ข้อสอบ IJSO ครั้งที่ 5 ม.ต้น

[nongtum]

ข้อ 10 ตอนหาคำตอบผมใช้การหาอนุพันธ์ช่วยครับ เพราะตอนแรกลองใช้เทคนิคเหมือนข้อ 9 ในกระทู้นี้แล้วจัดรูปต่อไม่ได้
หากจะใช้วิธีม.ต้่นอาจต้องไปอ้อมมา ซึ่งผมยังไม่ได้ลองทดเพิ่มครับ

ปล. เล่นเวบบอร์ดโปรดใจเย็นๆ

[jabza]

พี่nongtumครับ ผมลองอนุพันธ์แล้วครับ แต่ก็ได้เท่ากับ 2 (น้อยลงไปอีก)

งั้นผมจาลองเขียนวิธีให้ดูละกันนะครับ

ข้อ 10
$ให้ y = 2x + (1-x)^\frac{1}{2} $

$ y ' = 2 - \frac{1}{2(1-x)} $

$0 = 4(1-x) - 1$

$= 4 - 4x - 1$

$ x = \frac{3}{4} $

$ y = 2(\frac{3}{4}) + \sqrt{1-\frac{3}{4} } $

$ = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2 $

ใครก็ได้ช่วยตรวจด้วยน้าครับ

[nongtum]

#17
ตรง $1-x$ ในบรรทัดที่สองและสามต้องเป็น $\sqrt{1-x}$ นะครับ

[jabza]

ทำได้แล้วครับ มือใหม่หัดdiff สูตรยังไม่คล่อง โจทย์นี้สวยจริงๆนะครับ ถ้ามองไม่ออกว่ามันมี+-ก็ยังไม่รู้อีก

[gon]

วิธีแบบ ม.ต้น ของ ข้อ 10 คือ หลังจากสมมติให้ $y = 2x + \sqrt{1-x}$ จากนั้นจัดรูปเป็น $y - 2x = \sqrt{1-x}$ จากนั้นยกกำลังสองทั้งสองข้างแล้วกระจายออกมา

จากนั้นเนื่องจากเราต้องการเงื่อนไขของ y เราจึงมองสมการกำลังสองในตัวแปร x คือ จัดรูปเป็น$$4x^2 - (4y-1)x + y^2 - 1 = 0$$
จากนั้นใช้ความจริงที่ว่าสมการพหุนามกำลังสอง $ax^2 + bx + c = 0 $ จะมีรากเป็นจำนวนจริงก็ต่อเมื่อ $b^2 - 4ac \ge 0$ นั่นคือแก้อสมการ $(4y-1)^2 \ge 4(4)(y^2 - 1)$ ก็จะได้ $y \le \frac{17}{8}$ ตามที่ต้องการครับ.

[jabza]

ขอขอบคุณพี่ gon. I see.;วันนี้ผมต้องไปเข้าค่าย ส.อ.ว.น. รอบ2ที่ มน.คับ.(15วัน)

[passer-by]

ข้อ 17 ตอบ ค

แนวคิด คือ

- เชื่อม center ของวงกลมวงเล็กทั้ง 3 วง จะได้สามเหลี่ยมด้านเท่า (สมมติชื่อ ABC) ที่มีความยาวด้านละ 2r หน่วย เมื่อ r แทนรัศมีวงเล็กแต่ละวง

- จากจุดสัมผัสวงเล็กกับวงใหญ่แต่ละจุด ลากผ่านจุดยอดสามเหลี่ยมด้านเท่าที่กล่าวไปข้างต้น จะไปตัดกันที่ center วงกลมวงใหญ่ (สมมติว่าคือจุด O)

- แน่นอนว่า OA = OB =OC และสามารถพิสูจน์ได้โดยง่ายว่า OA, OB, OC แบ่งครึ่งมุมยอดแต่ละมุมของสามเหลี่ยม ABC ด้วย

- ใช้ตรีโกณมิติกับคุณสมบัติสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ก็จะได้ว่า รัศมีวงใหญ่ คือ $ (1+ \frac{2}{\sqrt{3}})r$

[-|O[H]M|-]

ทำได้ครึ่งเดียวเองครับ เซ็ง เครียด เล่น SF อยากรู้ผลเร็วๆ จัง

[lookfordeep]

ขอบคุณมากค่ะ สำหรับเฉลย
แต่อยากได้เฉลยละเอียดทุกข้ออ่าค่ะ
ขอบคุณนะคะ

[Anonymous314]

ข้อ 16 ครับ

[butare]

ช่วยเฉฮลยวิธีคิด ข้อ 2 ข้อ 7 กับข้อ 12 หรือช่วย hint ให้หน่อยครับ ขอบคุณ

[[SIL]]

ข้อ 2 จับ เท่ากับอะไรก็ได้ครับ แล้วคูณ $1-2^4$ เข้าทั้งสองข้าง
ข้อ 7 แก้สมการจัด a,b ให้อยู่ฝั่งเดียวกัน(โดยการคูณ a,b เข้าแล้วนำสมการมาลบกัน)แล้วใช้เงื่อนไข ที่ $(x,y) \in Q_1$
ข้อ 12 ผมไม่ทราบครับ ผมคิดว่าหากกรณีที่สามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าแล้วน่าจะเท็จหมดนะครับ ขอประทานอภัย

[passer-by]

ข้อ 12 ผมขอเปลี่ยน notation ในโจทย์นิดนึงนะครับ เพราะปกติ a,b,c จะหมายถึงด้านตรงข้ามมุม A,B,C

ให้ $ h_a , h_b , h_c$ แทนส่วนสูงที่ลากจากมุม A,B,C ตามลำดับ

แน่นอนว่า a < b+c (ผลบวกด้าน 2 ด้าน ยาวกว่าด้านที่ 3 เสมอ) .......(1)

ถ้า A แทนพื้นที่สามเหลี่ยม ดังนั้น

จาก (1) จะได้ $ \frac{2A}{h_a} < \frac{2A}{h_b}+ \frac{2A}{h_c} \Rightarrow \frac{1}{h_a} < \frac{1}{h_b}+ \frac{1}{h_c}$

[butare]

กระจ่างแล้ว ขอบคุณ คุณSIL กับคุณ passer-by มากครับ
ขอถามข้อ 24 อีกข้อ ผมคิดออกแต่ต้องใช้การสมมติรูป ว่าเป้นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าแล้วติดอัตราส่วน
มีวิแบบอื่นไหมครับ

[warutT]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ butare

กระจ่างแล้ว ขอบคุณ คุณSIL กับคุณ passer-by มากครับ
ขอถามข้อ 24 อีกข้อ ผมคิดออกแต่ต้องใช้การสมมติรูป ว่าเป้นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าแล้วติดอัตราส่วน
มีวิแบบอื่นไหมครับ

จากรูปครับ
จากกฎของ $sine$
พื้นที่สามเหลี่ยมแต่ละรูป $= \frac{1}{2}r^2sinO$
พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม n เท่า $= \frac{n}{2}r^2sinO$
$\therefore a=\frac{\frac{n}{2}r^2sinO}{\pi r^2}=\frac{nsinO}{2 \pi}$
จากกฎของ $cosine$
ด้านแต่ละด้านของรูปหลายเหลี่ยม $= \sqrt{2r^2-2r^2cosO}$
ความยาวรอบรูป $= n\sqrt{2r^2-2r^2cosO}$
$\therefore b=\frac{n\sqrt{2r^2-2r^2cosO}}{2\pi r}$
จาก $b=2a$
$\frac{n\sqrt{2r^2-2r^2cosO}}{2\pi r}=2(\frac{nsinO}{2 \pi})$
$\sqrt{2-2cosO}=2sinO$
$2-2cosO=4sin^2O$
$2-2cosO=4-4cos^2O$
$2cos^2O-cosO-1=0$
$(2cosO+1)(cosO-1)=0$
$cosO=1$ เป็นไปไม่ได้
$\therefore cosO=-\frac{1}{2}$
$\therefore O=120$
มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมที่ประกอบเป็นรูปหลายเหลี่ยมมีขนาด $= 30$
นั่นคือ $\frac{180(n-2)}{2n}=30$
$180n-360=60n$
$120n=360$
$n=3$
$\therefore$ รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปสามเหลี่ยม