สมาคมคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 2555

[Keehlzver]

ข้อ 33 เปลี่ยนเป็น cos ก็ได้เหมือนกัน แต่สมบัติจะตรงกันข้ามกับที่พี่ passer-by โพสต์

ปล. ข้อสอบปีนี้โหดมากเลยครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ bell18

หน้าบอร์ดของ ม.ต้น โพสต์รูปข้อสอบลงไปเรียบร้อยแล้ว ของม.ปลายน่าจะโพสต์รูปข้อสอบลงไปบ้างนะครับ

วันศุกร์นี้คาดว่าผมจะได้ข้อสอบฉบับเต็มมาครับ ถ้ายังไม่มีใครแปะฉบับเต็ม คาดว่าไม่เกินวันจันทร์ที่จะนี้ผมจะหาเวลา scan ให้

[No.Name]

ข้อ 30 ยังไงอ่ะครับช่วยอธิบายหน่อยได้ไหมครับ ?

[แม่ให้บุญมา]

ตอนที่ 2
ข้อ 16. ให้ $I$ แทนเซตของจำนวนเต็มทั้งหมด ถ้า $f:I\rightarrow I$ โดยที่ $f(x+f(y))=x+y-4$ ทุกจำนวนเต็ม $x$ และ $y$ แล้ว $f(10)$ มีค่าเท่ากับเท่าใด$

ลองให้ f(y)=ay+b จะได้
f[x+(ay+b)]=a[x+ay+b]+b=ax+a²y+ab+b= x+y-4
พิจารณาสัมประสิทธิของ x และ y จะได้ a=1→ b=-4/2=-2
ดังนั้น f(10)=1(10)-2=8

[แม่ให้บุญมา]

ตอนที่ 3
33. กำหนดให้ $ x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots$ เป็นลำดับอนันต์ของจำนวนจริงในช่วง $[0,3]$ ซึ่งสอดคล้องกับอสมการ $\frac{x_n}{\sqrt{x_{n+1}+3}}\geq \sqrt{\frac{3}{2}}$
ทุก $n=1,2,3,\ldots$ ค่าของ $x_{2555}$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้เท่ากับเท่าใด

จากโจทย์ได้ $2\times X_n^2 \ge 3[X_{n+1}+3]$
ได้รูปทั่วๆไป $X_{n+1} \le \frac{2X_n^2 - 9}{3}$
นี่ดูค่า X จะลดลงไปเรื่อยๆ
ถ้าเริ่มจากค่าสูงสุด $X_1=3$ จะไ้ด้ $X_2 \le \frac{[2(9)-9]}{3}=3 $หรือได้ $X_2=[0,3]$
ถ้า $X_1 \lt 3$ จะได้ $X_3 \lt X_2$ จะได้ $X_1 \gt X_2 \gt X_3 \gt X_4 \gt ...$นั่นคือจะได้ $X_{2555}=0$
สรุปถ้า$ X_1=3$ จะได้ $X_{2555}=[0,3]$
สรุปถ้า $X_1 \lt 3 $ จะได้ $ X_{2555}=0$
ถ้า $X_n=\frac{3}{\sqrt{2}} =2.12132 $ จะได้ $X_{n+1}=0 $ พอดี

[แม่ให้บุญมา]

B]21.[/b] ให้ $P$ เป็นพาราโบลา $y=4x^2$ และ $F$ เป็นจุดโฟกัสของ $P$ จงหาสมการทางเดินของจุดกึ่งกลางของคอร์ดของ $P$ ซึ่งคอร์ดเหล่านี้ผ่านจุดโฟกัส $F$
จากสมการ พาราโบลา 4x²=y₁ หรือ x²=4(1/16)y₁=4cy₁
สมการเส้นตรงระหว่างจุดตัด พาราโบลา x₁,x₂ และผ่านจุดโฟกัส c=(0,1/16) คือ y₂-1/16 = mx เมื่อ m เป็นความชันของเส้นตรง
เมื่อ y₁=y₂ จะได้ 4x² - mx -1/16=0 →
x² - mx/4 -1/64= (x-x₁)(x-x₂)=x²-(x₁+x₂)x+ x₁x₂
เทียบสัมประสิทธิ์จะได้ x₁+x₂=m/4
แทนค่า x=(x₁+x₂)/2=m/8 (จุดกึ่งกลางของเส้นตรง ในสมการเส้นตรงได้
y₂= mx+1/16= m(m/8)+1/16=8(m/8)²+1/16=8x²+1/16 หรือ
x²=(1/8)(y-1/16)= 4(1/32)(y-1/16)
ได้ ทางเดินจุดกึ่งกลางเส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัสเดิมของพาราโบลาเป็นพาราโบลาที่มี ความยาวโฟกัส=1/32
มีจุดยอดอยู่ที่จุดโฟกัสเดิม คือที่ (0,1/16)

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TU Gifted Math#10

35. สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก $n$ กำหนดให้ $a_n=$ จำนวนจริงที่มีค่ามากที่สุดที่ทำให้เส้นตรง $y=a_nx$ ตัดกราฟ $y=sin x$ ทั้งหมด $4n+1$ จุด จงหาค่าของ $\lim_{n\rightarrow\infty} na_n$

ตอนแรกไม่สนใจข้อนี้เท่าไหร่ แตตอนนี้ เห็นเงียบๆ ก็เลยขอลองทดดูครับ

ในฝั่งบวก กราฟจะตัด sin x ใน $ (0, \pi ) ,(2\pi , 3\pi) ,...$ (ส่วนฝั่งลบก็สมมาตรกับฝั่งบวก)

เพราะฉะนั้น แสดงว่า 4n+1 จุด เกิดได้กรณีเดียวคือ จุดสุดท้ายก่อนเส้นตรงพ้นจากกราฟ sin x นั้น กราฟเส้นตรงจะต้องสัมผัสกราฟ sin x พอดี ที่ $ x= x_n= 2n\pi + l_n \,\, ,0< l_n \leq \frac{\pi}{2} $

เนื่องจาก slope เส้นตรงดูจาก $ a_n $ ดังนั้น $ a_n = \cos x_n = \cos l_n $

เมื่อ n มากขึ้น จำนวนจุดตัดมากขึ้น ดังนั้น $a_n$ เป็นลำดับลด ส่งผลให้ $ l_n $ ลู่เข้า $\frac{\pi}{2}$

ในขณะเดียวกัน $ a_n = \frac{y_n}{x_n} = \frac{\sin x_n}{x_n} = \frac{\sin l_n}{2n\pi + l_n}$

ดังนั้น $ \lim_{n\rightarrow\infty} na_n =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\sin l_n}{2n\pi + l_n} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin l_n}{2\pi + \frac{l_n}{n}} = \frac{1}{2\pi}$

Note : $ \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{l_n}{n} = 0 $ โดยใช้ squeezing theorem และพิจารณา

$ 0 < \frac{l_n}{n} \leq \frac{\pi /2}{n}$

[N'Pon Jukku AuHu Jealyai]

ขอบคุณคุณ gon มากครับ
ได้มาแล้วลงในบอร์ดนี้นะครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ N'Pon Jukku AuHu Jealyai

ขอบคุณคุณ gon มากครับ
ได้มาแล้วลงในบอร์ดนี้นะครับ

ผมได้ตัวข้อสอบฉบับจริงมาแล้วครับ แต่เป็นเวอร์ชันถ่ายเอกสารมา ซึ่งไม่ค่อยชัดเท่าไร

สงสัยว่าหมึกใกล้จะหมด

เดี๋ยวผมจะหาเวลาว่างสแกนภายในเวลาที่ผมว่าไว้

[bell18]

สู้ๆครับพี่ gon

[Pain 7th]

30. เห็นได้ชัดว่าจำนวนสมาชิกใน A มีได้อยย่างมากแค่ 5 ตัว และ จากเงื่อนไขเราจะได้ว่า

$a \in {1,2,3,4,6,12}$ เท่านั้น เพราะว่า ทุกตัวของ A จะต้องไปหาร B ดังนั้นถ้ามี 8,9 อยู่ จะได้ให้ B เป็นเซตว่าง

จากนั้น ถ้า A มีสมาชิกเป็น 5 ตัว จะทำให้ $A \cap B \cap C \not= {1}$ (ลองทดดู)

เพราะฉะนั้น A มีสมาชิก 4 ตัว จะได้ $A={1,4,6,12} $

[~ArT_Ty~]

ใครก็ได้ช่วยเฉลยข้อที่เป็นนิยามลิมิตทีครับ

ผมไม่ค่อยถนัดโจทย์นิยามด้วยซี TT

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TU Gifted Math#10

14. กำหนดให้ $f$ เป็นฟังก์ชันจากเซตของจำนวนจริงไปยังเซตของจำนวนจริง และให้ $a$ เป็นจำนวนจริง จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
(1) ถ้า $ \textstyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{h} =10$ แล้ว $ \textstyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} =5$
(2) ถ้า $ \textstyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} =5$ แล้ว $ \textstyle\lim_{h\to
0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{h} =10$

(1) เท็จ เช่น $f(x)=5x,x\neq 0$ และ $f(0)=1$ โดยให้ $a=0$

(2) จริง พิสูจน์ไปหลายรอบแล้ว

[จอมยุทธ์หัวเกรียน]

ข้อ16คิดแบบนี้ได้ปะครับ
x+f(y)=a x=a-f(y)
ดังนั้นf(x)=x-f(y)+y-4
f(10)=10-f(10)+10-4
f(10)=8
คิดเกรียนแบบนี้จะได้ปะครับ

[cardinopolynomial]

วานขอข้อ 22 หน่อยครับ ได้ไม่ตรงกับเพื่อน