พิสูจน์ว่า 3 หารลงตัว

[mercedesbenz]

$a,b\in \mathbb{Z}$จงพิสูจน์ว่า
$3|(a^2+b^2)\Leftrightarrow (3|a \bigwedge 3|b)$

[konkoonJAi]

$(\Rightarrow)$ ให้ $3|(a^2+b^2)$
สมมติ 3 หาร $a $ไม่ลงตัว หรือ 3 หาร $b$ไม่ลงตัว
กรณีที่ 1 3 หาร $a$ ไม่ลงตัว จะได้ว่า 3 หาร $a^2$ ไม่ลงตัว เนื่องจาก เศษที่เกิดจากการหาร $a^2$ ด้วย 3 มีเพียง 2 ตัว คือ 1หรือ 0 (ไม่มีกรณีที่เศษเป็น 2 เพราะ $a^2 \not\equiv 2 (mod 3)$ ) จาก 3 หาร $a^2$ ไม่ลงตัว จะได้ว่า เศษที่เหลือจากการหารคือ 1 ส่งผลให้ $b^2 \equiv 2 (mod3)$ เกิดข้อขัดแย้ง
กรณีที่ 2 3 หาร $b^2$ ไม่ลงตัว ทำในทำนองเดียวกัน จะเกิดข้อขัดแย้ง
$(\Leftarrow)$ เห็นได้ชัด