ

Note : ข้อนี้ อาจจะถึกนิดหน่อย แต่ไม่อึดมากครับ

[nooonuii]

มาเพิ่มให้อีกข้อนึงครับ

84. จงหาค่าของ $$\int_0^1 \frac{\sqrt{x-x^2}}{x+2} \,dx$$

[M@gpie]

ข้อ 84. ของพี่ nooonuii รู้สึกจะเป็นข้อสอบ Qualify Exam รึเปล่าครับ เหมือนผมเคยเห็นในกระทู้เก่าๆ เฉลยโหดมาก แต่อาจจะมีวิธีทั่วๆไป ยังคิดไม่ออกครับ ขอเติมโจทย์ละกันอิอิ

85. Assume that $f$ is integrable such that $0<f(x)<\infty $ for $x\in [0,1]$. Prove that \[ \int_0^1 f(x) dx \cdot \int_0^1\frac{1}{f(x)}dx \geq 1.\]