ฟังก์ชั่น สอวน. จ้า

[jabza]

$1.ให้f(x) แทนพหุนามที่สอดคล้องกับ (f(x))^2 = x\bullet f(f(x)) + 2008^2 จงหา f(2009)\bullet f(-2009)$



ช่วยhintหน่อยคับ ผมรู้สึกว่า มันมาถูกทางแล้ว แต่ ยังจับต้นชนปลายไม่ถูกอยู่ดี อะคับ

[nooonuii]

ลองนับ degree ของ $f(x)$ ดูรึยังครับ

[jabza]

เอ่อ ผมยังง งงๆ กับวิธีนับdegreeอยู่อ่าคับ


แต่ตอนนี้ก็คิดได้แล้ว เป็นวิธีคิดตรงๆ จาลองทำให้ดูนะครับ ถูกผิดอย่างไร โปรดชี้แนะด้วย

จากโจทย์ เราจะได้ว่า $(f(x))^2 - 2008^2 = x\bullet f(f(x)) $

แล้วก็ ใช้หลักที่ว่า $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $


จะได้ว่า $[f(x)-2008][f(x)+2008] = x\bullet f(f(x)) $

เทียบ สปส. ให้ $f(x)-2008 = x $
ส่วน$f(x)+2008 = f(f(x)) $


จาก $f(x)-2008 = x จะได้ f(x) = x + 2008$

นำ$f(x) = x + 2008$ ไปแทนค่าลงใน $f(f(x)) $

$จะได้ f(x+2008) = f(x)+2008 และ f(x+2008) = x+2008+2008 = x+4016$
$และf(x)+2008 = x+4016 \therefore f(x) = x+2008 เหมือนกันครับ $


$ \therefore f(2009)\bullet f(-2009) = (4017)(-1) = -4017 ใช่เปล่าครับ $


ปล. ยังอยากรู้วิธีของพี่nooonuiiด้วยครับ

[square1zoa]

ให้ $f$ เป็นพุนามดีกรี $n$ แทนค่าในสมการจะได้ $2n=1+n^2$ แสดงว่า $$deg(f(x))=1$$
นั่นคือ $f(x)=ax+b$ แทนค่าก็น่าจะได้คำตอบ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ square1zoa

ให้ $f$ เป็นพุนามดีกรี $n$ แทนค่าในสมการจะได้ $2n=1+n^2$ แสดงว่า $$deg(f(x))=1$$
นั่นคือ $f(x)=ax+b$ แทนค่าก็น่าจะได้คำตอบ

ตอนแรกก็นับ degree แบบนี้แหละ
ผมว่าทำโจทย์ functional equation ของ พหุนาม
อย่างแรกที่ต้องทำคือเช็ค degree นี่แหละ
ถ้าได้เงื่อนไขของ degree มาจะทำให้โจทย์ง่ายขึ้นเยอะ

หลังจากแทนค่าจะได้ $f(x)$ ที่เป็นไปได้อยู่สองตัว

แต่ $f(x)f(-x)$ จะได้ออกมาตัวเดียวคือ

$f(x)f(-x)=2008^2-x^2$