Sequences and Series Marathon

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

(VERY EASY)

25. Evaluate $$ \sum_{ k=1}^{\infty} \frac{\left\lceil\ \sin(\ln k) \right\rceil - \left\lfloor\ \sin(\ln k)\right\rfloor}{2^k} $$

$$ \sum_{ k=1}^{\infty} \frac{\left\lceil\ \sin(\ln k) \right\rceil - \left\lfloor\ \sin(\ln k)\right\rfloor}{2^k} = \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{2^k}=\frac{1}{2} $$

เนื่องจาก $k>1 \Rightarrow 0<|\sin{(\ln{k})}|<1$ ดังนั้น

$\left\lfloor\, \sin{(\ln{k})} \right\rfloor = 0,-1 $

$\left\lceil\, \sin{(\ln{k})}\right\rceil = 1,0 $

เพราะฉะนั้น $\left\lceil\, \sin{(\ln{k})}\right\rceil - \left\lfloor\, \sin{(\ln{k})} \right\rfloor =1$

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

เพราะฉะนั้น $\left\lceil\, \sin{(\ln{k})}\right\rceil - \left\lfloor\, \sin{(\ln{k})} \right\rfloor =1$

มันไม่เป็น 1 เสมอไปนะครับ

[nooonuii]

โดนโจทย์หลอกอีกแล้วคร้าบบบ แก้ให้แล้วครับ หวังว่าคงไม่ผิดอีกนะ เริ่มไม่แน่ใจ

[Timestopper_STG]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Timestopper_STG

23.จงแสดงว่าลำดับ $n\sin n$ ไม่มีขอบเขต

Consider $n\in \left[2k\pi+\dfrac{\pi}{6},2k\pi+\dfrac{5\pi}{6}\right],\forall k\in \mathbb{N} $ we'll get $n\sin n>\dfrac{n}{2}$
So when $\lim(k\rightarrow\infty)$ then $n\sin n>\dfrac{n}{2}=+\infty,\exists n\in\mathbb{N}$ which is diverges

[passer-by]

ถือโอกาส ขุดกระทู้ไปในตัว

ข้อนี้ ผมชอบมากครับ

26. Evaluate $$ \int_0^1 \int_0^1 \left\{\frac{1}{xy}\right\} \,\, dxdy $$

Note : {a} คือ fractional part ของ a เช่น {1.45}= 0.45

NOTE

Stieltjes constant : $$ \gamma_1 = \lim_{n \rightarrow \infty} \big( \sum_{k=1}^n \frac{\ln k}{k} - \frac{\ln^2 n}{2} \big) $$

2 HINTS

(1) Change variables and try $$ \sum_{n=1}^{\infty} \int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}} ... $$
(2) Reverse order of integration(not in XY coordinate) might help.

[nooonuii]

27. จงหาค่าของ $$\lim_{n\to\infty}e^{-n}\Big(1+n+\frac{n^2}{2!}+\cdots+\frac{n^n}{n!}\Big)$$

[Timestopper_STG]

ผมสนใจจะทำข้อ26นะครับแต่ว่ายังไม่ได้ลองทำครับเพราะผมไม่เคยทำแบบที่มันเครื่องหมาย {}
ผมเลยอยากจะถามนิดนึงครับว่า $\displaystyle{\int_0^1\left\{\frac{1}{x}\right\}dx=1-\gamma}$ หรือเปล่าครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Timestopper_STG

ผมเลยอยากจะถามนิดนึงครับว่า $\displaystyle{\int_0^1\left\{\frac{1}{x}\right\}dx=1-\gamma}$ หรือเปล่าครับ

YEP !

If you can compute $ 1- \gamma$ by yourself, I think that question 26 is not hard for you.

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

26. Evaluate $$ \int_0^1 \int_0^1 \left\{\frac{1}{xy}\right\} \,\, dxdy $$

Note : {a} คือ fractional part ของ a เช่น {1.45}= 0.45

NOTE

Stieltjes constant : $$ \gamma_1 = \lim_{n \rightarrow \infty} \big( \sum_{k=1}^n \frac{\ln k}{k} - \frac{\ln^2 n}{2} \big) $$

BRIEF SOLUTION (Many details are omitted, please try by yourself for clearer understanding)

Let $ u= xy $ and $ v =\frac{y}{x}$

This will transform original integral into

$$ \frac{1}{2}\int_0^1 \int_u^\frac{1}{u} \frac{1}{v} \left\{\frac{1}{u}\right\} dvdu = \sum_{n=1}^{\infty} \int_\frac{1}{n+1}^\frac{1}{n} \ln(u) (n - \frac{1}{u}) \,\, du = \sum_{n=1}^{\infty} a_n $$

Consider partial sum of $a_n $,say, $S_N$

$$ S_N= -(\sum_{n=1}^N \frac{1}{n+1} - \ln(N+1))-(\sum_{n=1}^N \frac{\ln(n+1)}{n+1} - \frac{1}{2}\ln^2(N+1)) $$

Take limit $ n \rightarrow \infty $ ,and answer is $ 1- \gamma -\gamma_1$

NOTE : (1) You might not use reverse of integration as I hint above.

(2) Definition of $\gamma_1 $ is in note above

[Mastermander]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

27. จงหาค่าของ $$\lim_{n\to\infty}e^{-n}\Big(1+n+\frac{n^2}{2!}+\cdots+\frac{n^n}{n!}\Big)$$

1 รึเปล่าครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mastermander

1 รึเปล่าครับ

ยังไม่ใช่ครับ น่าจะแสดงวิธีคิดให้ดูด้วยนะครับ เพราะผมก็อยากรู้ว่ามีวิธีคิดแบบอื่นรึเปล่า วิธีของผมใช้เทคนิคของวิชาทฤษฎีความน่าจะเป็นครับ ซึ่งยากที่จะอธิบาย ผมเห็นว่าเทคนิคการคิดแปลกดีก็เลยเอามาถามครับ(และคาดหวังว่าจะเจอวิธีคิดที่เรียบง่ายกว่าของผม )

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

27. จงหาค่าของ $$\lim_{n\to\infty}e^{-n}\Big(1+n+\frac{n^2}{2!}+\cdots+\frac{n^n}{n!}\Big)$$

Not post solution krab . Just only post something in case it inspires other members to go on calculating .

By Taylor remainder's theorem and some simplifications, we can write

$$ 1+n+\frac{n^2}{2!}+\cdots+\frac{n^n}{n!}= e^n (1 - \frac{1}{n!} \int_0^n u^n e^{-u} \,\, du )$$

[Timestopper_STG]

มีใครหารูปแบบปิดของอนุกรมนี้ได้บ้างไหมครับ(ไม่ได้ใส่เลขข้อนะครับไม่มั่นใจว่าให้ได้หรือเปล่า)
$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(3n+2)^2}}$

[TOP]

28. กำหนดให้ $S = \{ 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , \ldots\}$ จงหาค่าของ $\displaystyle{\sum_{n \not\in S} \frac{1}{n^2}}$

[Mastermander]

$\displaystyle{\sum_{n \not\in S} \frac{1}{n^2} =\sum \frac{1}{n^2}-\frac1{n^4}}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi^4}{90}$