ฝึกอินทิเกรตกัน

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

36. $$\int_{0}^{\pi} \ln{(1+b\cos{x})} \, dx$$ (b is constant.)

ข้อนี้ใครมีวิธีที่ง่ายกว่านี้ไหมครับ ผมทำซะโลกาวินาศเลย จริงๆแล้วยาวกว่านี้มากแต่ขอตัดเฉพาะส่วนสำคัญมาลงไว้

ให้ $\displaystyle{f(b)=\int_{0}^{\pi} \ln{(1+b\cos{x})} \, dx},b\in [0,1]$

จะได้ $f(0)=0$ และ

$\displaystyle{bf'(b)=\pi-\int_0^{\pi}\dfrac{1}{1+b\cos{x}}\,dx}$

$~~~~~~~=\pi-\dfrac{\pi}{\sqrt{1-b^2}}$

ในส่วนของ $\displaystyle{\int_0^{\pi}\dfrac{1}{1+b\cos{x}}\,dx}$ ใช้การแทนค่า $u=\tan{\frac{x}{2}}$

จึงได้ $f'(b)=\dfrac{\pi}{b}-\dfrac{\pi}{b\sqrt{1-b^2}}$

อินทิเกรตอีกรอบจะได้

$f(b)=\pi\ln(1+\sqrt{1-b^2})+C$

แต่จาก $f(0)=0$ จะได้

$$f(b)=\pi\ln{\Big(\dfrac{1+\sqrt{1-b^2}}{2}\Big)}$$

[-InnoXenT-]

ข้อ 22. กับข้อ 30. ถูกครับ แต่ที่จริง ข้อ 22. ไม่จำเป็นต้องใช้เชิงซ้อนก็ได้นะครับ แค่พิสูจน์ดังนี้ (กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนคี่)

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin{(n+2)x}}{\sin{x}}\, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin{(nx)}\cos{(2x)+\cos{(nx)}\sin{(2x)}}}{\sin{x}}\, dx$$

$$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{(nx)}(\csc{x}-2\sin{x})+2\cos{(nx)}\cos{x}\, dx$$

$$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{(nx)}\csc{x}+2\cos{((n+1)x)}\, dx$$

ก้อนหลังจะ อินทิเกรต ได้ 0 เสมอ


ส่วนข้อ 36. นั้น ตอนผมทำ ผมใช้ วิธีเดียวกันกับคุณ nooonuii ครับ เล่นเอาเหนื่อยเลยทีเดียว

[Tohn]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

53. $$\int_{0}^{1} \ln{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})} \, dx$$

$$\int_{0}^{1} \ln{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})} \, dx = \frac{1}{2}(\int_{0}^{1} \ln{x} \,dx + \int_{0}^{1} \ln{(1+ \sqrt{1-x^{2}})} \, dx ) $$
$$\int_{0}^{1} \ln{(1+\sqrt{1-x^{2}})} \, dx = \left[\,\right. x\ln{(1+\sqrt{1-x^{2}})}\left.\,\right]^{1}_{0} -\int_{0}^{1} x(\ln{(1+\sqrt{1-x^{2}})})' \, dx =\frac{\pi}{2} - 1 $$
$$\therefore \int_{0}^{1} \ln{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})} \, dx = \frac{\ln{2}}{2}+\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$$

[-InnoXenT-]

วิธีทำ ของคุณ Tohn ถูกต้องครับ edit ลิงค์เฉลยแล้ว XD

กำลังคิดว่าจะเพิ่มโจทย์ แต่รออีกนิดดีกว่า

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Tohn

$$\int_{0}^{1} \ln{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})} \, dx = \frac{1}{2}(\int_{0}^{1} \ln{x} \,dx + \int_{0}^{1} \ln{(1+ \sqrt{1-x^{2}})} \, dx ) $$
$$\int_{0}^{1} \ln{(1+\sqrt{1-x^{2}})} \, dx = \left[\,\right. x\ln{(1+\sqrt{1-x^{2}})}\left.\,\right]^{1}_{0} -\int_{0}^{1} x(\ln{(1+\sqrt{1-x^{2}})})' \, dx =\frac{\pi}{2} - 1 $$
$$\therefore \int_{0}^{1} \ln{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})} \, dx = \frac{\ln{2}}{2}+\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$$

มาดูใหม่อีกที บรรทัดแรก มันต้องเป็น
$$\int_{0}^{1} \ln{2} \,dx$$ ไม่ใช่เหรอครับ

ขออนุญาต Double Post นะครับ

ปล. เพิ่มโจทย์แล้ว จะมีคนทำมั๊ยนะ = =a เหมือนเดิมนะครับ ขอเฉลย PM ส่งมาให้ผมได้

[R.Wasutharat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

67. $$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(1+x^r)(1+x^2)}$$

ให้ $x = \tan \theta$ จะได้
\[
\int\limits_0^\infty {\frac{{dx}}{{\left( {1 + x^r } \right)\left( {1 + x^2 } \right)}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{d\theta }}{{1 + \tan ^r \theta }} = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos ^r \theta }}{{\sin ^r \theta + \cos ^r \theta }}d\theta = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin ^r \theta }}{{\sin ^r \theta + \cos ^r \theta }}d\theta } = \frac{\pi }{4}
\]

[-InnoXenT-]

ข้อ 67. นี่ จาก ผมก๊อปเว็บบอร์ดนี้เลยแหละครับ ยังมีอีกนะ

[Suwiwat B]

ยากจังอะครับ นั่งทำตั้งนานเเล้ว ไม่ออกอีกเลย

[-InnoXenT-]

ขอเฉลยหรือ แนวคิดได้นะครับ pm ส่งมา ^^"

[R.Wasutharat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

69. $$\int \frac{\cos^2{x}}{e-\cos^2{x}} \, dx$$

\[
\int {\frac{{\cos ^2 x}}{{e - \cos ^2 x}}} dx = - \left( {\int {dx - e\int {\frac{{dx}}{{e - \cos ^2 x}}} } } \right) = - x + e\int {\frac{{\sec ^2 x}}{{e\sec ^2 x - 1}}dx} = - x + e\int {\frac{{d\left( {\tan x} \right)}}{{e\tan ^2 x + \left( {e - 1} \right)}}}
\]
\[
= - x + \int {\frac{{d\left( {\tan x} \right)}}{{\tan ^2 x + \left( {\frac{{e - 1}}{e}} \right)}}} = - x + \sqrt {\frac{e}{{e - 1}}} \arctan \left( {\sqrt {\frac{e}{{e - 1}}} \tan x} \right) + c
\]

[-InnoXenT-]

ข้อ 69. ถูกต้องครับ ^^" ผมรู้สึกว่าโจทย์แนวนี้เยอะเหลือเกิน

[-InnoXenT-]

รันเลขข้อใหม่แล้วครับ

เนื่องด้วย สมุดทดของผม ที่เขียนเฉลยไว้ ผมทำหาย ผมเลยทำเฉลยใหม่ทั้งหมด ผลก็คือ - -a ทำสามข้อนี้ไม่ได้

$$\int \frac{dx}{x^3\sqrt{1+x^4}}$$

$$\int \frac{dx}{x^4\sqrt{1+x^4}}$$

$$\int_{0}^{1} \ln{(1-x)}\ln{(1+x)} \, dx$$

ผมจึงขอ ลบออก แล้วรันเลขข้อใหม่

แล้วผมก็เพิ่มเฉลย ให้ครบ จนถึงข้อ 22 แล้วครับ

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=268

[R.Wasutharat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

31. $$\int \frac{\sqrt{\sin{x}}}{\sqrt{\sin{x}}+\sqrt{\cos{x}}} \, dx$$

ข้อนี้มีขอบเขตไหมครับ ?

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

39. $$\int_{2}^{4} \frac{\sqrt{\ln{(9-x)}}}{\sqrt{\ln{(9-x)}}-\sqrt{\ln{(3+x)}}}\, dx$$

ข้อนี้ตัวส่วนเป็นบวกหรือป่าวครับ ?

[-InnoXenT-]

พิมพ์ตกไปทั้งสองข้อจริงๆด้วยสิ ขอโทษครับ พิมพ์โจทย์เยอะเกิน เลยมึนๆนิดนึง T T

แต่งี้ ก็คุณ R.Wasutharat ก็ทำเพิ่มได้อีกสองข้อแล้วสิครับ ;D แก้โจทย์ให้แล้วนะครับ สองข้อเลย

จริงๆ ผมกะจะลงเฉลยทั้งหมดแล้วแหละ เห็นไม่มีใครทำ - -"

[R.Wasutharat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

56. $$\int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}}{\sqrt{x}} \, dx$$

ให้ $u = \sqrt[3]{{1 + \sqrt[4]{x}}}$ จะได้
\[
\int {\frac{{\sqrt[3]{{1 + \sqrt[4]{x}}}}}{{\sqrt x }}} dx = 12\int {u^3 \left( {u^3 - 1} \right)du = 12\int {\left( {u^6 - u^3 } \right)} } du = 12\left( {\frac{{u^7 }}{7} - \frac{{u^4 }}{4}} \right) + c = \frac{{12}}{7}\left( {1 + \sqrt[4]{x}} \right)^{\frac{7}{3}} - 3\left( {1 + \sqrt[4]{x}} \right)^{\frac{4}{3}} + c
\]
ปล. จริงๆผมทดไว้ในกระดาษแล้วหลายข้อ แต่ยังไม่มีเวลาพิมพ์