|
|
#1
25 เมษายน 2001, 20:56
|
|||
|
|||
อาบีเลียนกรุ๊ป
เกี่ยวกับเรื่องพีชคณิตนานธรรมนะครับ ใครที่เคยเรียนแล้วช่วยพิสูจน์โจทย์นี้หน่อย ขอแค่ซักข้อสองข้อพอ
1) ให้ (G,#) เป็นกรุ๊ป จงพิสูจน์ว่า (G,#) จะเป็นอาบีเลียนกรุ๊ป ก็ต่อเมื่อ (a # b)^2 = a^2 # b^2 2) ให้ S แทนเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้น -1 กำหนด # เป็นโอเปอเรชันบนเซต S โดยมีความหมายดังนี้ a # b = a + b + ab จงพิสูจน์ว่า (S,#) เป็นอาบีเลียนกรุ๊ป หมายเหตุ [ ขอแบบละเอียด ๆ หน่อยนะ แบบว่ายังไม่ได้เรียนแต่กำลังจะได้เรียน แล้วก็อ่านเองก็ไม่ค่อยจะรู้เรื่องด้วย..งง ] สุดท้ายนี้ หวังว่าคงจะได้รับความร่วมมือเป็นอย่างดี ขอขอบคุณอย่างสูง  
|
|
#2
26 เมษายน 2001, 08:21
|
|||
|
|||
ก่อนอื่นขอเรียนให้ทราบก่อนว่า ผมก็เคยอ่าน
เรื่องนี้แบบผ่าน ๆ ครับ ผมไม่ทราบว่าเค้า เรียนกันตอนชั้นไหน เพราะผมเพิ่งจบ ม.6 เอง แต่จะพยายามให้ดีที่สุดครับ --------- อาบีเลียนกรุ๊ปคือกรุ๊ปที่มีสมบัติการสลับที่ 1) ต้องพิสูจน์ว่า (a#b)^2 = (b#a)^2 [ข้อนี้ผมทำไม่ได้ ขอโทษทีนะครับ เรียนมา น้อยครับ] 2) ถ้าเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า a#b = b#a เราก็จะได้ว่า (S,#) เป็นอาบีเลียนกรุ๊ป จาก a#b = a + b +ab = b + a + ba = b#a เพราะฉะนั้น (S,#) เป็นอาบีเลียนกรุ๊ป ----------- ถ้ามีคนเข้าอ่านแล้วพบข้อผิดพลาดก็ช่วยบอก ด้วยนะครับ
|
|
#3
26 เมษายน 2001, 13:34
|
|||
|
|||
|
ที่บอกว่าอาบีเลียนกรุ๊ป มีคุณสมบัติการสลับที่นั่นก็ถูกนะครับ แต่ว่าข้อ 1) ผมลืมบอกประโยคสำคัญไปนั้นก็คือว่า "สำหรับทุกสมาชิก a,b ใน G "
แล้วก็ในโจทย์มีคำว่า "ก็ต่อเมื่อ" อยู่ด้วย แสดงว่าเราต้องพิสูจน์ 2 ทางคือ (1) ถ้า(G,#) เป็นอาบีเลียนกรุ๊ปแล้ว (a#b)^2 = a^2 # b^2 สำหรับทุกสมาชิก a,b ใน G (2) ถ้า (a#b)^2 = a^2 # b^2 สำหรับทุกสมาชิก a,b ใน G แล้ว (G,#) จะเป็นอาบีเลียนกรุ๊ป จะเห็นว่าต้องพิสูจน์กลับไปกลับมา ตามหลักการพิสูจน์ของตรรกศาสตร์ครับ ผมคงบอกได้แค่หลักการพิสูจน์ ส่วนวิธีพิสูจน์กำลังคิดอยู่เหมือนกัน ส่วนข้อ 2 ค่อยว่ากันอีกทีนึง เพราะตามแนวการพิสูจน์ที่คิดเอาไว้มันยาวมาก คงต้องใช้เวลาเรียบเรียงความคิดกันหน่อย 
|
|
#4
26 เมษายน 2001, 14:58
|
|||
|
|||
|
เกรุ๊ป สลับท่ ต้องcheck ว่า
1.(G,#) เป็น กรุ๊ป 2.ให้ a,bเป็น สมาชิกในGแล้ว a#b=b#a พิสูจน์. ให้ (G,#) เป็น อบีเลียนกรุ๊ป ดังนั้น a#b =b#a นำb มา # ทางขวาทั้ง 2ข้าง a#b#b =b#a#b a#b^2 =b#a#b นำ a มา# ทาง ซ้ายทั้ง 2ข้าง a# a# b^2 =a#b#a#b a^2 # b^2 =(a#b)^2 . .ให้ a^2 # b^2 =(a#b)^2 สมมติ a,b เป็นสมาชิก ในG จาก a^2 #b^2 =a#a#b#b =a#b#b#a =a^-1 #a#a#b#b =a^-1#a#b#b#a ดังนั้น a#b#b =b#b#a จาก a#b เป็นสมาชิก ในG ดังนั้น (a#b)#b=b#(a#b) มีคุณสมบัติ สลับท่ ดังนั้น (G,#)เป็นอบีเลียนกรุ๊ป ๘๘๘๘๘๘๘๘๘๘๘๘๘๘๘๘๘๘๘ ขอ้2 คิดแบบเดียวกัน ง่าย กว่าอีกครับ
|
  |
|
|
