จำนวนจริงครับ ... ดูง่ายเเต่ไม่รู้จะทำยังไงดี ?

[Suwiwat B]

ให้ $a = 1+\sqrt[3]{4}, b=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3},c=\sqrt[3]{11}$ เรียงลำดับค่าของ a,b,c
คือมันดูเหมือนไม่มีอะไร .. เเต่ไม่รู้จะทำยังไงจริงๆครับ

[gon]

a กับ b : ยกกำลังสามทั้งสองข้าง

a กับ c : เอา c หารด้วย a จากนั้นใช้ทฤษฎีบททวินามกระจายตัวเศษ ก็จะเห็นได้ชัด

b กับ c : เอา c หารด้วย b จากนั้นใช้ทฤษฎีบททวินามกระจายตัวเศษ ก็จะเห็นได้ชัดอีกเ่ช่นกัน

[Suwiwat B]

อ่า .. ขอดูระหว่าง a กับ c หน่อยได้มั้ยครับ ... ยังไม่ค่อยเข้าใจเท่าไรครับ

[gon]

อืม. เดี๋ยวนะครับ ผมลืมไปว่าต้่องใช้ทฤษฎีบททวินามแบบทั่วไป

รอสักครู่ กำลังหาวิธีสวย ๆ อยู่

เอาใหม่ ค่าระหว่าง $1+\sqrt[3]{4} $ กับ $\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3}$ ผมใช้อินทิกรัลแล้วกันครับ.

จากรูป(วาดเอง ) ให้ $y = f(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}$ จะเห็นว่า $$\int_{2}^{4}\,\frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}dx < A < \int_{1}^{3}\,\frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}dx $$
เมื่อ $A =\frac{1}{3}(2^{-2/3} + 3^{-2/3})$

ดังนั้น $$4^{1/3} - 2^{1/3} < A < 3^{1/3} - 1^{1/3}$$

นั่นคือ $1+\sqrt[3]{4} < \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3}$

[PP_nine]

เห็นวิธีพี่กอนแล้วมันดูล้ำลึกจนนึกไม่ถึงจริงๆ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

ให้ $a = 1+\sqrt[3]{4}, b=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3},c=\sqrt[3]{11}$ เรียงลำดับค่าของ a,b,c
คือมันดูเหมือนไม่มีอะไร .. เเต่ไม่รู้จะทำยังไงจริงๆครับ

แต่ถ้าเทียบ $a,c$ มันใช้วิธีกำลังสามแล้วเปรียบเทียบเอาก็ได้นี่ครับ

ใส่เครื่องหมาย $[?]$ คั่นกลางไว้ก่อน แล้วค่อยถอยหลังกลับมา
$$1+\sqrt[3]{4} [?] \sqrt[3]{11}$$
ยกกำลังสาม $$1+4+3(\sqrt[3]{4})(1+\sqrt[3]{4}) [?] 11$$
จัดรูป $$\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16} [?] 2$$
หาร $\sqrt[3]{4}$ ตลอด $$1+\sqrt[3]{4} [?] \sqrt[3]{2}$$
เท่านี้ก็ชัดเจนอยู่แล้วว่า $[?]$ ก็คือเครื่องหมาย $>$ นั่นเอง แสดงว่า $a>c$

(เทียบ $b,c$ ก็ในทำนองเดียวกัน)

[PP_nine]

อีกวิธีในการเทียบ $a,b$ ครับ ใช้ผลต่างกำลังสามเข้ามาช่วย
$$1+\sqrt[3]{4} \, \, [?] \, \, \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}$$
จัดรูป $$\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} \, \, [?] \, \, \sqrt[3]{3} - 1$$
คูณ $(\sqrt[3]{16}+2+\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1)$ ตลอด ได้ว่า $$(2)(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1) \, \, [?] \, \, (2)(\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{4}+2)$$
$$\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1 \, \, [?] \, \, \sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{4}+2$$
ที่เหลือก็เห็นๆอยู่แล้วครับ เพราะ $\sqrt[3]{9}<\sqrt[3]{16}$ และ $\sqrt[3]{3}<\sqrt[3]{4}$ และ $1<2$

เครื่องหมาย $[?]$ ก็คือ $<$ นั่นเอง แสดงว่า $a<b$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

ให้ $a = 1+\sqrt[3]{4}, b=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3},c=\sqrt[3]{11}$ เรียงลำดับค่าของ a,b,c
คือมันดูเหมือนไม่มีอะไร .. เเต่ไม่รู้จะทำยังไงจริงๆครับ

$a,b$ ผมทำแบบ PP_nine แต่ใช้เอกลักษณ์นี้

$(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)$

$~~~~~~~~a\quad \clubsuit\quad b$

$1+\sqrt[3]{4}\quad\clubsuit\quad\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}$

$~~~~~~~~1\quad\clubsuit\quad\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{4}$

$~~~~~~~1^3\quad\clubsuit\quad 2+3-4+3(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4})$

เห็นได้ชัดว่า $\clubsuit$ คือ $<$

กับอีกสองคู่ใช้อันนี้

$x+y+z\geq 0$ ก็ต่อเมื่อ $x^3+y^3+z^3\geq 3xyz$

ตัวอย่าง

$~~~~~~~~~~~~~~~~~a\quad \clubsuit\quad c$

$~~~~~~~~~1+\sqrt[3]{4}\quad\clubsuit\quad\sqrt[3]{11}$

$1+\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{11}\quad\clubsuit\quad 0$

$~~~~~1+4-11\quad\clubsuit\quad 3(1)(\sqrt[3]{4})(-\sqrt[3]{11})$

เห็นได้ชัดว่า $\clubsuit$ คือ $<$

[Suwiwat B]

โอ้ว .... ได้หลายเเนวคิดจริงๆเลย ขอบคุณทุกคนจริงๆครับ ...
เเต่ขอต่ออีก 1 ข้อเเล้วกัน 55
กำหนด $P(x)$ เป็นฟังก์ชันพหุนามกำลัง $5$ ซึ่งมีสมบัติว่า $P(m) = \frac{1}{m^2}$ ทุกค่า $m = 1,2,3,4,5,6$ จงหาค่าของ $P(9)$

[bell18]

ดูวิธีเปรียบเทียบง่ายๆนะครับ...
$a = (1+\sqrt[3]{4})^3 = 1+3\sqrt[3]{4}+3\sqrt[3]{16}+4 = 5+3(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16})$
$b = (\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3})^3 = 2+3\sqrt[3]{12}+3\sqrt[3]{18}+3 = 5+3(\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{18})$
$c = (\sqrt[3]{11})^3 = 11 = 5+3(1+1) = 5+3(\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{1})$
จะเห็นได้ชัดเจนเมื่อเทียบพจน์ต่อพจน์ของ a, b และ c
$\sqrt[3]{1} < \sqrt[3]{4} < \sqrt[3]{12}$ และ $\sqrt[3]{1} < \sqrt[3]{16} < \sqrt[3]{18}$
ดังนั้น สรุปได้ว่า c < a < b ครับ

[mebius]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

โอ้ว .... ได้หลายเเนวคิดจริงๆเลย ขอบคุณทุกคนจริงๆครับ ...
เเต่ขอต่ออีก 1 ข้อเเล้วกัน 55
กำหนด $P(x)$ เป็นฟังก์ชันพหุนามกำลัง $5$ ซึ่งมีสมบัติว่า $P(m) = \frac{1}{m^2}$ ทุกค่า $m = 1,2,3,4,5,6$ จงหาค่าของ $P(6)$

T _ T จากโจทย์มันก็ได้$P(m) = \frac{1}{m^2}$ ทุกค่า $m = 1,2,3,4,5,6$
ค่าของ $P(6)=\frac{1}{36}$ ไม่ใช่หรือครับ
พิมพ์เงื่อนไขผิดไหมครับน่าจะเป็นว่าหา$P(7)$หรืออื่นๆนะครับ

[Suwiwat B]

ขอโทษครับ .. เเก้เเล้วครับ หา P(9)

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

กำหนด $P(x)$ เป็นฟังก์ชันพหุนามกำลัง $5$ ซึ่งมีสมบัติว่า $P(m) = \frac{1}{m^2}$ ทุกค่า $m = 1,2,3,4,5,6$ จงหาค่าของ $P(9)$

ท่าทางจะใช้วิธี ม.ปลาย ไม่ได้ซะแล้ว ต้องใช้ Lagrange Interpolation Formula เอาครับ

เราบอกว่าพหุนามนี้ผ่านจุด 6 จุดได้แก่ $(1,1),(2,\frac{1}{4}),(3,\frac{1}{9}),(4,\frac{1}{16}),(5,\frac{1}{25}),(6,\frac{1}{36})$

สร้างพหุนามดีกรี 5 : $f_i(x)=(x-1)(x-2)...(x-(i-1))(x-(i+1))...(x-6)$ สำหรับ $i=1,2,...,6$

จะได้ว่า พหุนามดีกรี(อย่างมาก) 5 ที่ต้องการคือ
$$P(x)=\sum_{i=1}^6 \frac{1}{i^2} \cdot \frac{f_i(x)}{f_i(i)}$$
จากนั้นค่อยพิจารณาทีละตัว

$f_1(1)=-120$
$f_2(2)=24$
$f_3(3)=-12$
$f_4(4)=12$
$f_5(5)=-24$
$f_6(6)=120$

และ

$f_1(9)=2520$
$f_2(9)=2880$
$f_3(9)=3360$
$f_4(9)=4032$
$f_5(9)=5040$
$f_6(9)=6720$

ได้ $$P(9)=\frac{1}{1} \cdot \frac{2520}{-120}+\frac{1}{4} \cdot \frac{2880}{24}+\frac{1}{9} \cdot \frac{3360}{-12}+\frac{1}{16} \cdot \frac{4032}{12}+\frac{1}{25} \cdot \frac{5040}{-24}+\frac{1}{36} \cdot \frac{6720}{120}$$
กดเครื่องคิดเลขจนได้ $P(9)=-\dfrac{358}{45}$

วิธีนี้ไม่เหมาะกับการทำมืออย่างมาก เพราะตัวเลขเยอะจนปวดหัว ถ้าตรงไหน(กดเครื่องคิดเลข)ผิดก็ท้วงได้นะครับ

[LightLucifer]

ทำแบบ ม. ปลายก็ได้นะ
$Q(x)=x^2P(x)-1$
$Q(x)=A(x-1)(x-2)...(x-6)(x-a)$
ดังนั้น $P(x)=\frac{A(x-1)(x-2)...(x-6)(x-a)+1}{x^2}$
จะได้ว่า สปส. ของ $x^0,x^1$ ของ $Q(x)+1$ เท่ากับ $0$
เขียนสมการได้
$A(6!)(-a)+1=0$
$A(1764a+720)=0$
แก้ได้ $a=\frac{-20}{49},A=\frac{-49}{14,400}$
จะได้ $P(9)=-\frac{358}{45}$

[PP_nine]

โหวว ลืมไปเลยว่า สปส. สองตัวเป็นศูนย์

แล้วผมมานั่งคิดเลขซะอ้อมโลกทำไมเนี่ย

[mebius]

ฟังก์ชันพหุนามมี$x^2$เป็นตัวส่วนได้ด้วยหรือครับ