Nice but very easy

[Spotanus]

ใช่แล้ว มันง่ายแต่สวยมากเลย ผมหลงมันมาสองวันแล้ว
ให้
$$\displaystyle{A=\{\frac{\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\mid x,y,z>0\}}$$
จงแสดงว่า
$$A=\left(0,\frac{9}{8}\right]$$

[dektep]

$0 < \frac{\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)} \le \frac{9}{8}$

ซึ่งจริงโดย am-gm ; $\sum_{sym}a^2b \ge 6abc$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spotanus

ใช่แล้ว มันง่ายแต่สวยมากเลย ผมหลงมันมาสองวันแล้ว
ให้
$$\displaystyle{A=\{\frac{\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\mid x,y,z>0\}}$$
จงแสดงว่า
$$A=\left(0,\frac{9}{8}\right]$$

เธอสวย ทุกนาทีที่เคยสัมผัส

หลงมากๆระวังจะเสียใจในภายหลังนะครับ

$A=\left(1,\dfrac{9}{8}\right]$

จากเอกลักษณ์

$(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz$

จะเห็นได้ชัดว่า

$\dfrac{(x+y+z)(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}>1$

อสมการ

$\dfrac{(x+y+z)(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq\dfrac{9}{8}$

สมมูลกับอสมการ

$(x+y+z)(xy+yz+zx)\geq 9xyz$

ซึ่งมาจากอสมการ AM-HM

แต่โจทย์ข้อนี้พิสูจน์อสมการอย่างเดียวไม่พอครับ

ต้องทำต่อด้วย

สมมติว่า $1<r\leq \dfrac{9}{8}$

ให้ $x=y=1,z=\dfrac{5-4r\pm\sqrt{9-8r}}{4r-4}$

จะได้

$\dfrac{(x+y+z)(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}=r$

ดังนั้น

$A=(1,\dfrac{9}{8}]$

[The jumpers]

\[\sum_{sym}x^2y\geqslant 6xyz\Rightarrow 8\sum_{sym}x^2y+24xyz\leqslant 9\sum_{sym}x^2y+18xyz\]
\[\Rightarrow 8(x+y+z)(xy+yz+zx)\leqslant 9(x+y)(y+z)(z+x)\]อืม... สวยดีนะครับ

[God Phoenix]

อ่า... อสมการนี้มีประโยชน์มากครับนำไปช่วยพิสูจน์ Carlson's Inequality ได้ด้วย

$$\sqrt[3] {\frac {(a+b)(b+c)(c+a)}{8}} \geq \sqrt {\frac {ab+bc+ca}{3}}$$