ถามลิมิตของlogครับ

[Canegie]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ issac

If you claim that $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (1-\frac{1}{x})^x=e^{-1}$

จะพิสูจน์ว่า $$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (1-\frac{1}{x})^x=e^{-1}$$
จาก

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (1-\frac{1}{x^2})^x=1$

กระจายทวินาม$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (1-\frac{1}{x^2})^x=\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\,1 +\binom{x}{1}(-\frac{1}{x^2})+ \binom{x}{2}(-\frac{1}{x^2})^2+ \binom{x}{3}(-\frac{1}{x^2})^3+...\right)=1 $

ได้ว่า $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (1-\frac{1}{x^2})^x=\displaystyle \lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x \cdot \displaystyle \lim_{x \to \infty} (1-\frac{1}{x})^x=1$
$\therefore \displaystyle \lim_{x \to \infty} (1-\frac{1}{x})^x=\frac{1}{ \lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x}=\frac{1}{e}=e^{-1}$

[issac]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Canegie

จาก

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (1-\frac{1}{x^2})^x=1$

กระจายทวินาม$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (1-\frac{1}{x^2})^x=\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\,1 +\binom{x}{1}(-\frac{1}{x^2})+ \binom{x}{2}(-\frac{1}{x^2})^2+ \binom{x}{3}(-\frac{1}{x^2})^3+...\right)=1 $

แล้วตรงนี้ รู้ได้ยังไงว่าเท่ากับ 1 ครับ ???


ตอนแรก จะแสดงว่า $\lim_{x \to \infty}(1-\frac{1}{8x})^x=?$ คุณก็อ้างว่า $\lim_{x \to \infty}(1-\frac{1}{x})^x=e^{-1}$

พอจะแสดงว่า $\lim_{x \to \infty}(1-\frac{1}{x})^x=e^{-1}$ คุณก็อ้างต่อว่า $\lim_{x \to \infty}(1-\frac{1}{x^2})^x=1$

ถ้าคุณจะพิสูจน์โดยการอ้างแบบนี้ ผมว่าไม่จบหรอกครับ เพราะรูปของฟังก์ชันมันเป็นแบบ $I.F. 1^{\infty}$
วิธีแก้ที่ถูกจุด คือ ต้องเปลี่ยนรูปฟังก์ชันให้เป็นแบบตรงฟอร์ม หรือรูปแบบที่สามารถใช้กฎโลปิตัลได้ ถึงจะคำนวณออกครับ ถ้าใครเรียนแคลคูลัส1&2 มาก็คงจะรู้ว่ามันต้อง Take $ln$ เข้าไป
ผมคิดว่าข้อนี้ คงเกินความรู้ ม.ปลาย ไปแล้ว (มั้ง)

[tonklaZolo]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ issac

แล้วตรงนี้ รู้ได้ยังไงว่าเท่ากับ 1 ครับ ???

คุณ Canegie ก็แสดงใน $\displaystyle \lim_{x \to \infty}(1-\frac{1}{x^2})^x=1$ (มันกดเข้าไปดูได้ครับ)

ผมลองเช็คใน Wolfram Alpha (ที่นี่) ก็ เท่ากับ 1 นะครับ