sequence

[TOP]

ผมว่า กรณีที่ 1 ก็ยังมีปัญหานะครับ ในเรื่องการให้เหตุผล
เพราะยังขาด ช่วงของ (a_2n, a_2n+1) ที่เล็กลง 4 เท่าเสมอเช่นกัน

หรือเราอาจแก้ใหม่เป็น เพราะว่า ช่วงของ (a_2n+1, a_2n+2) เข้าใกล้ศูนย์ที่อนันต์ ดังนั้น ลิมิตของ a_2n+2 ลู่เข้าก็ต่อเมื่อ ลิมิตของ a_2n+1 ลู่เข้า และหากทั้งลิมิตของ a_2n+1 และ a_2n+2 ลู่เข้าสู่ค่าเดียวกัน จึงจะสรุปได้ว่า ลิมิตของ a_n ลู่เข้า

[alongkorn]

ผมคิดว่าวิธีของคุณ TOP เขียนเป็นทางการได้ดังนี้ครับ

[gools]

อ.alongkorn กับ พี่gon ใช้โปรแกรมคณิตศาสตร์อะไรเหรอครับ ตัวอักษรสวยดี

[gon]

โปรแกรมคณิตศาสตร์ที่พี่ใช้ก็ไม่ได้สูงส่งอะไรครับ. ก็ equation editor 3 ที่รวมมากับ Word 97 นั่นล่ะ ส่วนรูปก็ใช้ Wingeo ที่เว็บเราแนะนำไว้ Font ก็ตายตัวสำหรับพี่แล้วคือ BrowalliaUPC

[gools]

แล้วทำยังไงให้ออกมาเป็นรูปภาพ *.gif อ่ะครับ ผมทำไม่เป็น

[gon]

ทำได้หลายวิธีครับ. วิธีที่ง่ายที่สุดก็คือกดปุ่ม Print Screen ( Prt Sc) บน Keyboard จากนั้นก็เปิดโปรแกรม Paint ที่มากับ Windows แล้วก็เลือก edit --> past (หรือ Crtl V) ก็จะได้ภาพทั้งหน้าทั้งจอ ตอนที่เรากดปุ่มนี้

จากนั้นก็ตัดรูปที่ต้องการให้พอใจ แล้วจึง save as เป็น .gif ก็จบครับ

อีกหลาย ๆ วิธี ก็ใช้โปรแกรมที่มีความสามารถในการ capture หน้าจอหรือบางส่วนตามที่ต้องการ เช่น ACDsee, Hypersanp - Dx เป็นต้น.

[meteor]

ถึงพี่ๆ ทุกคน นะครับ คือผมอยากทราบครับว่า จะหาหนังสือ ที่ เกี่ยวกับ sequence หรือ เกี่ยวกับ funtional eqution อ่าครับ พอมีไหมครับ คือ สนใจสําหรับผู้อ่านทั่วไป แล้ว อยากได้ หนังสือที่ มีโจทย์เยอะๆ อ่าครับ
ต้องขอขอบคุณพี่ๆ ทุกคนด้วยนะครับ ขอบคุณมากครับ

[alongkorn]

หนังสือที่กล่าวถึง sequences ก็มีหนังสือ Calculus ทุกเล่มทุกสำนักพิมพ์ (ภาษาอังกฤษนะ) ที่ผมเป็นเจ้าของอยู่ก็มีของ James Stewart, Anton และ Finney, Weir, Giordano ทั้ง 3 เล่มเขียนดีมาก และแบบฝึกหัดน่าสนใจมากๆ ถ้าจะเอาแบบลึกซึ้งแนวพิสูจน์ก็จะเป็นหนังสือชื่อ Mathematical Analysis, Introduction to real analysis ในทำนองนี้ ผมมีอยู่ 1 เล่มครับ ไม่ได้สอน Math analysis หรอก แต่สอน Calculus 2 จึงต้องมีไว้อ่านประกอบ

[gon]

ขอตอบเกี่ยวกับ Functional Equation แล้วกัน

ถ้าเป็นหนังสือสำหรับอ่านทั่วไป ไม่ทราบครับ. พี่เคยเปิดอ่านดูหนังสือประเภททฤษฎีฟังก์ชัน ไม่ว่าจะเป็นบนจำนวนจริงแค่ตัวแปรเดียว หรือ บนจำนวนเชิงซ้อน เล่มหนาตึ๊กระดับ 500 หน้าขึ้นไป บอกตรง ๆ ไม่ไหวครับ. ยิ่งเขียนโดยพวกที่จบแบบ pure math มา โอย.จะบ้าตาย ถ้าพลังยังไม่ถึงอย่าเพิ่งแตะจะดีกว่า

แต่ถ้าเป็นเนื้อหาที่ใช้เตรียมสอบแข่งขันโอลิมปิกที่เห็นวางขายอยู่ก็มีเล่มเดียว คือ ของ สสวท. ซึ่งเขียนโดยอาจารย์จุฬาท่านหนึ่ง เล่มสีแดง แต่ถ้าหาตอนนี้คงหาไม่แล้วครับ. เพราะไม่นานมานี้พี่ไปเดินดูในศูนย์หนังสือจุฬา ทั้งสาขาในจุฬากับสยาม หมดเกลี้ยงแล้วสำหรับหนังสือชุดโอลิมปิกของ สสวท. นับเป็นนิมิตรหมายอันดี ถ้าจะหาได้อาจหวังได้ที่งานสัปดาห์หนังสือในอีกไม่กี่วันข้างหน้านี่

หนังสือเล่มดังกล่าว อาจารย์ท่านเขียนได้ดีมากในระดับหนึ่งแล้วครับ. เพียงแต่ขาดเนื้อหาไปเรื่องหนึ่ง คือ เกี่ยวกับ จุดตรึง (Fixed Point) ซึ่งถ้าจะ solve ปัญหาระดับ imo เรื่องนี้ให้ได้หมด ต้องเข้าใจตรงจุดนี้ให้ได้มากอย่างที่สุด เพราะการหาจุดตรึงที่เป็นไปได้ทั้งหมด จะทำให้แน่ใจว่า ไม่มี function อื่นที่เป็นไปได้อีกแล้วบนโดเมนใด ๆ ซึ่งพี่เองก็ยังไม่ค่อยจะเคลียร์เท่าไรนัก

อีกเรื่องหนึ่งคือ ถ้าเป็นตอนหาฟังก์ชันบนโดเมนจำนวนเต็มบวก อาจารย์ท่านมักยกสูตรลอยมา แล้วเอาอุปนัยเข้าพิสูจน์ ซึ่งที่จริงแล้วในตัวอย่างที่ท่านยกมาทั้งหมดนั้น สามารถหาสูตรออกมาตรง ๆ ได้ ก็เข้าใจว่าคงถือว่าเป็นเรื่องที่นอกเหนือเนื้อหาส่วนนี้ เนื้อหาโจทย์ในเล่มนี้เยอะมากเพียงพอแล้วครับ. มีทั้งแบบฝึกหัดท้ายบท กับ โจทย์ระคน ซึ่งหยิบมาจากโจทย์ระดับแข่งโอลิมปิกในประเทศต่าง ๆ (แต่ต้องไปสืบเอาเองว่าข้อนี้มาจากประเทศไหน หรือสอบแข่งอะไร) อีกทั้งตอนท้ายก็มีโจทย์ imo ตั้งแต่ปีแรก ๆ จนถึง 2002 ให้ลองทำดู

[meteor]

อยากถามครับว่าแล้วหนังสือที่พี่ว่าถึงนั้นครับ( หนังสือโจทย์ eqution ที่มีหน้า 500 อ่าครับ) พี่เจอที่ไหนหรอครับ พอจะ บอกหน่อยได้ไหมครับ เพราะรุ่นพี่กําลังหาอยู่ครับผม ต้องขอรบกวนด้วยนะครับ ขอบคุณมากครับพี่กร

[gon]

รู้สึกว่าจะเข้าใจผิดนะครับ. พี่ไม่ได้หมายถึง หนังสือ Equation หรือ Functional Equation แต่หมายถึง หนังสือประเภททฤษฎีฟังก์ชันบนจำนวนจริง หรือ จำนวนเชิงซ้อน ซึ่งมันน่าจะลึกลับซับซ้อนเกินกว่าที่อยู่ ๆ จะคิดไปหยิบมาอ่านแล้วจะรู้เรื่องได้ง่าย ๆ ซึ่งพี่เคยเปิดดูผ่าน ๆ ถ้าจำไม่ผิดก็ห้องสมุดคณิตศาสตร์