อยากรู้หลักการเรียน วงกลม และ การแปรผัน ฮะ

[solomon draglast]

[RETRORIAN_MATH_PHYSICS]

คำถามกว้างจังครับ ทุกเรื่องมีหลักเดียวกันครับ อ่าน ทำความเข้าใจ แล้วก็ฝึกทำแบบฝึกหัดไงครับ เหอๆ

[Puriwatt]

มีเส้นอยู่หนึงเส้นบนระนาบ โดยที่เส้นนี้อยู่ห่างจากจุดๆหนึ่ง(จุดศูนย์กลาง) เป็นระยะคงที่ และเป็นรูปปิด
เราเรียกเส้นนี้ว่าวงกลม มีการกำหนดให้อัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงกับเส้นผ่าศูนย์กลางที่มีค่าคงตัว ว่าเป็น $\pi$
ดังนั้นเราจะได้ว่า เส้นรอบวง,l = $\pi$.d หรือ 2$\pi$.r นั่นเอง และเมื่อเราแบ่งพื้นที่เป็นส่วนเล็กๆโดยใช้การ
ลากเส้นรัศมี เราจะได้รูปสามเหลี่ยมเล็กๆที่มีความสูง r และมีความยาวฐาน dl เมื่อเรานำสามเหลี่ยมเล็กๆนี้มา
เรียงต่อๆกัน จะมีความยาวของฐาน เท่ากับความยาวเส้นรอบวง และจะพบว่าพื้นที่รวมมีขนาด = $\frac{1}{2}.r.(2 \pi r )$ = $\pi .r^2$
เมื่อวาดเส้นตรงที่มีจุดปลายอยู่บนเส้นรอบวง และไม่ใช่เส้นผ่าศูนย์กลาง แล้วลากเส้นรัศมีจากจุดปลายทั้งสอง
ไปหาจุดศูนย์กลาง เราจะได้รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
ในกรณีสามเหลี่ยมแนบในวงกลม (จุดทั้ง3 อยู่บนเส้นรอบวง) และมีอยู่หนึ่งด้านที่เป็นเส้นผ่าศูนย์กลาง แล้วจะได้ว่า
มุมที่อยู่ตรงข้ามเส้นผ่าศูนย์กลางเป็นมุมฉากเสมอ และเส้นรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัสจะตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเสมอ
พบว่ามีโจทย์หลายข้อมักใช้คุณสมบัติเหล่านี้ในการแก้ปัญหาบ่อยๆครับ(เอาแบบย่อๆก่อน)

[-|O[H]M|-]

ส่วนเรื่องการแปรผัน [Variation] นั้นก็เป็นเรื่องที่ไม่ยากเพราะมีอยู่เพียง 4 รูปแบบ (บางโรงเรียนไม่มีการสอนการแปรผันแบบทีละส่วน) คือ
- การแปรผันตรง หรือ การแปรผันตาม
- การแปรผันแบบผกผัน
- การแปรผันเกี่ยวเนื่อง
- การแปรผันแบบทีละส่วน
ซึ่งทั้งหมดนี้ล้วนแล้วแต่หาศึกษาได้ในตำรา ม.2 วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค 32201 ภาคเรียนที่ 2
ก็ขอให้ประสบความสำเร็จนะครับ Thomas Corundum Omanft

[nongtum]

เอ๋ เดี๋ยวนี้เขาเรียนการแปรผันเป็นเลขเสริมม.2แล้วเหรอ ดูจากรหัสที่ยกมาเหมือนเป็นของม.3
อีกอย่างตอนผมเรียนยังเป็นเลขเสริมม.3เทอม 2 อยู่เลยน่ะ

[Lekkoksung]

จะขออนุญาตขยายความของคุณ Puriwatt น่ะครับเกี่ยวกับวงกลม และสมการวงกลม แต่ก่อนที่จะเข้าเรื่องของวงกลมนั้นของอธิบายเรื่องของระยะทาง(Distance)ก่อนน่ะครับ จาก fig 2 นั้น ถ้าเราอยากทราบค่า $d$ นั้น จากทฤษฎีของ Pythagoras ที่ว่าไว้ว่า $c^2=a^2+b^2$
จาก fig 2 นั้น $(\overline{AB})^2=(\overline{AC})^2+(\overline{BC})^2$

$(\overline{AB})^2=(x-x_1)^2+(y-y_1)^2$

$(\overline{AB})=\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}$

เพราะฉนั้นจะได้ว่า $d=\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}$ ---------- (1)

ในเรื่องของวงกลมนั้นที่คุณ Puriwatt ว่ามานั้น "มีเส้นอยู่หนึงเส้นบนระนาบ โดยที่เส้นนี้อยู่ห่างจากจุดๆหนึ่ง(จุดศูนย์กลาง) เป็นระยะคงที่ และเป็นรูปปิด เราเรียกเส้นนี้ว่าวงกลม"

จาก fig 1 เราให้จุด $P$ อยู่บนเส้นหนึ่งที่ห่างจากจุดๆหนึ่ง และให้ $C$ เป็นจุดๆหนึ่ง

จาก (1) จะได้ว่า $\overline{PC}=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$

$(\overline{PC})^2=(x-a)^2+(y-b)^2$

จะได้ $r^2=(x-a)^2+(y-b)^2$ หรือ
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

เราเรียกว่า สมการวงกลมรูปมาตรฐาน โดยมีจุดศูนย์กลาง(center)ที่จุด $(a,b)$ มีรัสมี(radius) $r$

สมการวงกลมรูปมาตรฐาน ที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด $(0,0)$ และรัสมี $r$ คือ

$$x^2+y^2=r^2$$
ส่วนสมการวงกลมที่ไม่ได้ปรากฎในรูปมาตรฐาน ตัวอย่างเช่น
$x^2+y^2+8x-6y+21=0$ เราต้องใช้วิธีการกำลังสองสมบูรณ์ ในการจัดรูปแบบสมการให้เข้ารูปแบบมาตรฐาน

จาก $\left ( \Delta \pm \frac{A}{2}\right )^2=\Delta^2 \pm A \Delta+\left ( \frac{A}{2} \right )^2$ เราจะนำสิ่งที่รู้นี้มาจัดรูปสมการ

$x^2+y^2+8x-6y+21=0$
$x^2+8x+y^2-6y+21=0$
$(x^2+8x+(\frac{8}{2})^2)-(\frac{8}{2})^2+(y^2-6y+(\frac{6}{2})^2)-(\frac{6}{2})^2+21=0$
$(x+(\frac{8}{2})^2)-(\frac{8}{2})^2+(y-(\frac{6}{2})^2)-(\frac{6}{2})^2$+21=0
$(x+4)^2+(y-3)^2+21=(\frac{8}{2})^2+(\frac{6}{2})^2$
$(x+4)^2+(y-3)^2=16+9-21$
$$(x+4)^2+(y-3)^2=4$$ จากวิธีการนี้เราก็จะได้สมการรูปมาตรฐานออกมาแล้วครับ

ถ้าจะสังเกตสมการ $x^2+y^2+8x-6y+21=0$
ซึ่งสมการนี้อยู่ในรูป $x^2+y^2+Ax+By+C=0$

จากความรู้เรื่องกำลังสองสมบูรณ์ที่กล่าวไปแล้ว จะได้ว่า
$\left (x+\frac{A}{2} \right )^2+\left (y+\frac{B}{2} \right )^2+C=\frac{A^2}{4}+\frac{B^2}{4}$

$\left (x+\frac{A}{2} \right )^2+\left (y+\frac{B}{2} \right )^2=\frac{A^2+B^2-4C}{4}$

ซึ่งสมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐานแล้ว จะได้จุดศูนย์กลางคือจุด $(- \frac{A}{2},- \frac{B}{2})$ และรัสมีคือ $\frac{\sqrt{A^2+B^2-4C}}{2}$

[MirRor]

แปรผันก็ไม่ค่อยยากเท่าไหร่นะครับ เพียงแค่จำหลักการ แล้วก็สูตร
แปรผันก็ y=kx
แปรผกผันก็ y= k/x หาค่า k แล้วก็เอามาดัดแปลงจากที่เข้ากำหนดให้ล่ะครับ

เท่าที่เรียนมานะครับ ^^

___________________________________

♠ This Innocence is brilliant ♠