ช่วย prove ข้อนี้ ให้หน่อยคับ (discrete maths)

[bbcrew]

1. Prove that $3 + 3.5 + 3.5^2 + ... + 3.5^n$ = $3(5^{n-1})/4$ whenever n is a nonnegetive integer.

2. Prove that 5 divides $n^5 - n$ whenever n is a nonnegetive integer.

ช่วยหน่อยคับ ไม่รู้วิธีพิสูจน์ ว่าต้อง prove จากข้างไหนไปข้างไหน

ขอบคุณคับ

[kanakon]

ข้อ 1 ผมคิดว่าน่าจะใช้ induction ได้นะครับ
ข้อ 2 ลองให้ n เป็น $5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4$ แล้วลองจัดรูปดูนะครับ

[nooonuii]

1. พิมพ์โจทย์ผิดรึเปล่าครับ เพราะว่าทางขวามือของสมการไม่เป็นจำนวนเต็มครับ ข้อนี้ใช้ความรู้อนุกรมเรขาคณิตของม.ปลายก็ได้แล้วครับ แต่ถ้าโจทย์ต้องการให้ใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ก็ทำได้เหมือนกัน

2. พิจารณาค่า $n$ เป็นกรณีเหมือนที่น้อง kanakon บอกครับและสังเกตว่า
$$n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$$
จะช่วยให้คำนวณได้ง่ายขึ้นครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ bbcrew

2. Prove that 5 divides $n^5 - n$ whenever n is a nonnegetive integer.

อย่าลืมนะครับว่า ประพจน์นี้ยังไม่เข้ม (strong) พอ

เพราะ $n^5 - n = n(n^4-1) = (n-1)n(n+1)(n^2 + 1)$

แต่ 2 | (n-1)n หรือ 2|n(n+1)

และ 3 | (n-1)n(n+1)

ดังนั้น 6 | (n-1)n(n+1)

นั่นคือ $30 | n^5 - n$

[Aermig]

มันทำได้หลายวิธีครับ
1.อาจใช้ mathematical induction ก็ได้ หรือจะให้ผลบวกเป็น S ก่อนแล้วใช้วิธีทางพีชคณิตหาค่า S ออกมาก็ได้ครับ

2.อาจแยกกรณีว่า $n \equiv 0, 1,2, 3, 4 (mod 5)$ แล้วแสดงว่าทุกกรณีได้ $ n^5 - n \equiv 0 (mod 5)$ ก็ได้ครับ