Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #16  
Old 23 เมษายน 2010, 11:40
กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย's Avatar
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2009
ข้อความ: 647
กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย is on a distinguished road
Default

ข้อ 3. นะครับ ถ้า 10 , a , b , ab เรียงเป็นลำดับเลขคณิต
จะได้ว่า a-10 = b - a = ab - b = d
ดังนั้น a = d+10 , b = 2k+10 แทนใน ab - b = d
แก้สมการกำลังสองได้ 2$d^2$+27d+90 = 0
ได้ d = -6 , -7.5
และได้ลำดับเป็น 10 , 4 , -2 , -8 กับ 10 , 2.5 , -5 , -12.5
โจทย์ให้หาผลรวมค่า a คำตอบตือ 6.5 ครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #17  
Old 23 เมษายน 2010, 19:49
Switchgear's Avatar
Switchgear Switchgear ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 มกราคม 2006
ข้อความ: 472
Switchgear is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย View Post
ข้อ 9. นะครับ ให้ $f(x)=mx+c$
f($x_1$+$x_2$+$x_3$+$x_4$+$x_5$)=f($x_1$)+f($x_2$)+f($x_3$)+f($x_4$)+f($x_5$)-8
m($x_1$+$x_2$+$x_3$+$x_4$+$x_5$)+c=m($x_1$+$x_2$+$x_3$+$x_4$+$x_5$)+5c-8
$- 4c = -8$
ได้ c= 2 ดังนั้น $f(0)=2$
ข้อ 9. เพียงแต่สมมติให้ $x_i = 0$ ก็พอแล้ว เมื่อแทนค่าจะได้ $f(0) = 5f(0) - 8 \quad \rightarrow \quad f(0) = 2$
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #18  
Old 23 เมษายน 2010, 20:15
กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย's Avatar
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2009
ข้อความ: 647
กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย is on a distinguished road
Default

ขอบคุณมากครับคุณSwitchgear แต่ผมกลัวว่า จะงงกันใหญ่ซิครับ สำหรับน้องๆที่ยังไม่เคยเจอโจทย์แนวนี้
ว่าแล้วก้อตอบข้อ 4. ต่อเลยนะครับ
ตอบ 1005 ครับ วิธีคิดคงต้องให้คุณSwitchgear ช่วยนะครับ เพราะผมคิดมายาวมากเลยครับ

ข้อ 8 .ก้อไม่ยากครับ ลองเขียนกราฟดูครับ

จากนิยามของ $\left\lfloor\ x \right\rfloor$
จะได้ $\left\lfloor\ x_1 \right\rfloor$+$\left\lfloor\ x_2 \right\rfloor$ = -1+2 =1

23 เมษายน 2010 22:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum
เหตุผล: double post
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #19  
Old 24 เมษายน 2010, 10:37
Switchgear's Avatar
Switchgear Switchgear ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 มกราคม 2006
ข้อความ: 472
Switchgear is on a distinguished road
Default

ผมขอกระโดดไปเฉลยเรขาคณิตซักข้อก่อน :-)

ข้อ 23. ให้หารัศมีของวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมที่กำหนดให้ (ไม่อยากโพสต์รูป ดูในพระตะบองได้)

เฉลยวิธีที่ 1: (อาศัยตรีโกณมิติ)
ให้ $O$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลม ลากเส้น $OA$ และ $OB$ ซึ่งยาวเท่ากับรัศมี $R$
จากความรู้ที่ว่า ?มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง? จะได้ว่า $A\hat OB\; = \;A\hat CB\; = \;\theta $
จากรูปพบว่า $\sin \theta \;= \;{8 \over {10}}\;= \;{4 \over 5}$ ดังนั้น $\cos \theta \; = \;\sqrt {1 - \sin ^2 \theta } \; = \;{3 \over 5}$ และ $\cos 2\theta \;= \;1 - 2\sin ^2 \theta \; = \; - {7 \over {25}}$
ใช้กฎโคไซน์กับ $\Delta AOB$ ดังนี้ $12^2 \; = \;R^2 + R^2 - 2R^2 \cos 2\theta \quad \to \quad R\; = \;7.5$

เฉลยวิธีที่ 2:
อาศัยทฤษฎีบทที่ 77 จากกระทู้ ?ตะลุยโจทย์เรขาคณิต (Geometry) ตอน "78 กระบวนท่า"? ที่ผมโพสต์ใน ?วิชาการ.คอม?
จะได้ว่า $
2R \times AD\; = \;AB \times AC\quad \to \quad 2R \times 8\; = \;12 \times 10\quad \to \quad R\; = \;7.5
$

ความรู้เพิ่มเติม:
ทฤษฎีบทที่ 77 บอกว่า ?ผลคูณระหว่างด้านทั้งสองที่ประกอบเป็นมุมยอดของสามเหลี่ยม จะมีค่าเท่ากับ
ผลคูณระหว่างเส้นที่ลากตั้งฉากจากมุมยอดมายังฐานกับเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมนั้น?

กระทู้ใน วิชาการ.คอม ที่อ้างถึง http://www.vcharkarn.com/vcafe/51345/1
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน

25 เมษายน 2010 07:48 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 8 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #20  
Old 24 เมษายน 2010, 10:53
Switchgear's Avatar
Switchgear Switchgear ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 มกราคม 2006
ข้อความ: 472
Switchgear is on a distinguished road
Default

จากความเห็น # 18 ของคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย
ว่าแล้วก้อตอบข้อ 4. ต่อเลยนะครับ
ตอบ 1005 ครับ วิธีคิดคงต้องให้คุณSwitchgear ช่วยนะครับ เพราะผมคิดมายาวมากเลยครับ


ผมเองก็ยังไม่มีวิธีคิดสั้นๆ สำหรับข้อนี้ พยายามหาอยู่ ...
ช่วงนี้ผมพยายามคิดแต่ละข้อ ด้วยวิธีที่ต่างจากหนังสือที่ซื้อมา คงต้องใช้เวลาหน่อยจึงจะคิดออก :-)

น่าแปลกนะครับ "การดำเนินชีวิตนั้นเราต้องคิดให้ยาว แต่การแก้โจทย์คณิตศาสตร์กลับพยายามคิดสั้น" :-)

ผมอยากให้เจ้าของกระทู้นี้ คือ คุณ Siren-Of-Step ลองเปิดกระทู้แบบเดียวกันสำหรับเฉลยแต่ละปี
เพราะมีหลายข้อของปีเก่าๆ ที่ผมคิดต่างจากหนังสือที่มีวางขาย เราจะได้ช่วยกันโพสต์
(ไม่แน่ใจว่ามีกระทู้เฉลยปีก่อนๆ แล้วหรือยัง เพราะห่างหายไปช่วงหนึ่ง)
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน

24 เมษายน 2010 11:11 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #21  
Old 24 เมษายน 2010, 11:31
Switchgear's Avatar
Switchgear Switchgear ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 มกราคม 2006
ข้อความ: 472
Switchgear is on a distinguished road
Default

เฉลยข้อ 7 ในหนังสือ อ.รัชพล คิดถูกทางแล้ว แต่เนื่องจาก $m = 0$ ทำให้สมการมีคำตอบเดียว
$m = 0$ จึงเป็นคำตอบไม่ได้ ดังนั้น $M \cap Z = \varnothing \rightarrow |M \cap Z| = 0$
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน

24 เมษายน 2010 11:33 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #22  
Old 24 เมษายน 2010, 14:12
Switchgear's Avatar
Switchgear Switchgear ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 มกราคม 2006
ข้อความ: 472
Switchgear is on a distinguished road
Default

แวะเข้ามาเพิ่มเฉลยข้อ 21
.
ข้อ 21. ให้หา $CD^2+BE^2$ (ไม่อยากโพสต์รูป ดูในพระตะบองได้)

เฉลย:
เส้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางไปยังคอร์ด ย่อมแบ่งครึ่งคอร์ดเสมอ ดังนั้น $AB\; = \;DB\; = \;x;\quad AE\; = \;EC\; = \;y$
จาก $\Delta ADE$ ได้ $x^2 + y^2 \; = \;DE^2 \; = \;16$
ดังนั้น $CD^2 + BE^2 \; = \;\{ (2y)^2 + x^2 \} + \{ (2x)^2 + y^2 \} \; = \;5(x^2 + y^2 )\; = \;80$
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน

24 เมษายน 2010 14:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #23  
Old 24 เมษายน 2010, 14:26
หยินหยาง's Avatar
หยินหยาง หยินหยาง ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่จักรวาล
 
วันที่สมัครสมาชิก: 06 มกราคม 2007
ข้อความ: 2,919
หยินหยาง is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Switchgear View Post
จากความเห็น # 18 ของคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย
ว่าแล้วก้อตอบข้อ 4. ต่อเลยนะครับ
ตอบ 1005 ครับ วิธีคิดคงต้องให้คุณSwitchgear ช่วยนะครับ เพราะผมคิดมายาวมากเลยครับ


ผมเองก็ยังไม่มีวิธีคิดสั้นๆ สำหรับข้อนี้ พยายามหาอยู่ ...
ช่วงนี้ผมพยายามคิดแต่ละข้อ ด้วยวิธีที่ต่างจากหนังสือที่ซื้อมา คงต้องใช้เวลาหน่อยจึงจะคิดออก :-)
ผมลองเสนอแนวคิดที่ผมทำ ไม่รู้ว่ายาวหรือเปล่า แนวคิดของข้อนี้คือต้องใช้การสังเกต
ข้อ 4. จากโจทย์จะสังเกตได้ว่า $f(x) = \frac{x^5}{(1-x)^5+x^5}$
และจะได้ความสัมพันธ์ว่า $f(x)+f(1-x) =1$ หลังจากนี้ก็ง่้่ายแล้วครับก็จับคู่เอา
$\therefore \sum_{i = 1}^{2009}f(x_i) =1005$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #24  
Old 24 เมษายน 2010, 14:48
Switchgear's Avatar
Switchgear Switchgear ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 มกราคม 2006
ข้อความ: 472
Switchgear is on a distinguished road
Default

ผมชอบแนวคิดข้อ 4 ของคุณหยินหยางมากครับ!
ในหนังสือที่วางขาย ก็เฉลยข้อ 4 แนวเดียวกับคุณหยินหยาง แต่ไม่ได้สรุปแนวคิดให้สั้นๆ แบบนี้

ผมเฉลยข้อ 22 ต่อเลยละกัน :-)
.
ข้อ 22. ให้หาความยาว $PQ$ (ไม่อยากโพสต์รูป ดูในพระตะบองได้)

เฉลยวิธีคิด: (แนวคิดนี้ คำนวณน้อยมาก)

ให้ $a = 22;\;b = 24;\;c = 20$ ลากเส้นตั้งฉากจากจุด $A$ มายังฐาน $BC$ และความสูงนั้น = $H$

เมื่อ $[ABC]$ แทนพื้นที่สามเหลี่ยม จะได้ ${1 \over 2} \times 22 \times H\; = \;[ABC]\quad \to \quad H\; = \;{{[ABC]} \over {11}}$

ให้ $R$ เป็นรัศมีของวงกลม อาศัยสูตร $R\; = \;{{[ABC]} \over {(a + b + c)/2}}\quad \to \quad R\; = \;{{[ABC]} \over {33}}\; = \;{H \over 3}$

อาศัยหลักสามเหลี่ยมคล้ายจะได้ ${{PQ} \over {BC}}\; = \;{{H - R} \over H}\quad \to \quad PQ\; = \;{2 \over 3}BC\; = \;{{44} \over 3}\; = \;14{2 \over 3}$

ความรู้เพิ่มเติม:

ขั้นตอนการพิสูจน์สูตรรัศมีวงกลมแนบในสามเหลี่ยม $R = {{[ABC]} \over {(a + b + c)/2}}$ มีดังนี้

กำหนด $\Delta ABC$ มีด้านตรงข้ามมุม $A,B,C$ ยาว $a,b,c$ ตามลำดับ

ให้วงกลมรัศมี $R$ แนบในสามเหลี่ยม มีจุดศูนย์กลางที่ $O$ และสัมผัสด้าน $BC,CA,AB$ ที่จุด $X,Y,Z$ ตามลำดับ

ดังนั้น $[ABC] = [OBC] + [OAC] + [OAB] = {1 \over 2}OX \cdot BC + {1 \over 2}OY \cdot CA + {1 \over 2}OZ \cdot AB = {1 \over 2}Ra + {1 \over 2}Rb + {1 \over 2}Rc
$

เมื่อจัดรูปสมการใหม่ก็จะได้ $R = {{[ABC]} \over {(a + b + c)/2}}$ ตามต้องการ
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน

25 เมษายน 2010 07:51 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 7 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #25  
Old 24 เมษายน 2010, 18:10
Switchgear's Avatar
Switchgear Switchgear ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 มกราคม 2006
ข้อความ: 472
Switchgear is on a distinguished road
Default

ข้อ 24. ให้หาอัตราส่วนพื้นที่แรเงาต่อพื้นที่ ABCD (ไม่อยากโพสต์รูป ดูในพระตะบองได้)

เฉลยวิธีคิด:

สมมติให้แต่ละด้านยาว 1 หน่วย จะได้ $a = 1$ ตารางหน่วย

ดังนั้น $AE = {3 \over 7};\;AH = {4 \over 7}\;\;\to \;\;EH = {5 \over 7}$ และ $\left[ {AEH} \right] = {1 \over 2} \times {3 \over 7} \times {4 \over 7} = {6 \over {7^2 }}$

กำหนดจุดยอดมุมของพื้นที่แรเงาเป็นที่อยู่ใกล้จุด $A,B,C,D$ เป็น $P,Q,R,S$ ตามลำดับ

สังเกตว่า $\Delta AEH \sim \Delta QBA$ โดยมี $\;\;{{AB} \over {EH}} = {7 \over 5}\;\;$ ดังนั้น $\;\;{{\left[ {QBA} \right]} \over {\left[ {AEH} \right]}} = \left( {{7 \over 5}} \right)^2 \;\;\to \;\;\left[ {QBA} \right] = \left( {{7 \over 5}} \right)^2 \left( {{6 \over {7^2 }}} \right) = {6 \over {25}}$

เนื่องจาก $\left[ {PAD} \right] = \left[ {SDC} \right] = \left[ {RCB} \right] = \left[ {QBA} \right]$

$\left[ {PQRS} \right] = \left[ {ABCD} \right] - \left[ {PAD} \right] - \left[ {SDC} \right] - \left[ {RCB} \right] - \left[ {QBA} \right] = 1 - 4 \times {6 \over {25}} = {1 \over {25}}\;\;$ หรือ $\;\;{{\left[ {PQRS} \right]} \over a} = {1 \over {25}}$
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน

24 เมษายน 2010 18:15 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #26  
Old 24 เมษายน 2010, 22:24
กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย's Avatar
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2009
ข้อความ: 647
กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย is on a distinguished road
Default

ข้อ 4 ต้องปรบมือให้ครับคุณหยินหยาง และ ข้อนี้ผมว่าโจทย์จะเป็น$f(x)=\frac{x^n}{(1-x)^n+x^n}$
เมื่อ n มากขึ้นเรื่อยๆ ครับ ผมเคยเจอกรณี n= 3 เอาไปสอนน้องๆ ก็บ่นว่ายากแล้ว
พอ n = 5 ก้อคงบ่นอีกครับ ปีต่อไปคง n = 7 , 9 , 11 ...
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #27  
Old 24 เมษายน 2010, 23:29
Switchgear's Avatar
Switchgear Switchgear ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 มกราคม 2006
ข้อความ: 472
Switchgear is on a distinguished road
Default

ผมเอาเฉลยข้อ 30 มาฝาก พยายามคิดอยู่ตั้งนาน เพื่อหาวิธีที่ง่ายกว่าในหนังสือ
.
ข้อ 30. ให้คำนวณความยาวเส้น EF (ไม่อยากโพสต์รูป ดูในพระตะบองได้)

เฉลยวิธีคิด: (แนวคิดนี้คำนวณน้อย)

EF เป็นด้านร่วมของ ABFE และ EFCD แสดงว่าเส้นรอบรูปเหนือ EF เท่ากับเส้นรอบรูปใต้ EF

เนื่องจาก AB+BC+CD+DA = 3+6+8+4 = 21 ดังนั้น DC+ED+FC = 8+ED+FC = 21/2 = 10.5

แต่ FC : ED = 6 : 4 นั่นคือ FC = 1.5ED เมื่อนำไปแทนค่าสมการข้างต้นจะได้ ED = 1 นั่นคือ AE = 3

ลากเส้นจากจุด A และ B ลงมาตั้งฉากกับด้าน DC อาศัยหลักสามเหลี่ยมคล้ายที่อยู่ทางซ้ายและขวา

จะได้ว่า (EF?AB) : (DC?AB) = AE : AD = 3 : 4 แทนค่า AB และ DC แล้วแก้สมการจะได้ EF = 6.75
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน

25 เมษายน 2010 08:03 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #28  
Old 25 เมษายน 2010, 07:58
Switchgear's Avatar
Switchgear Switchgear ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 มกราคม 2006
ข้อความ: 472
Switchgear is on a distinguished road
Default

ข้อ 27. ให้หาพื้นที่สามเหลี่ยมใหญ่ที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมย่อย 2 อัน (ไม่อยากโพสต์รูป ดูในพระตะบองได้)

เฉลยวิธีคิด:

จากโจทย์ $\angle CAB = 45^\circ, \angle CBA = 60^\circ$ ดังนั้น $\angle ACB = 180-45-60 = 75^\circ$

เนื่องจากเส้น $BD$ แบ่งครึ่ง $\angle CBA$ นั่นคือ $\angle DBA = 30^\circ$ ทำให้ได้ $\angle CDB = 45+30 = 75^\circ$

จะเห็นว่า $\angle ACB = \angle CDB = 75^\circ$ ดังนั้น $\triangle BCD$ จึงเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว นั่นคือ $BC = BD = 8$

ลากเส้นจากจุด $C$ ลงมาตั้งฉากกับเส้น $AB$ ที่จุด $E$ จะได้ $EC = BC\times \sin 60^\circ = 4\sqrt{3} $

เนื่องจาก $\angle CAB = 45^\circ$ ดังนั้น $AE = EC = 4\sqrt{3}$ ขณะที่ $BE = BC\times \cos 60^\circ = 4$ ทำให้ได้ $AB = 4+4\sqrt{3}$

จากความยาว $EC$ และ $AB$ ข้างต้น จะได้ว่า $[ABC] = \frac{1}{2} ( 4+4\sqrt{3})( 4\sqrt{3}) = 24+8\sqrt{3}$
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน

25 เมษายน 2010 11:34 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #29  
Old 25 เมษายน 2010, 16:32
กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย's Avatar
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2009
ข้อความ: 647
กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย is on a distinguished road
Default

[IMG][/IMG]
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #30  
Old 25 เมษายน 2010, 17:22
กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย's Avatar
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2009
ข้อความ: 647
กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย is on a distinguished road
Default

[IMG][/IMG]
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
ข้อสอบ สสวท. ป.3 2552 สดๆ คusักคณิm ข้อสอบในโรงเรียน ประถมต้น 9 18 ตุลาคม 2010 19:52
ร่วมเฉลยปัญหามุมนักคิดใน pratabong -SIL- ข้อสอบโอลิมปิก 45 28 สิงหาคม 2010 18:53
ข้อสอบ สสวท. ป.3 2552 สดๆ คusักคณิm ข้อสอบในโรงเรียน ประถมต้น 16 28 ธันวาคม 2009 12:13
เฉลย สสวท.2552 จากเวบ สสวท. kabinary ข้อสอบในโรงเรียน ประถมปลาย 4 19 พฤศจิกายน 2009 19:07
ปัญหาใน pratabong -InnoXenT- ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 1 12 เมษายน 2009 12:20

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 00:17


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha