โจทย์แข่งขัน

[Siren-Of-Step]

เอามาเพิ่มให้ครับ ง่าย ๆ ครับ

ให้ $a,b,c \in \mathbb{Z} \wedge a \not= b\not= c$ เป็นคำตอบของสมการ $x^3-6x^2+14x-12$
จงหา $a^3+b^3+c^3$

[RETRORIAN_MATH_PHYSICS]

ข้อข้างบนได้ $x=2,2+\sqrt{2}i,2-\sqrt{2}i$

ดังนั้นตอบ 0 ครับ

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ monomer

8. จงหาเศษจากการหาร $1032^{1032}$ ด้วย 100 เป็นเท่าไร

ผมว่าข้อนี้น่าจะหินที่สุด...คิดได้ตอนไปวิ่งจ๊อกกิ้งตอนเย็น วิ่งไปในหัวก็มีแต่ตัวเลขวิ่งไปวิ่งมา แต่ก็ได้คำตอบ
ผมแปลงจากความรู้เรื่องการกระจายวงเล็บกำลังสอง....อาจเป็นวิธีแบบถึกมากๆ ถ้าเป็นมัธยมปลายผมคงประยุกต์ความรู้เรื่องทวินามแล้ว แต่มัธยมต้นยังไม่น่าจะได้เรียน
จาก$(a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2$ และจาก$(a^m)^n = a^{mn}$
ถ้าให้$a=1000 และ b=32$ จะได้ว่า$\overbrace{1000^2 +2(1000)(32)}^{100หารลงตัว} +32^2$ ส่วน $32^2 = 30^2+2(2)(30)+2^2 =900+120+4 = 1000+24$....เศษจากการหารด้วย100คือ $24$
เขียนได้ว่า$1032^2 = \overbrace{1000^2 +2(1000)(32)+1000}^{100หารลงตัว} +24$...หารด้วย$100$เหลือเศษ$24$
แปลง$1032^{1032} = [(1000+32)^2]^{516}$ $=[\overbrace{1000^2 +2(1000)(32)+1000}^{100หารลงตัว} +24]^{516}$ มองสามพจน์แรกเป็นก้อนๆหนึ่งที่มัดรวมกัน จะสมมุติชื่อให้ก็ได้ ก้อนนี้ไม่ว่าจะคูณกับอะไรก็ยังหารด้วย100ลงตัว...เริ่มขั้นตอนการย่อยวงเล็บต่ออีก ผมให้$1000^2 +2(1000)(32)+1000 =\bigcirc $......$[(\bigcirc+24)^2]^{258}$
$[\bigcirc^2 +2(24)\bigcirc +24^2]^{258}$....$\overbrace{\bigcirc^2 +2(24)\bigcirc}^{100หารลงตัว} $ ...$24^2 = 400+160+16 = 500+76$
$[(\bigcirc+24)^2]^{258}$ = $[\overbrace{\bigcirc^2 +2(24)\bigcirc +500}^{100หารลงตัว}+76]^{258} $ ผมก็ให้$\bigcirc^2 +2(24)\bigcirc +500 =\bigtriangleup$ เขียนใหม่ได้ว่า
$(\bigtriangleup +76)^{258}$ ทอนรูปต่ออีกได้เป็น $[(\bigtriangleup +76)^2]^{129}$
$(\overbrace{\bigtriangleup^2+2(76)\bigtriangleup}^{100หารลงตัว}+76^2)^{129}$
$76^2 = 4900+840+36 = 5700+76$นำไปแทน
$(\overbrace{\bigtriangleup^2+2(76)\bigtriangleup+5700}^{100หารลงตัว}+76)^{129}$
ผมก็ใช้วิธีเดิมอีกให้$\bigtriangleup^2+2(76)\bigtriangleup+5700 =\bigtriangledown $
จัดหน้าตาใหม่
$(\bigtriangledown+76)^{129}$.....ซึ่ง$(\bigtriangledown+76)$หารด้วย100เหลือเศษคือ$76$
เมื่อกี้เห็นแล้วว่า$76^2 =5776$....ยังไงก็ลงท้ายด้วย$76$....ไม่ว่าเราจะคูณกี่ครั้งสองตัวท้ายก็เป็น76
ยกกำลัง$129=128+1$ ดังนั้น$76^{128}$ก็ลงท้ายด้วย$76$ เหลือการคูณครั้งสุดท้ายกับ$76$ด้วยกันก็ยังลงท้ายด้วย$76$
ดังนั้น$1032^{1032}$หารด้วย$100$แล้วเหลือเศษเท่ากับ$76$
วิธีของผมอาจดูยาวไปหน่อย ผมไม่รู้ว่าจะดึงความรู้เรื่องอื่นมาช่วยได้ไหม....ที่เหลือติดในหัวมันมีเท่านี้ครับ
อาจจะคิดผิดก็ได้....คิดหลายรอบวนไปวนมาจนเบลอ...

[Siren-Of-Step]

เห็นได้ชัดเจนว่า
$32^1 >> 32$
$32^2 >> 24$
$32^3 >> 68$
$32^4 >>76$

$\frac{1032}{4}$ หารลงตัว จะได้เศษ $76$

เศษ $76$ ตอบ

[Siren-Of-Step]

ผมตั้งใหม่ $2123^{123}$ หารด้วย $1000$ เหลือเศษ ?

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ผมตั้งใหม่ $2123^{123}$ หารด้วย $1000$ เหลือเศษ ?

$2123^{123}$ =$(2000+123)(2000+123)^{122}$
$[(2000+123)^2]^{61}$...$[(2000^2+2(2000)(123)+123^2)]^{61}$
$123^2$=$(10000+4600+400+120+9) = (15000+129)$
$129^{61} = 129(129^2)^{30}$
$129^2 = 10000+5800+400+360+81=16000+641$
ค้าง $123\times 129$
$641^{30} =(641^2)^{15}$
$641^2= 360000+49200+1600+160+1 =410000+961$
$961^{15}=961(961)^{14}$
ค้าง $123\times 129\times 961$
$(961)^{14}=(961^2)^7$
$961^2 = 810000+109800+3600+240+1=810000+110000+3000+641$
$641^7 =641(641)^6$
ค้าง $123\times 129\times 961\times 641$
$641^2$ เหลือเศษ$961$.....$961^3 =961(961)^2$...ค้าง $123\times 129\times 961\times 641\times961$
$961^2$เหลือเศษ$641$
รวมเศษที่เหลือ$123\times 129\times 961\times 641\times961\times641$ $=123.129.961^2.641^2$
$123\times 129=(100+23)(100+29)=10000+5200+667=15000+867$
เศษได้จาก$867.961.641$
$961.641=(900+61)(600+41)=540000+36600+36900+2501$
$=540000+37000+37000+2000+1$
$2123^{123}$ หารด้วย $1000$ เหลือเศษ867....
เปลืองเนื้อที่ไปหน่อย...แนวคิดตามข้างต้น..ไม่รู้ว่าจะหลงหูหลงตาไปบ้างไหม

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

เอามาเพิ่มให้ครับ ง่าย ๆ ครับ
ให้ $a,b,c \in \mathbb{Z} \wedge a \not= b\not= c$ เป็นคำตอบของสมการ $x^3-6x^2+14x-12$
จงหา $a^3+b^3+c^3$

ไม่รู้ว่าผมจะจำผิดหรือเปล่า ปกติคำว่าสมการนั้นต้องมีสองข้าง อย่าง$x^3-6x^2+14x-12=0$
ช่วยดูโจทย์อีกทีครับ

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ไม่รู้ว่าผมจะจำผิดหรือเปล่า ปกติคำว่าสมการนั้นต้องมีสองข้าง อย่าง$x^3-6x^2+14x-12=0$
ช่วยดูโจทย์อีกทีครับ

โทดทีครับ อย่างที่คุณกิตติ บอกไว้หละครับ

[RETRORIAN_MATH_PHYSICS]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

โทดทีครับ อย่างที่คุณกิตติ บอกไว้หละครับ

นั่นสินะ ผมดันทำเลย ลืมดู

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

เอามาเพิ่มให้ครับ ง่าย ๆ ครับ
ให้ $a,b,c \in \mathbb{Z} \wedge a \not= b\not= c$ เป็นคำตอบของสมการ $x^3-6x^2+14x-12$
จงหา $a^3+b^3+c^3$

คิดได้ 0 เหมือนกันครับ

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

คิดได้ 0 เหมือนกันครับ

ถูกแล้วครับ

[bakured]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ผมตั้งใหม่ $2123^{123}$ หารด้วย $1000$ เหลือเศษ ?

ข้อนี้มีวิธีใช้นิยามของมอดุโลของแฟร์มาตกับออยเลอร์ปะครับ...
นั่งกระจายทวินามนิผมว่ามึนหัวงะ เหอๆ--*

[กิตติ]

มอดุโลของแฟร์มาตกับออยเลอร์

คืออะไรเหรอครับ....ไม่รู้จักจริงๆครับ เป็นคณิตศาสตร์ที่เรียนกันระดับอุดมศึกษาหรือเปล่าครับ
ไม่คุ้นเลยครับ...ไม่มีข้อมูลในหัว..จริงๆ

[bakured]

จะอธิบายยังไงดีละครับคุณกิตติ...
คือลองเข้าgoogle แล้วพิมพ์ คอนกรูเอนซ์ดูนะครับ..
หรือไม่ในเว็บนี้คงจะมีบทความอธิบายอยู่แต่ผมจำไม่ได้แล้วครับ--*
ทฤษฏีนี้ผมทำได้แค่หาหลักสุดท้ายเองครับ เหอๆ--*แต่จำได้ว่ามันมีวิธีหา2หลักสุดท้ายT^Tซึ่งน่าจะอยู่ในพวกค่ายโอลิมปิกมั้งT^T

[กิตติ]

ขอบคุณครับคุณbakured
ผมออกตัวก่อนว่า...ผมเรียนคณิตศาสตร์แล้วไม่ได้ใช้เลยมาก็20ปีพอดี เพิ่งมาเล่นบอร์ดได้ประมาณเดือน ได้ฟื้นความรู้บ้าง สนุกดี.พอดีสายอาชีพที่ผมเรียนในมหาวิทยาลัยไม่ใช่pure scienceหรือต้องคำนวณ...สายอาชีพผมไปเน้นด้านการคำนวณทางสถิติวิจัยมากกว่า ทิ้งคณิตศาสตร์ไปนาน เหลือแต่พวกเบสิคครับ ...วิธีเลยออกแนวถึกเปลืองแรงไปหน่อยครับ