ข้อสอบ IJSO คณิตศาสตร์ รอบ 1

[MoriKung]

ข้อสอบ IJSO คณิตศาสตร์ รอบ 1

[MoriKung]

หน้า2

[MoriKung]

หน้า 3

[gon]

ขอบคุณมากสำหรับข้อสอบครับ รวดเร็วทันใจดีมากเลย เวลาน้อยมากเลยนะครับ แต่ 1 ชม.เท่านั้น ตกข้อละ 1 นาทีเอง

ปล.จัดสอบที่ไหนบ้างครับ หรือ ใช่ตามศูนย์ สอวน.ภาคต่าง ๆ หรือเปล่า?

[zensukae]

ช่วยเฉลยด้วยค่า อยากรู้ได้เท่าไร 55
ทำได้ประมาณ 15 ข้อเอง TT^TT

[nongtum]

เฉลยทดด่วนพร้อมแนวคิดครับ หากใครคิดแล้วคำตอบไม่ตรงบอกกันด้วยนะครับ
หากอยากดูวิธีทำละเอียดข้อไหนขอได้ครับ หรือหากใครอยากแปะวิธีทำก็แปะได้เลยครับ
อยากดูคำตอบแบบไหนคลิกได้เลยครับ

keys

 1. ข	 2. ง	 3. ก	 4. ค	 5. ข
 6. ค	 7. ก	 8. ก	 9. ค	10. ง
11. ค	12. ค	13. ข	14. ง	15. ก
16. ข	17. ก	18. ง	19. ค	20. ก
21. ง	22. ข	23. ก	24. ค	25. ค

แนวคิดสั้นๆครับ

1. ข (เพราะระยะทางที่แต่ละคนวิ่งได้คิดเป็นอัตราส่วนคือ A:B:C=100:90:81)
2. ง (หากซื้อลูกอมรสส้มและรสมะนาวอย่างละ a และ b เม็ด จะได้ a/2+b/3=30, a+b=70 และ (a,b)=(40,30)
3. ก $\frac{4}{1+\sqrt2-\sqrt3}=\frac{4(1+\sqrt2+\sqrt3)}{3+2\sqrt2-3}=\sqrt2(1+\sqrt2+\sqrt3)$
4. ค (ในแต่ละเทอมให้คูณเศษและส่วนด้วย $2^{-1/3},\ 2^{-2/3},\ 1$ ตามลำดับ แล้วรวมเทอม)
5. ข (ให้เทอมนี้คือ x ยกกำลังสองแล้วแก้หา x)
6. ค (แก้สมการ $(x+\frac1x)^3-3(x+\frac1x)=52$ หา x+1/x แล้วยกกำลังสองคำตอบที่หาได้)
7. ก ($4x^2-8x=4(x^2-2x)$)
8. ก (แก้สมการ -(a+4)=a(a+4) หา a)
9. ค (เทียบสัมประสิทธิ์จาก $ax^2+bx+a=(x-2)(ax-c)$ )
10. ง (ใช้ผลลัพธ์จาก $\Delta{AMC}~\Delta{DMB}$)
11. ค (ลาก AF ตั้งฉากกับ BC แล้วใช้สมบัติความคล้ายหาพื้นที่สามเหลี่ยมย่อย และ AF แบ่งครึ่ง $\Delta{ABC}$)
12. ค (หาความสัมพันธ์ของพื้นที่ในเทอมของด้านก่อน)
13. ข (ต่อด้านที่ไม่ขนานกันไปตัดที่จุดๆหนึ่ง แล้วใช้สามเหลี่ยมคล้ายกับสูตรพื้นที่สามเหลี่ยมในเทอมของด้านหาความสัมพันธ์ของทั้งสองด้าน)
14. ง (จำนวนเส้นทแยงมุมของรูป n-เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า=n(n-3)/2 พอได้ n แล้วให้วาดรูปแล้วใช้ตรีโกณกับสามเหลี่ยมที่เกิดจากรัศมีสองเส้นและด้านหนึ่งด้านของรูปเหลี่ยม)
15. ก (ลากส่วนสูงของกรวย แล้วพิจารณาสามเหลี่ยมคล้ายที่เกิดจากการแบ่งกรวยด้วยระนาบที่ผ่านจุดยอดและตั้งฉากกับฐาน)
16. ข (หาเส้นรอบวงที่ฐานของกรวยจากข้อมูลที่ให้ ประกอบกรวยแล้วหารัศมีฐานและความสูงจากเส้นรอบวงและสูงเอียงของกรวย)
17. ก (พิจารณาสามเหลี่ยมคล้ายที่เกิดจากการแบ่งพีระมิดด้วยระนาบที่ผ่านจุดยอดและตั้งฉากกับฐาน)
18. ง (หาความสูงและความยาวด้านประกอบมุมยอด)
19. ค (sin A=cos B ในสามเหลี่ยม ABC ดังนั้น A+B=90°=C ลากเส้นมัธยฐานที่กำหนดแล้วสังเกตอีกนิดก็ตอบได้แล้ว)
20. ก (ทำเทอมทางซ้ายมือให้อยู่ในรูป sin A, cos A แล้วแก้สมการหา sin A cos A)
21. ง (วาดรูป ที่เหลือก็ Routine...)
22. ข (วาดแผนภาพ)
23. ก (5+6=6+5=11)
24. ค (ตัวที่เพิ่มเข้าไปไม่ทำให้มัธยฐานเปลี่ยน ดังนั้น...)
25. ค (กำหนดให้อัตราเร็วของการพายเรือในน้ำนิ่งและกระแสน้ำเป็น x และ y ตามลำดับ ดังนั้น (x+y+x-y)/2: (x+y)=4:5)

edit: แก้คำตอบข้อ 10,13,14

[MoriKung]

ข้อความเดิมของคุณ gon:
ขอบคุณมากสำหรับข้อสอบครับ รวดเร็วทันใจดีมากเลย เวลาน้อยมากเลยนะครับ แต่ 1 ชม.เท่านั้น ตกข้อละ 1 นาทีเอง

ปล.จัดสอบที่ไหนบ้างครับ หรือ ใช่ตามศูนย์ สอวน.ภาคต่าง ๆ หรือเปล่า?

น่าจะจัดสอบทุกจังหวัดอ่ะค่ะ เพราะเค้าคัดไปจังหวัดละ 10 คน

[zensukae]

โฮกกก ถูก 15 เอง

[MoriKung]

ข้อ 6
$ x^{ 3 } $ + $ \frac{1}{x^{ 3 }} $ = 52
$ (x+\frac{1}{x}) ^{ 3 } $ - 3 $ (x+\frac{1}{x}) $ = 52
ให้ $ (x+\frac{1}{x}) $ = A
$A ^{ 3 } $ + 3A - 52 = 0
(A-4)($A^{ 2 }$ + 4A +12) = 0
A = 4
$ (x+\frac{1}{x}) $ = 4
$x ^{ 2 } $+$ \frac{1}{x^{ 2 }} $ = $ (x+\frac{1}{x}) ^{2}$-2 = 16-2 = 14

[MoriKung]

ขอเฉลยละเอียด ข้อ 10 ,13 ,25 หน่อยค่ะ
ดูเฉลยอีกที่นึงแล้วคำตอบมันไม่ตรงกัน

[nongtum]

ขอบคุณครับที่ท้วง ผมไม่แสดงรายละเอียดทั้งหมดละกัน

10. ให้ AM=(4/3)x, MB=x, MC=y, MD=3y จาก $\Delta{AMC}~\Delta{MDB}$ จะได้ CM:AM=BM: DM
นั่นคือ y: (4/3)x=x:3y หรือ y=(2/3)x จาก AM+MB=14=(7/3)x จะได้ x=2 และ CM=y=4 หน่วย

13. หลังจากวาดรูปตามที่บอกด้านบนแล้ว จะพบว่าสามเหลี่ยมเล็กคล้ายกับสามเหลี่ยมใหญ่
ให้ด้านประกอบมุมยอดของสามเหลี่ยมยาว x และ y หน่วย
โดยสามเหลี่ยมคล้ายจะได้ความยาวด้านของด้านที่ไม่ขนานกันของสี่เหลี่ยมคางหมูยาว 2x และ 2y
เพราะว่าสองด้านนี้เป็นเส้นสัมผัสวงกลม ดังนั้น 2x+2y=7+21=28 หรือ x+y=14
พื้นที่ของสามเหลี่ยมเล็กเท่ากับ $0.5\times6\times7=21=\sqrt{s(s-7)(s-x)(s-y)}$ โดยที่ $s=\frac{x+y+7}{2}=\frac{21}{2}$
ดังนั้น $(21-2x)(21-2y)=48$ และ $xy=195/4,\ x-y=\sqrt{(x+y)^2-4xy}=1$ และผลต่างความยาวด้านที่ต้องการเป็น 2x-2y=2

25. ลองจัดรูปต่อจากด้านบนจะได้ x:y=4:1 ครับ

[MoriKung]

ข้อ 14
$ \frac{n(n-3)}{2} $ = 20
$ n^{ 2 } $-3n-40 = 0
(n-8)(n+5) = 0
n = 8

พ.ท.รูป 8 เหลี่ยม
= 8 x $ \frac{1}{2} $ x sin 45ฐ x 1 x 1
= 4 x $ \frac{1}{\sqrt{ 2 }} $
= 2$ \sqrt{ 2 } $