ช่วยคิดข้อนี้หน่อยครับ

[POSN_Psychoror]

จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle{\binom{n}{1}+\binom{n}{5}+\binom{n}{9}+...=2^{n-2}+(\sqrt{2})^{n-2}sin\frac{n\pi }{4}}$

[Tohn]

อื่มมม...

นั่งญาณโชว์ครับ :haha:

สังเกตเห็นว่า $ \displaystyle{(1+i)^{n}-(1-i)^{n} = \binom{n}{1}2i+\binom{n}{3}2i+\binom{n}{5}2i+... }$
และ $\displaystyle{(1+1)^{n}-(1-1)^{n} = \binom{n}{1}2+\binom{n}{3}2+\binom{n}{5}2+...}$
ก็เลยได้ $\displaystyle{(1+1)^n-(1-1)^n -i( (1+i)^{n}-(1-i)^{n}) = \binom{n}{1}4+\binom{n}{5}4+\binom{n}{9}4+...}$
เปลี่ยนรูปนิดหน่อย ก็จะได้ตามที่ต้องการ แหะๆ
$ \displaystyle{2^n-(\sqrt{2})^{n}( i\cos{\dfrac{n\pi}{4}}-\sin{\dfrac{n\pi}{4}}-i\cos{\dfrac{n\pi}{4}}-\sin{\dfrac{n\pi}{4}} )= 2^n+(\sqrt{2})^{n-2}(\sin{\dfrac{n\pi}{4}})=\binom{n}{1}4+\binom{n}{5}4+\binom{n}{9}4+...}$

[POSN_Psychoror]

ง่ะ ผิดนะครับ มันต้องเป็น $\displaystyle{\binom{n}{1}+\binom{n}{5}+\binom{n}{9}+...}$ อ่ะครับ
แต่วิธีถูกแล้วล่ะครับ ขอบคุณมากๆครับ

[Tohn]

ผิดจริงง่ะ แล้วทำไงให้มันถูกอะครับ

[POSN_Psychoror]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Tohn

ผิดจริงง่ะ แล้วทำไงให้มันถูกอะครับ

คือวิธีทำถูกแล้วอ่ะครับ แต่คุณพิมพ์ผิดจาก - เป็น + แค่นั้นหละครับ