หา Derivative ยังไงครับ

[Math_M]

โจทย์มาแบบนี้ ขอชี้แนะด้วยครับ ดิทกำลังแก้ อยู่ครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Math_M

โจทย์มาแบบนี้ ขอชี้แนะด้วยครับ


$\frac{d}{dx}\int_2^x ln(t^2+1)dt $
$\frac{d}{dx}\int_4^x sin(\sqrt{t})dt $
$\frac{d}{dx}\int_{-x^2}^{x^2} e^{t^2}dt $

อย่างนี้หรือครับ

[Math_M]

ออ ใช่ครับ ขอบคุณมากเลยยยย

[poper]

มีสูตรอยู่ว่า
$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t) dt=f(x)$$
ลองคิดดูก่อนนะครับ

[Math_M]

ยังงงอยู่เลยย ครับ แล้ววิธีที่จะหา จะหาต่อยังไงอะ ครับ

[poper]

โทษทีครับรู้สึกว่าสูตรนี้จะใช้ไม่ได้ครับ
เพราะเป็นฟังก์ชันประกอบ
ข้อ 1 น่าจะประมาณนี้ครับ ใช้แทนค่า แล้วก็น่าจะ by part ต่อ
ให้ $u=t^2+1\ \ \ ,du=2t dt$
$$\int_2^x\ln(t^2+1)dt=\int_2^x\frac{(t^2+1)'\ln(t^2+1)}{(t^2+1)'}dt$$
$$\int_2^x \frac{2t\ln(t^2+1)}{(t^2+1)'}dt$$
$$\int_2^x\frac{\ln u}{u\ '}du$$
(ยังไปต่อไม่ถูกเหมือนกันครับ)

มาต่อครับ $u=t^2+1\ \ \ \ t=\sqrt{u-1}$
ขอบเขต $t=2---->u=5\ \ \ \ t=x------>u=x^2+1$ และให้ $f(u)=\frac{\ln u}{\sqrt{u-1}}$
$$\int_2^x\frac{\ln u}{u\ '}du=\int_2^x\frac{\ln u}{2t}du=\frac{1}{2}\int_5^{x^2+1}f(u)du$$
$$=\frac{1}{2}[F(x^2+1)-F(5)]$$
ดังนั้น
$$\frac{d}{dx}(\frac{1}{2}\int_5^{x^2+1}f(u)du)=\frac{1}{2}f(x^2+1)\cdot (2x)$$
$$=\ln(x^2+1)$$
คิดว่าน่าจะถูกนะครับ

[Math_M]

รอ ผู้รู้ มาคอน เฟิร์มอีกคร้ง T^T

[poper]

จริงๆผมทำให้มันยากไปเองครับ
เอาใหม่แบบนี้ละกันครับ
ให้ $u=t^2+1\ \ \ du=2t dt\ \ \ dt=\frac{du}{2t}\ \ \ t=\sqrt{u-1}$
เมื่อ $t=2---->u=5$ เมื่อ $t=x----->u=x^2+1$
$$\int_2^x\ln(t^2+1)dt=\int_5^{x^2+1}\ln u\frac{du}{2t}$$
$$=\frac{1}{2}\int_5^{x^2+1}\frac{\ln u}{\sqrt{u-1}}du$$
ให้ $f(u)=\frac{\ln u}{\sqrt{u-1}}$
$$\int_2^x\ln(t^2+1)dt=\frac{1}{2}\int_5^{x^2+1} f(u) du$$
$$\frac{d}{dx}[\frac{1}{2}\int_5^{x^2+1} f(u) du]=\frac{1}{2}f(x^2+1)\cdot (2x)=\ln(x^2+1)$$

[poper]

ข้อ 2
ให้ $u=\sqrt{t}\ \ \ u^2=t\ \ \ dt=2u du$
เมื่อ $t=4---->u=2\ \ \ \ ,t=x---->u=\sqrt{x}$
$$\int_4^x \sin(\sqrt{t})dt=\int_2^{\sqrt{x}}\sin u\ 2u\ du$$
$$=2\int_2^{\sqrt{x}}u\sin udu$$
ให้ $f(u)=u\sin u$
$$=2\int_2^{\sqrt{x}} f(u)du$$
$$\frac{d}{dx}2\int_2^{\sqrt{x}} f(u)du=2f(\sqrt{x})\cdot (\frac{1}{2\sqrt{x}})=\sin{\sqrt{x}}$$

[poper]

ข้อ 3 $\int_{-x^2}^{x^2} e^{t^2}dt=2\int_{0}^{x^2} e^{t^2} dt$
ให้ $u=t^2\ \ \ \ du=2tdt\ \ \ \ dt=\frac{du}{2t} \ \ \ t=\sqrt{u}$
เมื่อ $t=0---->u=0\ \ \ t=x^2---->u=x^4$
$$2\int_0^{x^2} e^{t^2}dt=2\int_0^{x^4} e^u\frac{du}{2t}$$
$$=\int_0^{x^4} \frac{e^u}{\sqrt{u}}du$$
$$=\int_0^{x^4} f(u)du$$
$$\frac{d}{dx}\int_0^{x^4} f(u)du=f(x^4)\cdot (4x^3)=4xe^{x^4}$$

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

$$\frac{1}{2}\int_5^{x^2+1}f(u)du=\frac{1}{2}[F(x^2+1)-F(5)]$$
ดังนั้น
$$\frac{d}{dx}(\frac{1}{2}\int_5^{x^2+1}f(u)du)=\frac{1}{2}f(x^2+1)$$

พลาดไปนิดนึงครับ เรารู้ว่า $\dfrac{d}{dx}F(x)=f(x)$ แต่สำหรับ $F(x^2+1)$ ต้องใช้กฎลูกโซ่ครับ
$$\dfrac{d}{dx}F(x^2+1)=\dfrac{dF(x^2+1)}{d(x^2+1)}\dfrac{d(x^2+1)}{dx}=f(x^2+1)\cdot2x$$
ส่วนสูตรแรกที่ให้มาก็ถูกแล้วนะครับ สามารถใช้่ได้เลย เช็คดูที่นี่ได้ Fundamental theorem of calculus: first part

[poper]

ขอบคุณคุณ Onasdi ครับ
ข้อ 1 กับ 2 นั้นตรงตามสูตรครับ
แต่ทำไมข้อ 3 ไม่ตรงตามสุตรล่ะครับ มีตรงไหนพลาดอีกมั้ยครับเนี่ย

[Onasdi]

ต้องไม่ลืมว่าเวลาจะใช้สูตร ตัวแปรที่ดิฟกับตัวแปรที่อยู่ด้านบนของเครื่องหมายอินติเกรตต้องเป็นตัวเดียวกันครับ ลองดูครับว่าจะต้องใช้สูตรยังไง

[poper]

ผมลองกำหนดให้ $u=e^{t^2}$ ดูคำตอบก็ยังได้เท่าเดิม
แสดงว่าน่าจะทำถูกแล้วใช่มั้ยครับ
ที่ข้อ 3 ไม่เป็นไปตามสูตร เนื่องจากว่าเริ่มแรกขอบเขตของการอินทิเกรตไม่ตรงกับสูตรนั่นเองครับ
(ตอนแรกผมไปคิดว่าใช้สูตรได้ คำตอบน่าจะได้ $e^{x^4}$ ครับ)

[Onasdi]

อ่าใช่ครับ แต่เรายังใช้สูตรได้นะครับ ใช้กฎลูกโซ่