Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์มัธยมศึกษา > ปัญหาคณิตศาสตร์ ม. ต้น > ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 20 พฤศจิกายน 2010, 20:10
หยินหยาง's Avatar
หยินหยาง หยินหยาง ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่จักรวาล
 
วันที่สมัครสมาชิก: 06 มกราคม 2007
ข้อความ: 2,919
หยินหยาง is on a distinguished road
Default โจทย์จาก สินิทธ์ 5

วันนี้ไปอุดหนุนหนังสือ สินิทธ์ และเห็นสมาชิกหลายท่านสนใจ เลยเอาโจทย์บางข้อมาเรียกน้ำย่อย ใครสนใจก็ไปหาซื้อเอาครับ


ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 20 พฤศจิกายน 2010, 20:17
Di[s]-Stepz's Avatar
Di[s]-Stepz Di[s]-Stepz ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 พฤศจิกายน 2010
ข้อความ: 84
Di[s]-Stepz is on a distinguished road
Default

มาแล้ว ผมก็จะไปพรุ่งนี้เหมือนกันแต่ไม่รุ้จะมีขายป่าวคับ

ข้อ 19 ผมได้ (a,b)=(-1,-1)
ไม่รุ้ถูกป่าวรอผู้รู้มาเฉลยอีกทีครับ

23 พฤศจิกายน 2010 19:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum
เหตุผล: double post+แก้เล็กน้อยโปรดใช้ปุ่มแก้ไข
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 20 พฤศจิกายน 2010, 21:20
skygoe's Avatar
skygoe skygoe ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 กันยายน 2010
ข้อความ: 75
skygoe is on a distinguished road
Default

ซื้อที่ไหนหรอครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 20 พฤศจิกายน 2010, 21:30
iMsOJ2i2y's Avatar
iMsOJ2i2y iMsOJ2i2y ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไว
 
วันที่สมัครสมาชิก: 22 สิงหาคม 2010
ข้อความ: 205
iMsOJ2i2y is on a distinguished road
Default

ดูเหมือนจะยากกว่าเล่มก่อนๆมามากเลยนะครับ
__________________
ถึงแม้ว่าสิ่งที่คุณทำจะไม่ใช่สิ่งที่ดีที่สุด แต่มันไม่ใช่ประเด็นหลัก
มันอยู่ที่ว่าคุณภูมิใจแค่ไหนกับสิ่งที่คุณได้ทำลงไป ก็แค่นั้นเอง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 20 พฤศจิกายน 2010, 22:44
RM@ RM@ ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 กันยายน 2010
ข้อความ: 69
RM@ is on a distinguished road
Default

ข้อ 19, จำนวนเต็ม a, b ทั้งหมดซึ่ง $(a+1)^2 + (b+1)^2 = (ab-1)^2$

จากสมการพบว่าถ้า (a, b) เป็นคำตอบ แล้ว (b, a) จะเป็นคำตอบด้วย

กระจายแล้วจัดรูปจะได้

$(1-b^2)a^2 + (2+2b)a+(1+b)^2 = 0$

$(1+b)[(1-b)a^2+2a+(1+b)]=0$

ถ้า b = -1 แทนในสมการแรก จะได้สมการเป็นจริงเสมอ

ดังนั้น (a, b) = (n, -1) เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มใด ๆ

และทำให้ (a, b) = (-1, n) เป็นคำตอบด้วย

ถ้า $(1-b)a^2+2a+(1+b)]=0$

จะได้ $a = \frac{-1\pm|b|}{1-b} = \frac{-1+b}{1-b}= -1, \frac{-1-b}{1-b} = 1-\frac{2}{1-b}$

ถ้า a = -1 เป็นคำตอบที่รวมอยู่ใน (-1, n) แล้ว

ถ้า a = $1-\frac{2}{1-b}$ แล้ว $1-b = \pm1, \pm2 $

ดังนั้น b = 0, 2, -1, 3

ดังนั้น a = -1, 3, 0, 2 ตามลำดับ

จึงสรุปได้ว่า (a, b) = (n, -1), (-1, n), (3, 2), (2, 3) เป็นคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มทั้งหมดของสมการนี้

20 พฤศจิกายน 2010 22:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ RM@
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 21 พฤศจิกายน 2010, 08:17
PoomVios45's Avatar
PoomVios45 PoomVios45 ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 06 ธันวาคม 2009
ข้อความ: 441
PoomVios45 is on a distinguished road
Default

มีเฉลยให้หรือเปล่าครับ..

แล้วเล่มเก่า ๆ จะหาซื้อได้หรือเปล่าครับ...
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 21 พฤศจิกายน 2010, 09:29
กิตติ's Avatar
กิตติ กิตติ ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 พฤศจิกายน 2009
ข้อความ: 2,723
กิตติ is on a distinguished road
Default

$(a+1)^2 + (b+1)^2 = (ab-1)^2$

$a^2+2a+1+b^2+2b+1=a^2b^2-2ab+1$

$(a^2+2ab+b^2)+2(a+b)+1-a^2b^2=0$

$(a+b)^2+2(a+b)+1-a^2b^2=0$

$\left\{\,(a+b)+1\right\}^2-a^2b^2=0 $

$\left\{\,(a+b)+1+ab\right\} \left\{\,(a+b)+1-ab\right\} =0$

กระจายต่อไม่หมด...มาทำต่อ

$(a+1)(b+1) \left\{\,(a-1)(1-b)+2\right\} =0$

$a=-1,b$ เท่ากับเท่าไหร่ก็ได้
$b=-1,a$ เท่ากับเท่าไหร่ก็ได้

$(a-1)(1-b)+2=0 \rightarrow (a-1)(1-b)=-2$ โจทย์กำหนดให้$a,b$ เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น$(a-1),(1-b)$ ก็ต้องเป็นจำนวนเต็ม เราจึงแยกตัวประกอบของ$-2$ ออกมาเป็น$(-1)(2),(-2)(1)$
คราวนี้จับคู่แก้สมการก็ได้ชุดคำตอบ $(a,b)$ เป็น $(0,-1),(-1,0),(2,3),(3,2)$....ตรงกับที่คุณRM@เฉลยเสียที
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก
ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม
"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย
ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน)

22 พฤศจิกายน 2010 00:12 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 21 พฤศจิกายน 2010, 22:48
กิตติ's Avatar
กิตติ กิตติ ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 พฤศจิกายน 2009
ข้อความ: 2,723
กิตติ is on a distinguished road
Default

23.จงพิสูจน์ว่า

$\dfrac{\sin A}{\cos A+\sin B} +\dfrac{\sin B}{\cos B-\sin A} =\dfrac{\sin A}{\cos A-\sin B} +\dfrac{\sin B}{\cos B+\sin A} $

นั่งทำจากทางซ้ายมือให้ออกไปทางขวามือ ไม่ง่าย เสียเวลาไปนานแถมยังไม่ออกอีก ลองจัดสมการให้เป็น

$\dfrac{sinA}{cosA+sinB} -\dfrac{sinA}{cosA-sinB} = \dfrac{sinB}{cosB+sinA}-\dfrac{sinB}{cosB-sinA}$

อย่างนี้น่าจะง่ายขึ้นหน่อย

$\dfrac{sinA}{cosA+sinB} -\dfrac{sinA}{cosA-sinB} = sinA\left(\,\dfrac{1}{cosA+sinB}-\dfrac{1}{cosA-sinB} \right) $

$=sinA\left(\,\dfrac{cosA-sinB-cosA-sinB}{cos^2A-sin^2B} \right) $

$=\dfrac{-2sinAsinB}{(1-sin^2A)-(1-cos^2B)} $

$=\dfrac{-2sinAsinB}{cos^2B-sin^2A}$

$=sinB\left(\,\dfrac{-2sinA}{(cosB-sinA)(cosB+sinA)} \right) $

จาก$\dfrac{1}{cosB+sinA} -\dfrac{1}{cosB-sinA}= \dfrac{-2sinA}{(cosB-sinA)(cosB+sinA)}$

จะได้ว่า $\dfrac{sinA}{cosA+sinB} -\dfrac{sinA}{cosA-sinB} = \dfrac{sinB}{cosB+sinA}-\dfrac{sinB}{cosB-sinA}$....ย้ายข้างจัดพจน์ก็ได้ตามที่โจทย์ต้องการพิสูจน์ว่า

$\dfrac{\sin A}{\cos A+\sin B} +\dfrac{\sin B}{\cos B-\sin A} =\dfrac{\sin A}{\cos A-\sin B} +\dfrac{\sin B}{\cos B+\sin A} $

ถ้าทำแบบทื่อๆอย่างที่ผมชอบทำก็เสร็จงมโข่งครับ เหมือนกับที่เขาให้พิสูจน์ว่า $a+b=c+d$ แต่เราจะไปพิสูจน์ว่า $a-d=c-b$ ซึ่งความหมายก็อันเดียวกัน ทำโจทย์ข้อนี้แล้วได้เปิดตาตัวเองเยอะเลยครับ ไม่ทราบว่าท่านอื่นมีวิธีพิสูจน์แบบอื่นบ้างไหมครับ เผื่อผมจะได้เปิดหูเปิดตาและเปิดกะลาบ้าง
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก
ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม
"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย
ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน)

21 พฤศจิกายน 2010 22:50 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 21 พฤศจิกายน 2010, 23:38
กิตติ's Avatar
กิตติ กิตติ ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 พฤศจิกายน 2009
ข้อความ: 2,723
กิตติ is on a distinguished road
Default

ข้อ18.จงหาจำนวนเต็ม $a$ ทั้งหมดซึ่งทำให้สมการ $x^4-2x^3+3x^2+ax+2=0 $ มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวกคำตอบเดียว

ข้อนี้กินแรงเยอะเหมือนกัน....ผมคิดค่า $a$ ได้ 2 ค่า
ผมตีความโจทย์ว่าสมการนี้มี $(x-r)$ เป็นตัวประกอบและผลหารที่ได้นั้นไม่สามารถแยกออกมาในรูปของ$(x-b)(x-c)(x-d)$ ได้ นั่นคือผลหารนั้นไม่เป็นศูนย์จากการแทนค่าด้วยจำนวนเต็มใดๆ
ดังนั้นจะได้ว่า$r^4-2r^3+3r^2+ra+2=0$.....*

ให้.............$\dfrac{x^4-2x^3+3x^2+ax+2}{x-r} =x^3+mx^2+nx-\frac{2}{r} $

$x^4-2x^3+3x^2+ax+2=(x-r)(x^3+mx^2+nx-\frac{2}{r})$

$=x^4+(m-r)x^3+(n-mr)x^2-(\frac{2}{r}+nr)x+2$

จากนั้นก็เทียบสัมประสิทธิ์ออกมาได้
$m-r=\quad -2$......**

$n-mr=3$........***

$\frac{2}{r}+nr=-a \rightarrow nr^2+ar+2=0$........****

จาก * $ar+2=2r^3-r^4-3r^2$

จะได้ว่า**** $nr^2+2r^3-r^4-3r^2=0$

$r^2(r^2-2r+3-n)=0$

$r=\frac{2\pm \sqrt{4-4(3-n)} }{2} = 1\pm \sqrt{n-2} $.....ยังไง$n \geqslant 2 $ แน่ๆ
เราลองแทนค่า$n$ ไปเรื่อยๆแล้วดูค่าที่เกิดขึ้น
$n=2,\quad r=1,\quad m=-1,\quad a=-4$
$n=3,\quad r=2,\quad m=0,\quad a=-7$....ค่า$r=0$ ไม่ใช่รากที่เป็นจำนวนเต็มบวกจึงไม่นำมาใช้
$n=6,\quad r=-1,\quad m=-3,\quad a=8$....ค่า$r=3$ ไม่หยิบมาใช้เพราะเมื่อนำไปแทนแล้วไม่ได้สมการที่มีสัมประสิทธิ์ของ$x^4$ เป็นหนึ่งตามโจทย์กำหนด
$n=11,\quad r=-2,\quad m=-4,\quad a=23$....ค่า$r=4$ ไม่หยิบมาใช้เพราะเมื่อนำไปแทนแล้วไม่ได้สมการที่มีสัมประสิทธิ์ของ$x^4$ เป็นหนึ่งตามโจทย์กำหนด
$n=18,\quad r=5,-3$....ค่า $r$ ที่เกิดขึ้นทั้งสองค่านั้นเมื่อนำไปแทนแล้วทำให้สัมประสิทธิ์ของ$x^4$ ไม่เป็นหนึ่งตามโจทย์กำหนด
$n=27,\quad r=6,-4$....ค่า $r$ ที่เกิดขึ้นทั้งสองค่านั้นเมื่อนำไปแทนแล้วทำให้สัมประสิทธิ์ของ$x^4$ ไม่เป็นหนึ่งตามโจทย์กำหนด
สังเกตว่าหลังจากนี้ไปค่า$n$ ที่เพิ่มขึ้นทำให้เกิดค่า $r$ ที่ไม่สอดคล้องกับโจทย์ ดูง่ายๆคือ $r$ ไม่ได้เป็นตัวประกอบของ$2$....
ดังนั้นสมการที่ได้คือ
1.$x^4-2x^3+3x^2-4x+2=0 $.......รากคือ$1$.....ใช้ได้
2.$x^4-2x^3+3x^2-7x+2=0 $.......รากคือ$2$.....ใช้ได้
3.$x^4-2x^3+3x^2+8x+2=0 $.......รากคือ$-1$.....ตัดทิ้ง
4.$x^4-2x^3+3x^2+23x+2=0 $.......รากคือ$-2$.....ตัดทิ้ง
ถ้าอยากรู้ว่าทั้งสองสมการนี้มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวกเพียงจำนวนเดียวหรือเปล่า ก็นำเอาจำนวนเต็มบวกที่เป็นตัวประกอบของ $2$ ซึ่งคือ $\pm1, \pm2 $ แทนให้ครบแล้วดูว่าค่าไหนที่ทำให้สมการเป็น $0$ ได้อีก

สรุป$a=-4,-7$
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก
ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม
"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย
ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน)

23 พฤศจิกายน 2010 09:42 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 22 พฤศจิกายน 2010, 10:13
กิตติ's Avatar
กิตติ กิตติ ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 พฤศจิกายน 2009
ข้อความ: 2,723
กิตติ is on a distinguished road
Default

21.มีคู่ลำดับที่เป็นจำนวนนับของ $p,q$ กี่คู่ที่ $\dfrac{1}{p}+ \dfrac{1}{q}+ \dfrac{1}{pq}= \dfrac{1}{2553} $

$2553=3\times 23\times 37 $
$2554=2\times 1227$

$\dfrac{1}{p}+ \dfrac{1}{q}+ \dfrac{1}{pq}= \dfrac{p+q+1}{pq} =\dfrac{1}{2553} $

$2553p+2553q+2553=pq \rightarrow p=2553(\dfrac{1+q}{q-2553}) $

$p$ เป็นจำนวนเต็มเมื่อ 1. $q-2553=n(2553)$ โดยถ้า1.1 $n$ เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น $q=(n+1)2553$ และ

$p=\dfrac{1+q}{n} =\dfrac{(n+1)2553+1}{n} =\dfrac{2554}{n} +2553$ ในกรณีนี้ค่า $n$ ที่ทำให้$p$ เป็นจำนวนเต็มคือ ตัวประกอบของ$2554$ คือ $1,2,1277,2554$
$n=1,p=5107,q=2553\times 2$
$n=2,p=3830,q=2553\times 3$
$n=1277,p=2553,q=1278 \times 2553$
$n=2554,p=2554,q=2555 \times 2553$
ได้ $4$ คู่

และ 1.2 $n$ เป็นเศษส่วน ให้$n=\frac{a}{b} $ เมื่อ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $a<b$

$q-2553=\frac{a}{b}(2553) \rightarrow q=\frac{a+b}{b}(2553) = 2553+2553\frac{a}{b} $ จะเห็นว่า $b$ เป็นตัวประกอบของ $2553$

$p=\dfrac{1+q}{n} = \dfrac{b(1+\frac{a+b}{b}(2553))}{a} =\dfrac{2554b+2553a}{a} $

$p=2554\frac{b}{a} +2553$.....ดังนั้น $a$ เป็นตัวประกอบของ $2554$ หรือ $a$ เป็นตัวประกอบของ $b$

ค่าของ$b$ ที่เป็นไปได้คือ $3,23,37,3\times 23,3\times 37,23\times37,2553 $ ตามสูตรที่ท่องกันจะมีจำนวนนับที่หาร $2553$ ลงตัวเท่ากับ $8-1=7$ เราไม่นับเลข$1$
เมื่อ $a=1$ จับคู่ได้ $7$ ค่า
เมื่อ $a=2$ จับคู่ได้ $7$ ค่า
เมื่อ $a=1277$ จับคู่ได้ $1$ ค่า
เมื่อ $a=2554$ ไม่มีคู่จับ
สรุปมีค่า $(a,b)$ ทั้งหมด $15$ ค่า
$a=1277,b=2553,p=3\times 2553,q=3830$
$a=2,b=3,p=6384,q=2553\times 853$
$a=2,b=23,p=1277\times 23,q=112\times 2553$
$a=2,b=37,p=1277\times 37,q=70\times 2553$
$a=2,b=3\times 23,p=1277\times 3\times 23,q=75\times 2553$
ท่าทางจะคูณไม่ไหว แต่เท่าที่ดูยังไม่มีพจน์ที่ซ้ำกัน
เช่นเดียวกับ $a=1,b=3,p=2554 \times 3 +2553,q=2553\times 852$
สำหรับ$a=1$....จับคู่ได้อีก $7$ คู่
รวมทั้งหมดในกรณีนี้ได้เท่ากับ $15$ คู่
กรณี 2 คือ $q-2553=m(1+q)$ แล้ว โดย
2.1 $m$ เป็นจำนวนเต็ม
$p=\frac{2553}{m} $ เมื่อ$p$เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น $m$ เป็นตัวประกอบของ$2553$ ได้แก่ $1,3,23,37$
$q=\frac{m+2553}{1-m} $ ค่า$m$ ที่เป็นไปได้ข้างต้น ไม่ทำให้$q$ เป็นจำนวนนับ ดังนั้นกรณีนี้จึงเป็นไปไม่ได้
2.2 $m$ เป็นเศษส่วน ให้$m=\frac{c}{d} $ เมื่อ $c,d$ เป็นจำนวนเต็มและ $c<d$


กรณี 3 คือ $q-2553=r$ แล้ว $r$ เป็นตัวประกอบของ $2553$
$r=1,3,23,37,69,111,851,2553$
$p=\frac{2553}{r}(1+r)$
$r=1,q=2554,p=2\times 2553$
$r=3,q=2556,p=3404$
$r=23,q=2576,p=2664$
$r=37,q=2590,p=38\times 3 \times 23$
คูณไม่ไหวอีกเหมือนกัน.....ดังนั้นได้อีก 8 คู่

รวมทั้งสามกรณีได้ทั้งหมดเท่ากับ $15+8+4 =27$ คู่
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก
ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม
"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย
ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน)

27 พฤศจิกายน 2010 16:28 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 13 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 22 พฤศจิกายน 2010, 16:08
กิตติ's Avatar
กิตติ กิตติ ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 พฤศจิกายน 2009
ข้อความ: 2,723
กิตติ is on a distinguished road
Default

20.จงหาจำนวนเต็มบวก $x,y,z$ ที่สอดคล้องกับ

$x^2+y-z=100$ และ $y^2+x-z=124$

$y^2-x^2=24-x+y$
$(y-x)(y+x)-(y-x)=24$
$(y-x)(y+x-1)=24$
เมื่อ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มดังนั้น $y-x$ และ $y+x-1$ ย่อมเป็นจำนวนเต็มด้วย
เราจึงแยกตัวประกอบของ $24$ ได้เป็น
$(1,24),(2,12),(3,8),(4,6)$
เราจะแก้สมการได้เมื่อ $y+x$ และ $y-x$ ต่างต้องเป็นจำนวนคี่เหมือนกันหรือจำนวนคู่พร้อมกัน จึงจะได้คำตอบเป็นจำนวนเต็ม
นั่นคือ $y+x$ เป็นจำนวนคี่แล้ว $y+x-1$ เป็นจำนวนคู่ กับ $y+x$ เป็นจำนวนคู่แล้ว $y+x-1$ เป็นจำนวนคี่
จึงเหลือตัวประกอบที่ใช้ได้คือ $(1,24),(3,8)$
จะได้ค่า$(x,y)$ ตามนี้คือ $(12,13),(3,6)$ สำหรับ$(3,6)$ นั้นไม่มีค่า $z$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก จึงไม่นำมาใช้
คู่ลำดับ$(x,y,z)$ ที่โจทย์ถามคือ $(12,13,57)$
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก
ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม
"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย
ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 22 พฤศจิกายน 2010, 16:56
กิตติ's Avatar
กิตติ กิตติ ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 พฤศจิกายน 2009
ข้อความ: 2,723
กิตติ is on a distinguished road
Default

25.$x,y,z$เป็นจำนวนจริงบวกและมีอย่างน้อย2ตัวที่เป็นจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับ $x^2+y^2+z^2=50$ ให้หา $x,y,z$

ข้อนี้ผมใช้วิธีพิจารณาเงื่อนไข นึกไม่ออกว่าจะใช้ความรู้อื่นยังไง
เรารู้ว่า$7^2=49$ ถ้าตัวแปรตัวใดเท่ากับ $7$ แล้วที่เหลือคือ เป็น$0,1$ ซึ่งขัดกับที่โจทย์กำหนด เพราะ 0 ไม่ใช่จำนวนจริงบวก ดังนั้นต้องลดมาพิจารณาที่ $6^2=36$ ดังนั้นผลบวกที่เหลือคือ$50-36 =14$ เราก็ต้องหากำลังสองสมบูรณ์ที่ใกล้เคียงคือ $9,4,1$ ส่วนตัวสุดท้ายยังไงก็เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้นเราได้เซตตัวเลขมาเป็น
$\left\{\,6,3,\sqrt{5}\right\} ,\left\{\,6,2,\sqrt{10} \right\} ,\left\{\,6,1,\sqrt{13} \right\} $
ลดมาดูที่$5^2=25$ ผลลัพธ์ที่เหลือคือ $50-25=25$ เหลือกำลังสองสมบูรณ์คือ$16,9,4,1$
ลดมาดูที่$4^2=16$ ผลลัพธ์ที่เหลือคือ $50-16=34$ เหลือกำลังสองสมบูรณ์คือ$25,16,9,4,1$
ลดมาดูที่$3^2=9$ ผลลัพธ์ที่เหลือคือ $50-9=41$ เหลือกำลังสองสมบูรณ์คือ$36,25,16,9,4,1$
ลดมาดูที่$2^2=4$ ผลลัพธ์ที่เหลือคือ $50-4=46$ เหลือกำลังสองสมบูรณ์คือ$36,25,16,9,4,1$
ลดมาดูที่$1^2=1$ ผลลัพธ์ที่เหลือคือ $50-1=49$ เหลือกำลังสองสมบูรณ์คือ$36,25,16,9,4,1$
หักกรณีที่ซ้ำกันเหลือ
$\left\{\,5,4,3\right\} ,\left\{\,5,2,\sqrt{21} \right\} ,\left\{\,5,1,2\sqrt{6} \right\} $
$\left\{\,4,4,3\sqrt{2} \right\} ,\left\{\,4,2,\sqrt{30} \right\},\left\{\,4,1,\sqrt{33} \right\} $
$\left\{\,3,3,\sqrt{32} \right\} ,\left\{\,3,2,\sqrt{37} \right\},\left\{\,3,1,2\sqrt{10} \right\} $
$\left\{\,2,2,\sqrt{42} \right\} ,\left\{\,2,1,3\sqrt{5} \right\} $
$\left\{\,1,1,4\sqrt{3} \right\} $

ได้ทั้งหมด $15$ ชุด เราเรียงค่าสลับไปได้ออกมาเป็นทั้งหมด $11\times 6+12=78$ ชุด
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก
ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม
"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย
ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #13  
Old 22 พฤศจิกายน 2010, 22:30
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

25. ไม่ต้องหาตัวสุดท้ายครับจะคิดได้เร็วขึ้น ลองเปลี่ยนปัญหาให้ใหม่

จงหาจำนวนคู่อันดับของจำนวนเต็มบวก $(x,y)$ ซึ่งสอดคล้องอสมการ $x^2+y^2<50$

ลองคิดต่อดูครับว่าปัญหานี้สัมพันธ์กับปัญหาเดิมยังไง
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #14  
Old 22 พฤศจิกายน 2010, 22:43
กิตติ's Avatar
กิตติ กิตติ ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 พฤศจิกายน 2009
ข้อความ: 2,723
กิตติ is on a distinguished road
Default

ข้อ25 เหมือนกับการที่เราแปลงจาก$ a>b$ แล้วเราเขียนได้ว่า $a=b+r$
เช่นเดียวกับ$x^2+y^2+z^2=50$ เขียนมาเป็น$ 50 > x^2+y^2$อย่างที่คุณNoooNuiiบอกใช่ไหมครับ
หลังจากแปลงแล้วคำตอบของค่า$x,y,z$ ไม่ได้เปลี่ยนไป น่าจะทำให้ง่ายขึ้นด้วย
ขอบคุณครับคุณNoooNuii....ผมเป็นประเภทลุยแบบทื่อๆครับ เลยทำแบบตรงๆ ดูไม่ค่อยสวย ไม่สมาร์ทเท่าไหร่ ออกแนวถึกครับ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก
ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม
"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย
ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน)

22 พฤศจิกายน 2010 22:43 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #15  
Old 22 พฤศจิกายน 2010, 23:04
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ View Post
ข้อ25 เหมือนกับการที่เราแปลงจาก$ a>b$ แล้วเราเขียนได้ว่า $a=b+r$
เช่นเดียวกับ$x^2+y^2+z^2=50$ เขียนมาเป็น$ 50 > x^2+y^2$อย่างที่คุณNoooNuiiบอกใช่ไหมครับ
หลังจากแปลงแล้วคำตอบของค่า$x,y,z$ ไม่ได้เปลี่ยนไป น่าจะทำให้ง่ายขึ้นด้วย
ขอบคุณครับคุณNoooNuii....ผมเป็นประเภทลุยแบบทื่อๆครับ เลยทำแบบตรงๆ ดูไม่ค่อยสวย ไม่สมาร์ทเท่าไหร่ ออกแนวถึกครับ
ใช่ครับ สมมติเราให้ $(x,y)$ เป็นจำนวนเต็มบวก

เราจะได้ทันทีว่า $z=\sqrt{50-x^2-y^2}$ จะเห็นว่า $z$ ตัวนี้ไม่ได้มีบทบาทต่อการนับเลย

เพราะมันขึ้นกับ $x,y$ ไปแล้ว แต่เนื่องจากเราต้องการให้ $z>0$

เราจึงต้องหา $(x,y)$ ที่สอดคล้องอสมการ $x^2+y^2<50$

ซึ่งแจกแจงออกมาได้ไม่ยาก

$x=1,y=1,2,3,4,5,6$

$x=2,y=1,2,3,4,5,6$

$x=3,y=1,2,3,4,5,6$

$x=4,y=1,2,3,4,5$

$x=5,y=1,2,3,4$

$x=6,y=1,2,3$

สรุปว่ามีคู่อันดับที่เป็นไปได้ทั้งหมด $30$ คู่

แต่ที่คิดมาเราจัดอันดับตัวแปรไว้แล้ว

ในโจทย์จริงเราสามารถเลือกจัดอันดับตัวแปร $x,y,z$

ที่จะมาเป็นคู่จำนวนเต็มบวก ได้ทั้งหมด $6$ แบบ

คำตอบทั้งหมดจึงเท่ากับ $6\times 30$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 18:27


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha