โจทย์จำนวนเชิงซ้อนครับ รบกวนด้วยครับ

[ผู้หลงใหลในการคำนวณ]

$Z_1,Z_2,Z_3$ มีค่าต่างกัน แต่ $\left|\,\right. Z_1\left.\,\right| =\left|\,\right. Z_2\left.\,\right| =\left|\,\right. Z_3\left.\,\right|=2$ และ w เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่ง $w^3=1$ และ $w\not= 1$ ถ้า $Z_1,Z_2,Z_3$ สอดคล้องกับ $Z_1w^2+Z_2w+Z_3=0$ แล้ว $\left|\,\right. Z_2+3Z_3\left.\,\right| =?$

รบกวนขอวิธีทำด้วยครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ผู้หลงใหลในการคำนวณ

$Z_1,Z_2,Z_3$ มีค่าต่างกัน แต่ $\left|\,\right. Z_1\left.\,\right| =\left|\,\right. Z_2\left.\,\right| =\left|\,\right. Z_3\left.\,\right|=2$ และ w เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่ง $w^3=1$ และ $w\not= 1$ ถ้า $Z_1,Z_2,Z_3$ สอดคล้องกับ $Z_1w^2+Z_2w+Z_3=0$ แล้ว $\left|\,\right. Z_2+3Z_3\left.\,\right| =?$

รบกวนขอวิธีทำด้วยครับ

วิธีที่ 1.

$w^3-1=0 \Rightarrow w^2+w+1=0$ เมื่อ $w \ne 1$

$w = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i = e^{i2\pi/3}$

$w^2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = e^{i4\pi/3}$

ให้ $z_1 = 2e^{i\theta_1}, z_2 = 2e^{i\theta_2}, z_3 = 2e^{i\theta_3}$

แทนค่า $z_1, z_2, z_3$ ลงในสมการ $z_1w^2+z_2w+z_3 = 0$ จะได้ $$2e^{i(\theta_1 + 4\pi/3)} + 2e^{i(\theta_2 + 2\pi/3)} + 2e^{i(\theta_3)} = 0$$

เทียบส่วนจริงและจินตภาพได้ว่า $$\cos(\theta_1+4\pi/3)+\cos(\theta_2+2\pi/3)+\cos(\theta_3)=0 ~~, ~~ \sin(\theta_1+4\pi/3)+\sin(\theta_2+2\pi/3)+\sin(\theta_3)=0$$
ซึ่งเป็นจริงเมื่อ $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ เป็นรากของสมการ $\cos 3A = \cos 3\theta ... (1)$ และ $\sin 3A = \sin 3\theta ... (2)$

หรือกล่าวง่าย ๆ ว่า $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ ต้องทำมุม $2\pi/3$ ซึ่งกันและกัน

พิจารณาสมการ $z_1w^2+z_2w+z_3=0$ อีกครั้ง

จะเห็นว่าอาร์กิวเมนต์ของ $w^2, w, 0$ มีค่าเท่ากับ $4\pi/3, 2\pi/3, 0$ ตามลำดับ

ดังนั้น ถ้าให้สอดคล้องสมการ (1) กับ (2) แสดงว่าอาร์กิวเมนต์ของ $z_1, z_2, z_3$ จะต้องมีค่าเป็น $0, 4\pi/3, 2\pi/3$ ตามลำดับ

นั่นคือ
$z_1 = 2$,

$z_2 = 2e^{i4\pi/3} = 2(-1/2 - \sqrt{3}i/2) = -1 - \sqrt{3}i$

$z_3 = 2e^{i2\pi/3} = 2(-1/2 + \sqrt{3}i/2) = -1 + \sqrt{3}i$

ทำให้ได้ว่า $|z_2+3z_3| = |-4+2\sqrt{3}i| = 2\sqrt{7}$

วิธีที่ 2.
ให้ $x = z_1w^2$ แล้วจะได้ $|x| = |z_1w^2| = 2$

ให้ $y = z_2w$ แล้วจะได้ $|y| = |z_2w| = 2$

ให้ $z = z_3$ แล้วจะได้ $|z| = |z_3| = 2$

ดังนั้น $x, y, z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่ง $x + y + z = 0$ โดยที่$ |x| = |y| = |z| = 2$ ซึ่งจะเป็นไปได้เมื่อ $x, y, z$ เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า (มองว่าเป็นเวกเตอร์) จากนั้นก็เล่นเกมดูอาร์กิวเมนต์แบบวิธีที่ 1

[ผู้หลงใหลในการคำนวณ]

ขอบคุณ คุณ gon มากครับ
ว่าแต่ โจทย์จำนวนเชิงซ้อน ม.ปลาย มันขนาดนี้เลยเหรอเนี่ย
พอดีมีเด็กเอามาถามครับ

ผมรบกวนอีกสักข้อครับ
ถ้า $Z=sin \frac{5\pi }{14}+icos\frac{9\pi}{14}$ แล้ว $\left(\,\right. \frac{1-\overline{Z} }{1+Z}\left.\,\right)^7=? $

ผมจัดได้ $Z=cos\frac{-\pi}{7}+isin\frac{-\pi}{7}$
ส่วนตัว $\left(\,\right. \frac{1-\overline{Z} }{1+Z}\left.\,\right)^7$ นี้ ผมไม่รู้ว่าจะจัดการยังไงให้สวยๆ
รบกวนด้วยครับผม

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ผู้หลงใหลในการคำนวณ

ขอบคุณ คุณ gon มากครับ
ว่าแต่ โจทย์จำนวนเชิงซ้อน ม.ปลาย มันขนาดนี้เลยเหรอเนี่ย
พอดีมีเด็กเอามาถามครับ

ผมรบกวนอีกสักข้อครับ
ถ้า $Z=sin \frac{5\pi }{14}+icos\frac{9\pi}{14}$ แล้ว $\left(\,\right. \frac{1-\overline{Z} }{1+Z}\left.\,\right)^7=? $

ผมจัดได้ $Z=cos\frac{-\pi}{7}+isin\frac{-\pi}{7}$
ส่วนตัว $\left(\,\right. \frac{1-\overline{Z} }{1+Z}\left.\,\right)^7$ นี้ ผมไม่รู้ว่าจะจัดการยังไงให้สวยๆ
รบกวนด้วยครับผม

ถอนคำพูดครับ.

[Real Matrik]

น่าจะเป้นข้อสอบสมาคม ม. ปลายปี 53 มั้งครับถ้าจำไม่ผิด
ใช้มุขนี้ครับ
$$1+\cos\theta+i\sin\theta=1+(2\cos^2\frac{\theta}{2}-1)+2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}=2\cos\frac{\theta}{2}(\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2})$$
$$(1+cis\theta)^n=2^n\cos^n\frac{\theta}{2}cis(\frac{n\theta}{2})$$

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Real Matrik

น่าจะเป้นข้อสอบสมาคม ม. ปลายปี 53 มั้งครับถ้าจำไม่ผิด
ใช้มุขนี้ครับ
$$1+\cos\theta+i\sin\theta=1+(2\cos^2\frac{\theta}{2}-1)+2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}=2\cos\frac{\theta}{2}(\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2})$$
$$(1+cis\theta)^n=2^n\cos^n\frac{\theta}{2}cis(\frac{n\theta}{2})$$

มุกนี้เยี่ยมมากครับ

ผมขอถอนคำพูดข้างบน คำตอบสวยแล้วครับ แต่ถ้าไม่มีตัวเลือก คงเดาใจยากหน่อยว่าจะตอบยังไงดี

สรุปว่าตอบ

$-\tan^7\frac{\pi}{14}$

[Real Matrik]

#6 ให้เครดิตกับสมาคมคณิตศาสตร์ฯ ครับ

[bell18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Real Matrik

น่าจะเป้นข้อสอบสมาคม ม. ปลายปี 53 มั้งครับถ้าจำไม่ผิด
ใช้มุขนี้ครับ
$$1+\cos\theta+i\sin\theta=1+(2\cos^2\frac{\theta}{2}-1)+2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}=2\cos\frac{\theta}{2}(\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2})$$
$$(1+cis\theta)^n=2^n\cos^n\frac{\theta}{2}cis(\frac{n\theta}{2})$$

ทั้ง2ข้อนี้ เป็นข้อสอบสมาคมคณิตศาสตร์ ม.ปลายปี 52 ครับ

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ผู้หลงใหลในการคำนวณ

$Z_1,Z_2,Z_3$ มีค่าต่างกัน แต่ $\left|\,\right. Z_1\left.\,\right| =\left|\,\right. Z_2\left.\,\right| =\left|\,\right. Z_3\left.\,\right|=2$ และ w เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่ง $w^3=1$ และ $w\not= 1$ ถ้า $Z_1,Z_2,Z_3$ สอดคล้องกับ $Z_1w^2+Z_2w+Z_3=0$ แล้ว $\left|\,\right. Z_2+3Z_3\left.\,\right| =?$

รบกวนขอวิธีทำด้วยครับ

ข้อนี้มีวิธีทำสวยๆ แนวคิดคล้ายกับ shortlist TMO ปีใดปีหนึ่ง แต่อาจดูยุ่งเหยิงไปนิด

จาก $z_1w^2+z_2w+z_3=0$ คูณ $w$ และ $w^2$ ออกมาเป็นระบบสมการ

$z_1+z_2w^2+z_3w=0$

$z_1w+z_2+z_3w^2=0$

นำสมการแรกลบสมการสองได้ $(1-w)z_1+(w^2-1)z_2+(w-w^2)z_3=0$

หาร $1-w$ ตลอดแล้วจัดรูปจนได้ $z_2-z_1=w(z_3-z_2)$

ถึงตรงนี้ก็เห็นได้ชัดแล้วว่า $|z_2-z_1|=|z_3-z_2|$

ในทำนองเดียวกัน ก็จะได้ว่า $|z_1-z_3|=|z_2-z_1|=|z_3-z_2|$

ซึ่งให้ผลลัพธ์เดียวกันกับพี่ gon ทำไว้คือ $z_1,z_2,z_3$ แต่ละคู่ทำมุมกัน $120^{\circ}$ พอดี (พิจารณาในมุมมองของเวคเตอร์จะเข้าใจง่าย)

ที่เหลือก็คล้ายๆกันครับ