ทำไมวิธีนี้ผมถึงผิดอ่ะครับ

[rattachin calculated]

นักเรียนคนหนึ่งมีหนังสือคณิตศาสตร์ 3 เล่ม หนังสือเคมี 2 เล่ม และหนังสือฟิสิกส์ 1 เล่ม โดยที่หนังสือทุกเล่มแตกต่างกัน ถ้านักเรียนคนนี้สุ่มหยิบหนังสือไปโรงเรียนอย่างน้อย 1 เล่ม แล้ว จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนี้จะหยิบหนังสือครบทุกวิชา

ผมทำแบบนี้ ทามไมมันถึงผิดอ่ะครับ
$\binom{3}{1}\binom{2}{1}\binom{1}{1} x \binom{3}{0}\binom{3}{1}\binom{3}{2}\binom{3}{3}$
หรือ
$\binom{3}{1}\binom{2}{1}\binom{1}{1} x 2^3$


ช่วยตรจให้ทีครับว่าผิดตรงไหน

[gon]

แล้วตอบว่าความน่าจะเป็นคืออะไรล่ะครับ.?

[rattachin calculated]

คำตอบเฉลยได้ $\frac{1}{3}$ อ่ะครับ ทอนมาจาก $\frac{21}{63}$

[gon]

ก็เพราะว่าที่ตอบไปนั้นคือหยิบมาทุกเล่ม ไม่ใช่อย่างน้ิอย 1 เล่ม

ถ้ามีหนังสือ 6 เล่มที่ต่างกัน หยิบอย่างน้อย 1 เล่ม คืออาจจะหยิบ 1 เล่ม หรือ 2 เล่ม หรือ .... หรือ 6 เล่ม ทำได้

$\binom{6}{1} + \binom{6}{2} + \binom{6}{3} + \binom{6}{4} + \binom{6}{5} + \binom{6}{6} = 2^6 - 1 = 63$

หยิบหนังสือเลขอย่างน้อย 1 เล่มจาก 3 เล่มทำได้ $\binom{3}{1} + \binom{3}{2} + \binom{3}{3} = 2^3-1$

หยิบหนังสือเคมีอย่างน้อย 1 เล่มจาก 2 เล่มทำได้ $\binom{2}{1} + \binom{2}{2} = 2^2-1$

หยิบหนังสือฟิสิกส์อย่างน้อย 1 เล่มจาก 1 เล่มทำได้ $\binom{1}{1} = 2^1-1$

ดังนั้นการหยิบหนังสือเลข , เคมี , ฟิสิกส์ มี 3 ขั้นตอนต่อเนื่องกัน

ขั้นที่ 1 : หยิบเลขอย่างน้อย 1 เล่มจาก 3 เล่ม ทำได้ $2^3-1$ วิธี
ขั้นที่ 2 : หยิบเคมีอย่างน้อย 1 เล่มจาก 2 เล่ม ทำได้ $2^2-1$ วิธี
ขั้นที่ 3 : หยิบฟิสิกส์อย่างน้อย 1 เล่มจาก 1 เล่ม ทำได้ $2^1-1$ วิธี

โดยกฎของการคูณทำได้ $(2^3-1)(2^2-1)(2^1-1)$

ดังนั้นความน่าจะเป็น $P(E) = n(E)/n(S) = \frac{(2^3-1)(2^2-1)(2^1-1)}{2^6-1} = 1/3$

หมายเหตุ การแสดงว่า $\binom{6}{1} + \binom{6}{2} + \binom{6}{3} + \binom{6}{4} + \binom{6}{5} + \binom{6}{6} = 2^6 - 1 = 63$

ทำได้ 2 แบบคือ
1. ใช้เอกลักษณ์ทวินาม : $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + ... + \binom{n}{n} = 2^n $

2. ใช้หลักการนับ (กฏการคูณ) ธรรมดา
หนังสือเล่มที่ 1 จะเลือกหรือไม่เลือก ทำได้ 2 วิธี
หนังสือเล่มที่ 2 จะเลือกหรือไม่เลือก ทำได้ 2 วิธี
หนังสือเล่มที่ 3 จะเลือกหรือไม่เลือก ทำได้ 2 วิธี
.........
หนังสือเล่มที่ n จะเลือกหรือไม่เลือก ทำได้ 2 วิธี

ดังนั้นการเลือกหนังสือ n เล่ม ทำได้ $2^n$ วิธี ซึ่ง $2^n$ นี้จะมีอยู่ 1 วิธีที่แต่ละเล่มไม่เลือกเลย ดังนั้นเมื่อต้องการอย่างน้อย 1 เล่ม จึงต้องหัก 1 วิธีนี้ออกไปครับ