โจทย์ปราบเซียน

ครูนะ · #1 09 พฤศจิกายน 2011, 12:55

1. กำหนดระบบสมการ

$X_{1} + 4X_{2} + 9X_{3} + 16X_{4} + 25X_{5} + 36X_{6} + 49X_{7} = 3$

$4X_{1} + 9X_{2} + 16X_{3} + 25X_{4} + 36X_{5} + 49X_{6} + 64X_{7} = 23$

$9X_{1} + 16X_{2} + 25X_{3} + 36X_{4} + 49X_{5} + 64X_{6} + 81X_{7} = 234$

จงหาค่าของ

$16X_{1} + 25X_{2} + 36X_{3} + 49X_{4} + 64X_{5} + 81X_{6} + 100X_{7}$

2. กำหนดระบบสมการ

$X^{3} - 3XY^{2} = 88$ และ $Y^{3} - 3X^{2}Y = 16$

ค่าของ $X^{2} + Y^{2}$ เป็นเท่าใด

3. กำหนดระบบสมการ

$1952/X + 1936/Y = (3X^{2} + Y^{2})(X^{2} + 3Y^{2})$ และ

$976/X - 968/Y = (Y - X)(Y + X)(Y^{2} + X^{2})$

ค่าของ $X^{4} + Y^{4}$ เป็นเท่าใด

4. กำหนดระบบสมการ

$X - (YZ)^{1/2} = 42$ , $Y - (ZX)^{1/2} = 6$ และ

$Z - (XY)^{1/2} = 30$ ค่าของ X + Y + Z เป็นเท่าใด

5. กำหนด a + b = 3 , $aX + bY = 10$ , $aX^{2} + bY^{2} = 16$

และ $aX^{3} + bY^{3} = 36$ ค่าของ $aX^{4} + bY^{4}$ เป็นเท่าใด

6. จงหาค่าของ a + 2b + 3c + 4d เมื่อ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริง ซึ่งทำให้

$(a - 1^{2})^{1/2} + 2(b - 2^{2})^{1/2} + 3(c - 3^{3})^{1/2}$

$+ 4(d - 4^{2})^{1/2} = 1/2(a + b + c + d)$

7. กำหนด X, Y และ Z เป็นจำนวนจริง ซึ่ง X + 2Y + 3Z = 13 และ

$X^{2} + 4Y^{2} + 9Z^{2} + 3X - 2Y + 15Z = 82$

ค่าของ 3X + 5Y + 7Z เป็นเท่าใด

8. กำหนดให้ $X = (1 - 1/X)^{1/2} + (X - 1/X)^{1/2}$

ค่าของ $X^{15} - 610/X$ เป็นเท่าใด

9. จงหาคำตอบของระบบสมการ

$(3X)^{1/2}(1 + 1/(X + Y)) = 2$ และ $(7Y)^{1/2}(1 - 1/(X - Y)) = 4(2)^{1/2}$

10. กำหนด X, Y และ Z เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งสอดคล้องกับระบบสมการ

$7X^{2} - 3Y^{2} + 4Z^{2} = 8$ และ $16X^{2} - 7Y^{2} + 9Z^{2} = -3$

จงหาค่า $X^{2} + Y^{2} + Z^{2}$

11. กำหนด X และ Y เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งทำให้ $2X^{2} + 5XY + 3Y^{2} + 196 = 40X + 49Y$

แล้ว $X^{3} + Y^{3}$ เป็นเท่าใด

12. กำหนดระบบสมการ $a + b = (4c – 1)^{1/2}$ , $b + c = (4d – 1)^{1/2}$

$c + d = (4e - 1)^{1/2}$ , $d + e = (4a - 1)^{1/2}$ และ $e + a = (4b - 1)^{1/2}$

ค่าของ a + 2b + 3c + 4d + 10e เป็นเท่าใด

13. กำหนดระบบสมการ

abc + ab + bc + ca + a + b + c = 71

bcd + bc + cd + db + b + c + d = 95

cda + cd + da + ac + c + d + a = 143

dab + da + ab + bd + d + a + b = 191

ค่าของ abcd + a + b + c + d เป็นเท่าใด

14. กำหนด X, Y และ Z เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่งสอดคล้องกับระบบสมการ

$X^{2}(Y + Z)^{2} = (3X^{2} + X + 1)Y^{2}Z^{2}$

$Y^{2}(Z + X)^{2} = (4Y^{2} + Y + 1)Z^{2}X^{2}$

$Z^{2}(X + Y)^{2} = (5Z^{2} + Z + 1)X^{2}Y^{2}$

ค่าของ 13X + 4Y + 11Z เป็นเท่าใด

15. กำหนด $X_{1} , X_{2} , X_{3} ,..., X_{100}$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่งสอดคล้องกับระบบสมการ

$X_{1} + 1/X_{2} = 4$ , $X_{2} + 1/X_{3} = 1$ , ... , $X_{99} + 1/X_{100} = 4$

และ $X_{100} + 1/X_{1} = 1$ ค่าของ $X_{1} + X_{2} + X_{3} + ... + X_{100}$ เป็นเท่าใด

16. กำหนด $a_{1} , a_{2} , a_{3} ,..., a_{n}$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่งทำให้

$a_{1} + a_{2} + a_{3} +...+ a_{n} = 96$

$(a_{1})^{2} + (a_{2})^{2} + (a_{3})^{2} +...+ (a_{n})^{2} = 144$

$(a_{1})^{3} + (a_{2})^{3} + (a_{3})^{3} +...+ (a_{n})^{3} = 216$

ค่าของ $(a_{1})^{4} + (a_{2})^{4} + (a_{3})^{4} +...+ (a_{n})^{4}$ เป็นเท่าใด

17. จงหาคำตอบของสมการ

$18X^{2} + 18(X)(X)^{1/2} - 17X - 8(X)^{1/2} - 2 = 0$

18. จงหาคำตอบของสมการ

$X^{2} - X - 1000(1 + 800X)^{1/2} = 1000$

19. จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ

$X^{2}/(X - 99) + (X - 99)^{1/2} + (X - 99)^{1/2}/X^{2} = (X - 99)/X^{2} + 1/(X - 99)^{1/2} + X^{2}/(X - 99)^{1/2}$

20. จงหาคำตอบของสมการ

$[((2X^{2} - 2X + 12)^{1/2} - (X^{2} - 5)^{1/2})^{3}]/[(5X^{2} - 2X - 3)(2X^{2} - 2X + 12)^{1/2}] = 2/9$

21. กำหนด a, b และ c เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน ซึ่งสอดคล้องกับระบบสมการ

$a^{3} = 3(b^{2} + c^{2}) - 25$ , $b^{3} = 3(c^{2} + a^{2}) - 25$ และ

$c^{3} = 3(a^{2} + b^{2}) - 25$ ค่าของ abc เป็นเท่าใด

22. กำหนด a และ b เป็นคำตอบของระบบสมการ $a^{2} + b(ab)^{1/2} = 336$

และ $b^{2} + a(ab)^{1/2} = 112$ ค่าของ $a^{2} + b^{2}$ เป็นเท่าใด

23. จงหาคำตอบของระบบสมการ

XY = Z - X - Y , YZ = X - Y - Z และ ZX = Y - Z - X

โจทย์ระดับแข่งขัน ค่อนข้างยากจริงๆ ลองช่วยคิดกันนะครับ

Ulqiorra Sillfer · #2 09 พฤศจิกายน 2011, 14:10

เอามาจากพีชคณิตคิดเพื่อชาติหรือเปล่าครับ คุ้นๆตาทุกข้อเลย

กิตติ · #3 09 พฤศจิกายน 2011, 14:15

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูนะ

1. กำหนดระบบสมการ

$X_{1} + 4X_{2} + 9X_{3} + 16X_{4} + 25X_{5} + 36X_{6} + 49X_{7} = 3$

$4X_{1} + 9X_{2} + 16X_{3} + 25X_{4} + 36X_{5} + 49X_{6} + 64X_{7} = 23$

$9X_{1} + 16X_{2} + 25X_{3} + 36X_{4} + 49X_{5} + 64X_{6} + 81X_{7} = 234$

จงหาค่าของ

$16X_{1} + 25X_{2} + 36X_{3} + 49X_{4} + 64X_{5} + 81X_{6} + 100X_{7}$

ข้อ1...ผมคุ้นๆว่าเคยทำแล้ว

$16X_{1} + 25X_{2} + 36X_{3} + 49X_{4} + 64X_{5} + 81X_{6} + 100X_{7}$
$=\left(\,9X_{1} + 16X_{2} + 25X_{3} + 36X_{4} + 49X_{5} + 64X_{6} + 81X_{7} \right)+ $
$7X_{1}+9X_{2} + 11X_{3} + 13X_{4} + 15X_{5} + 17X_{6} + 19X_{7}$

$X_{1} + 4X_{2} + 9X_{3} + 16X_{4} + 25X_{5} + 36X_{6} + 49X_{7} = 3$...(1)

$4X_{1} + 9X_{2} + 16X_{3} + 25X_{4} + 36X_{5} + 49X_{6} + 64X_{7} = 23$...(2)

$9X_{1} + 16X_{2} + 25X_{3} + 36X_{4} + 49X_{5} + 64X_{6} + 81X_{7} = 234$...(3)

(2)-(1) $3X_{1} + 5X_{2} + 7X_{3} + 9X_{4} + 11X_{5} + 13X_{6} + 15X_{7} = 20$...(4)

(3)-(2) $5X_{1} + 7X_{2} + 9X_{3} + 11X_{4} + 13X_{5} + 15X_{6} + 17X_{7} = 211$...(5)

(5)-(4) $2X_{1} + 2X_{2} + 2X_{3} + 2X_{4} + 2X_{5} + 2X_{6} + 2X_{7} = 191$....(6)

(5)+(6) $7X_{1}+9X_{2} + 11X_{3} + 13X_{4} + 15X_{5} + 17X_{6} + 19X_{7}=402$

$16X_{1} + 25X_{2} + 36X_{3} + 49X_{4} + 64X_{5} + 81X_{6} + 100X_{7}$
$=234+402=636 $

lolilovelove · #4 09 พฤศจิกายน 2011, 18:51

สนุกมากเลยครับ

Metamorphosis · #5 09 พฤศจิกายน 2011, 19:18

โจทย์ทุกข้อล้วนมีในหนังสือ พีชคณิตคิดเพื่อชาติ ครับ

ครูนะ · #6 10 พฤศจิกายน 2011, 13:28

ขอบคุณครับ ผมไปหาหนังสือพีชคณิตคิดเพื่อชาติดูแล้วมีทุกข้อจริงๆ ครับ

แต่โจทย์ข้อ 6 ผมได้มาผิด จริงๆ ต้องเป็น $c - 3^{2}$

คือผมอยากรู้ว่าโจทย์แนวนี้เป็นข้อสอบประเภทไหนครับ ผมไปเช็คจากแนวข้อสอบ

สอวน. และ สสวท. มีบางข้อแต่น้อย ยิ่งข้อสอบโอลิมปิก ก็จะออกแนวอสมการ

โจทย์สอบเข้า เตรียมอุดมและ MWIT ก็ไม่ยากขนาดนี้ เห็นหนังสือมาจากบัณฑิตแนะแนว

ไม่แน่ใจว่า แต่งโจทย์เองและแก้เองหรือเปล่าครับ ยอมรับว่าสุดยอด เทพมากๆ ครับ

-Math-Sci- · #7 10 พฤศจิกายน 2011, 14:13

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูนะ

ขอบคุณครับ ผมไปหาหนังสือพีชคณิตคิดเพื่อชาติดูแล้วมีทุกข้อจริงๆ ครับ

แต่โจทย์ข้อ 6 ผมได้มาผิด จริงๆ ต้องเป็น $c - 3^{2}$

คือผมอยากรู้ว่าโจทย์แนวนี้เป็นข้อสอบประเภทไหนครับ ผมไปเช็คจากแนวข้อสอบ

สอวน. และ สสวท. มีบางข้อแต่น้อย ยิ่งข้อสอบโอลิมปิก ก็จะออกแนวอสมการ

โจทย์สอบเข้า เตรียมอุดมและ MWIT ก็ไม่ยากขนาดนี้ เห็นหนังสือมาจากภูมิบัณฑิต

ไม่แน่ใจว่า แต่งโจทย์เองและแก้เองหรือเปล่าครับ ยอมรับว่าสุดยอด เทพมากๆ ครับ

คงหายากแหละครับที่ จะแต่งเอง -..- มีอาจารย์ไม่กี่คนที่ทำ

ส่วนใหญ่ก้มาดัดแปลงโจทย์ ไม่ก็ ก๊อบมาแล้วก็เฉลยแหละครับ

แนวโจทย์ก็เป็น advance แหละครับ เรียกว่าข้อสอบแข่งขันดีกว่า

Scylla_Shadow · #8 10 พฤศจิกายน 2011, 17:37

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูนะ

ขอบคุณครับ ผมไปหาหนังสือพีชคณิตคิดเพื่อชาติดูแล้วมีทุกข้อจริงๆ ครับ

แต่โจทย์ข้อ 6 ผมได้มาผิด จริงๆ ต้องเป็น $c - 3^{2}$

คือผมอยากรู้ว่าโจทย์แนวนี้เป็นข้อสอบประเภทไหนครับ ผมไปเช็คจากแนวข้อสอบ

สอวน. และ สสวท. มีบางข้อแต่น้อย ยิ่งข้อสอบโอลิมปิก ก็จะออกแนวอสมการ

โจทย์สอบเข้า เตรียมอุดมและ MWIT ก็ไม่ยากขนาดนี้ เห็นหนังสือมาจากภูมิบัณฑิต

ไม่แน่ใจว่า แต่งโจทย์เองและแก้เองหรือเปล่าครับ ยอมรับว่าสุดยอด เทพมากๆ ครับ

มีบรรณานุกรมอยู่หลังเล่มครับ

ครูนะ · #9 10 พฤศจิกายน 2011, 19:40

ลืมเปิดหน้าหลัง เป็นข้อสอบคัดโอลิมปิกของประเทศต่างๆ

ยอมรับว่ายากจริงๆ

ขอบคุณสำหรับคำแนะนำครับ

Scylla_Shadow · #10 11 พฤศจิกายน 2011, 10:36

อ. ไมตรี ไม่ใช่หัวหน้าหมวดเลขเตรียมตอนนี้ (2554)

polsk133 · #11 13 พฤศจิกายน 2011, 05:30

อ้าวหรอครับงั้นขอลบละกันนะครับ
รู้สึกผมจะมั่ว

คนอยากเก่ง · #12 25 พฤศจิกายน 2011, 19:13

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูนะ

3. กำหนดระบบสมการ

$1952/X + 1936/Y = (3X^{2} + Y^{2})(X^{2} + 3Y^{2})$ และ

$976/X - 968/Y = (Y - X)(Y + X)(Y^{2} + X^{2})$

ค่าของ $X^{4} + Y^{4}$ เป็นเท่าใด

ได้ x+y=6 แล้วทำยังไงต่อครับ