พิสูจน์ยังไงดีครับ

[t.B.]

ให้ $ p+q=1 ; 0\leqslant r\leqslant n$ พิสูจน์ว่า

$0\binom{n}{0} p^n + 1\binom{n}{1} p^{n-1}q +...+ r\binom{n}{r} p^rq^{n-r} +...+ n\binom{n}{n} q^n = nq $

ปล.สมการนี้ไปเจอเข้าโดยบังเอิญตอนจะพิสูจน์ค่า expectation ของ binomial distribution แต่ไม่รู้จะจัดรูปยังไงให้ออกเป็น RHS. ได้ ใครมีวิธีดีๆช่วยแนะนำทีครับ

[Tohn]

ผมคิดว่าน่าจะเป็ฯงี้
จาก $r\binom{n}{r} = n\binom{n-1}{r-1}$ จะได้
$ 0\binom{n}{0} p^n + 1\binom{n}{1} p^{n-1}q +...+ r\binom{n}{r} p^rq^{n-r} +...+ n\binom{n}{n} q^n = n[ \binom{n-1}{0} p^{n-1}q + \binom{n-1}{1} p^{n-2}q^{2}+...+\binom{n-1}{n-1}q^{n} ] $
$ = nq(p+q)^{n-1}=nq $
ถ้าเป็น $X\sim B(n,p)$ ผมว่าเราควรเขียน
$E(X) = \sum_{r = 1}^{n} r\binom{n}{r}p^{r}q^{n-r}$
แล้วจะได้ $E(X) = np $ เลย ถ้าผมเข้าใจไม่ผิด แหะๆ

[t.B.]

โอ้! ขอบคุณ คุณ Tohn มากครับ