Calculus Marathon

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ M@gpie:
จงหาค่าลิมิตโดยใช้ไม่ใช้กฏของโลปิตาล หรือ อนุกรมเทย์เลอร์

\[ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sinh x}{x}\]

ให้ $f(x) = \sinh{x}$ จะได้ว่า $$\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sinh x}{x} = f'(0) = \cosh{(0)} = 1 }$$

แบบนี้ได้รึเปล่าครับ ผมกำลังสงสัยว่ามันจะกลายเป็นงูกินหางรึเปล่า เพราะสูตรอนุพันธ์เราก็ต้อง derive มาจากลิมิตอีกที

[M@gpie]

อืม คำถามเรื่องงูกินหางของพี่ noonuii ผมก็เคยคิดมากรณี ใช้เทคนิคนี้ในการหาลิมิตของ $ \displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} }$ แต่เลิกคิดไปแล้ว 55 ก็ไว้จะไปหาคนถามให้นะครับ แต่ข้อนี้เป็น $ \displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sinh x}{x} }$ ซึ่งไม่เป็นงูกินหางล่ะมั้งครับ คิดว่าไม่น่าผิดพลาด

[warut]

งั้นก็เฉลยเลยครับ เฉลยๆๆ

[M@gpie]

เฉลยก็ทำแบบที่พี่ noonuii ทำนั่นแหละครับ จากนิยามของอนุพันธ์จะเห็นว่า
\[f'(0) = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\]
เมื่อให้ $f(x)=\sinh x $ ก็ตรงกะโจทย์พอดี

[warut]

อ๋อ..เข้าใจละ ขอบคุณครับ

[nooonuii]

ข้อ 61 ของคุณ Warut ถูกแล้วครับ ขอต่อข้อต่อไปนะครับ

62. Evaluate $\displaystyle{ \sum_{k=1}^n k{n \choose k} }$

[passer-by]

งง ว่าทำไมไม่มีใครตอบข้อนี้ โดยเฉพาะน้องๆมัธยม

ข้อ 62 ใช้แคลคูลัสพื้นฐานมากๆ น้องคนไหนว่างๆมาโชว์ความสามารถกันหน่อยนะค้าบ เดี๋ยวบอร์ดจะสงบเกินไป

HINT

พิจารณา $ (1+x)^n $ และ differentiation

[Mastermander]

62.คงง่ายไปไม่มีใครมาทำ - -
$$(1+x)^n = {n\choose 0}x^0+{n\choose 1}x^1+...+{n\choose n}x^n$$
diff and Letting $ x=1 $
Edit:

as a result to $ n\cdot 2^{n-1} $

63. prove that
$$x^x>\frac12\quad,\forall x>0$$

[passer-by]

ข้อ 62 ต้องเป็น $ n\cdot 2^{n-1} $ นะครับ (สงสัยจะรีบพิมพ์ไปหน่อย)

ข้อ 63

เพราะ $ f(x)= x\ln(x) $ เป็น convex function on $ (0,\infty) $ และมีค่าต่ำสุดที่ $ x= e^{-1} $

ดังนั้น $ x\ln(x) \geq e^{-1}\ln(e^{-1})=-\frac{1}{e} > -\frac{1}{2} \Rightarrow x^x >\frac{1}{\sqrt{e}}( >\frac{1}{2}) $

[nooonuii]

62. diff แล้วทำไมได้ $n\cdot 2^n$ ล่ะครับ <-- คุณ passer - by มาแก้ให้แล้วครับ

63. ถ้า $x\geq 1$ แล้ว $x^x \geq 1 > \frac{1}{2}$
ถ้า $0<x<1$ แล้ว
$\frac{1}{x^x} = \Big(\frac{1}{x}\Big)^x \cdot 1^{1-x}\leq x\cdot\frac{1}{x} + (1-x)\cdot 1 = 2 - x $ โดย Weighted AM-GM
ดังนั้น $x^x \geq \frac{1}{2-x} > \frac{1}{2}$

[nooonuii]

64. กำหนดให้ $P(x)=x^n+2x^{n-1}+\cdots +nx + n+1$ จงหาค่าของ
$$\displaystyle{ \sum_{k=0}^n \frac{P^{(k+1)}(0)}{k!}}$$
เมื่อ $P^{(k)}$ หมายถึง อนุพันธ์อันดับที่ $k$ ของ $P$

[M@gpie]

อืมมม จิงด้วยครับ รีบทำแหะๆๆ แก้ตัวๆ
จากสูตรของอนุกรมเทย์เลอร์ รอบจุด 0
\[ P(x) = P(0) + P'(0)x + \frac{P''(0)}{2!}x^2 + ... + \frac{P^{(n)}(0)}{n!!}x^{n} + \frac{P^{(n+1)}(0)}{(n+1)!}x^{n+1}\]
ดังนั้น \[ P'(x)= P'(0) + P''(0)x + \frac{P'''(0)}{2!}x^2 + ... + \frac{P^{(n)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1} + \frac{P^{(n+1)}(0)}{n!}x^{n}\]
จะได้ \[ P'(1) = P'(0) + P''(0) + \frac{P'''(0)}{2!} + ... + \frac{P^{(n)}(0)}{(n-1)!} + \frac{P^{(n+1)}(0)}{n!}\]
จะได้ว่า \[ P'(1) = 1\cdot n + 2(n-1) +3(n-2) + ... + n( n- (n-1)) = \sum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k+1)}(0)}{k!} \]
ดังนั้น \[\sum_{k=1}^{n}\frac{P^{(k+1)}(0)}{k!} = \sum_{k=1}^{n} k(n-k+1) \]
แล้วก็ใช้สูตรอนุกรมหาผลบวกออกมาจะได้
\[\sum_{k=1}^{n}\frac{P^{(k+1)}(0)}{k!} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6} \]

ปล. คำตอบนี้ก็ยังไม่ได้เช็คนะครับ ถ้าผิดอีกต้องขออภัยอีกรอบ แหะๆ

[nooonuii]

ข้อ 64 คิดว่ายังไม่ถูกครับ ลองแทน n=2 แล้วไม่ได้ตามสูตร

[nooonuii]

เพิ่งเห็นว่าน้อง Magpie มาแก้คำตอบแล้วครับ งั้นขอต่อข้อต่อไป ช่วงนี้เน้นเอกลักษณ์ binomial coefficients ครับ

65. ให้ $n$ เป็นจำนวนนับ จงหาค่าของ

$$\sum_{k=1}^{n+1} {n+1 \choose k}(-1)^{n+k} k^n $$

[warut]

ถ้าผมเข้าใจไม่ผิด โจทย์ข้อ 65. ของคุณ nooonuii นี่เทียบเท่ากับการให้พิสูจน์ว่า $(n+1)^{\text{st}}$ forward difference ของ $f(x)=x^n$ มีค่าเป็น 0 (i.e., $ \Delta^{n+1} x^n =0$ ) ซึ่งผมไม่ทราบว่ามีวิธีง่ายๆที่จะพิสูจน์โดยใช้ calculus รึเปล่านะครับ