ช่วยหน่อยน้าคับ

[เด็กตกเลข]

ถ้า p+q+r = 0 และกำหนดให้

M = (q-r)/p + (r-p)/q + (p-q)/r

N = p/(q-r) + q/(r-p) + r/(p-q)


M*N = ????

ขอวิธีทำโดยละเอียดครับ ผมอยู่ม.2เองอ่า ปล.ครูให้โจทย์มาทำ แต่ทำมะได้

[Scylla_Shadow]

วิธีที่ 1 จัดรูปทางพีชคณิตครับ ( อาจจะยากไปหน่อยสำหรับม.2 )

วิธีที่ 2 แทนค่าไปเลยครับ เช่น $p=1,q2,r=-3$ อะไรประมาณนี้ครับ

ก็จะได้คำตอบเหมือนกันครับ

[COLOR="White smoke"] 9 Ans.[/color]

[เด็กตกเลข]

ครูเค้าไม่ให้แทนค่าครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

วิธีที่ 1 จัดรูปทางพีชคณิตครับ ( อาจจะยากไปหน่อยสำหรับม.2 )

วิธีที่ 2 แทนค่าไปเลยครับ เช่น $p=1,q=2,r=-3$ อะไรประมาณนี้ครับ

ก็จะได้คำตอบเหมือนกันครับ

[COLOR="White smoke"] 9 Ans.[/color]

จัดรูปทางพีชคณิต ทำไงครับ

[Keehlzver]

สังเกตว่า $M*N=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ เมื่อ $a=\frac{p-q}{r}, b=\frac{q-r}{p}, c=\frac{r-p}{q}$ กระจาย $M*N$ ออกมาจะได้ว่า $M*N=a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+b(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})+c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+3$ ต่อไปเเทนค่า $a,b,c$ กลับคืนไปจะได้ว่า $M*N=3+\frac{p-q}{r}(\frac{p}{q-r}+\frac{q}{r-p})+\frac{q-r}{p}(\frac{q}{r-p}+\frac{r}{p-q})+\frac{r-p}{q}(\frac{r}{p-q}+\frac{p}{q-r})=3+\frac{p-q}{r}(\frac{pr-p^2+q^2-rq}{(q-r)(r-p)})+\frac{q-r}{p}(\frac{qp-q^2+r^2-pr}{(r-p)(p-q)})+\frac{r-p}{q}(\frac{rq-r^2+p^2-qp}{(p-q)(q-r)})$ ต่อไปเเยกตัวประกอบออกมา $r(p-q)-(p^2-q^2)=r(p-q)-(p-q)(p+q)=(p-q)(r-p-q)=(p-q)(2r)$ เพราะว่่า $p+q+r=0, r=-p-q$

เเทนลงไป $M*N=3+\frac{p-q}{r}(\frac{(p-q)(2r)}{(q-r)(r-p)})+\frac{q-r}{p}(\frac{(q-r)2p}{(r-p)(p-q)})+\frac{r-p}{q}(\frac{(r-p)(2q)}{(p-q)(q-r)})
=3+\frac{2(p-q)^2}{(q-r)(r-p)}+\frac{2(q-r)^2}{(r-p)(p-q)}+\frac{2(r-p)^2}{(p-q)(q-r)}
=3+\frac{2}{(p-q)(q-r)(r-p)}((p-q)^3+(q-r)^3+(r-p)^3)
=3+\frac{2}{(p-q)(q-r)(r-p)}(3(p-q)(q-r)(r-p))=3+3*2=9$ ตอบครับผม
(ตรงบรรทัดสุึดท้ายใช้เอกลักษณ์ $x^3+y^3+z^3=3xyz$ เมื่อ $x+y+z=0$ กับ $x=p-q, y=q-r, z=r-p$ จะได้ว่า $(p-q)^3+(q-r)^3+(r-p)^3=3(p-q)(q-r)(r-p)$)