โจทย์ผมเป็นคนออกเอง

[Julian]

ก็ไม่มีอะไรมากครับ จะพยายามมาโพสลงเรื่อยๆนะครับ ตามชื่อหัวข้อเลยครับ

ใครจะเอาไปทำอะไรก็ตามใจครับ

<ข้อแรก-พีช>

$ข้อแรก . \ กำหนดให้ \ x^2 \ - \sqrt{2}x \ + \ 1 \ = 0 $

$ถ้าสมการ \ y^2 \ + \ By \ + C \ = 0 \ เมื่อ B และ C เป็นจำนวนเต็ม $

$มีคำตอบทั้งสองค่า คือ \frac{\ x^{\ 5000 \cdot 2} + 2x^{\ 5000 } + x^{\ 2500 + 5000 } - x^{\ 2500} - 1 }{\ x^{\ 5000} } $

$ จงหาค่าของ \ B^{2} \ + C^{3} \ $

<ข้อสอง-พีช>

$ข้อสอง. \ จงแก้สมการ $

$4^{x^0 + x^1 + x^2 + x^3 +...} \ = \ 128$

<ข้อสาม-พีช>

$ข้อสาม. \ จากระบบสมการ $

$\frac{\sqrt{x+2} \ - \sqrt{y-2} }{\sqrt{y-2} \ + \sqrt{x+2} } \ = \frac{\sqrt{3} \ - \sqrt{5} }{\sqrt{5} \ + \sqrt{3} } $

$\frac{\sqrt{x+3} \ + \sqrt{y-3} }{\sqrt{y-3} \ - \sqrt{x+3} } \ = \frac{ ( \ 1 \ + \sqrt{2} )sqrt{2} }{ 2 \ - \sqrt{2} }$

$ y มีค่าเท่าใด$ เลขเถือกหน่อยนะครับ คิดให้มันลงตัวไม่ได้ซักที

<ข้อสี่-พีช>

$ข้อสี่. \ จงแยกตัวประกอบของ $

$x^4 \ - \ 2x^3 \ - \ 17x^2 \ - \ 14x \ - \ 3$

<ข้อห้า-พีช>

$ข้อห้า. \ $

$กำหนด f(x) \ = \ x^{10} \ + \ x^9 \ + \ x^8 \ + \ x^7 \ +...+ \ x \ + \ 1$

$ จงหาเศษที่เหลือจากการหาร f(x^{11}) ด้วย f(x) $

<ข้อแรก-เรขา>

$ข้อแรก. \ จงหาจำนวนสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดที่ความยาวด้านเป็นจำนวนตรรกยะ $

$ที่มีเลขหลังจุดทศนิยมได้ไม่เกิน 1 ตำแหน่ง และมีด้านประกอบมุมฉากด้านใดด้านหนึ่งยาว \ 960 \ หน่วย$

<ข้อสอง-เรขา>

$ข้อสอง. \ สามเหลี่ยม \ ABC \ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีมุม \ BAC \ เป็นมุมฉาก $

$จุด \ D \ เป็นจุดบน \ BC \ ที่ทำให้มุม \ ADC \ เป็นมุมฉาก$

$ถ้า AB \ + \ AC \ = \ 49 \ และ \ AD \ + \ BC \ = \ 50 $

$AD ยาวเท่าใด$

<ข้อสาม-เรขา>

$ข้อสาม. \ กำหนดรูป \ n \ เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าแนบในวงกลม \ มีความยาวด้านล่ะ \ 1 \ หน่วย $

$โดยที่ \ n \ สามารถเขียนให้อยู่ในรูป \ 2x \ ได้$

$ถ้าเส้นทะแยงมุมที่ยาวที่สุดยาวเป็นสองเท่าของเส้นทะแยงมุมที่ยาวน้อยที่สุด \ $

$แล้วรูป \ n \ เหลี่ยมนี้มีพื้นที่เท่าใด ( ตอบในรูปทศนิยมสองตำแหน่ง )$

<ข้อแรก-เลข>

$ข้อแรก. \ จงหาเศษที่เหลือจากการหาร\ $

$1^{2552!+1}+2^{2552!+1}+3^{2552!+1}+4^{2552!+1}+....+10000^{2552!+1} \

ด้วย 5$

<ข้อสอง-เลข>

$ข้อสอง. \ กำหนดการดำเนินการในระบบจำนวนจริง\ $

$ ( \ x\ast y \ )\ast z \ = \ xz\ast y โดยที่ \ x \ และ \ y \ ต่างไม่เท่ากับ 0 $

$ \ y\ast y \ = \ 1 \ $

$ ถ้าสมการ \ a\ast 20! \ = \ 21 \ แล้ว มีจำนวนเฉพาะกี่จำนวนที่เป็นตัวประกอบของ \ a \ $

<ข้อสาม-เลข>

$ข้อสาม. \ ข้อนี้เถือกๆๆ \ $

$ ถ้า \frac{2009}{2552} \ = \ \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} +...+ \frac{1}{a_n} $

$ โดยที่ \ a_1 \ , a_2 \ , a_3 \ ,...., \ a_n \ ไม่มีจำนวนใดเป็นเลขโดดคู่ และเป็นจำนวนเต็มแตกต่างกันทั้งหมด $

$ และ \ a_1 \ , a_2 \ , a_3 \ ,...., \ a_n \ มีจำนวนพจน์น้อยที่สุด แล้ว$

$ a_1 \ + \ a_2 \ + \ a_3 \ + \ a_4 \ +...+ \ a_n \ + \ 11 มีค่าเท่าใด$

<ข้อสี่-เลข>

$ข้อสี่. \ ข้อนี้ก็พอๆกับข้อสาม \ $

$ ถ้า \ \frac{abcd}{abcd \ + \ abc \ + \ abd \ + \ acd \ + \ bcd } \ = \frac{12}{37} $

$ โดยที่ a,b,c,d เป็นจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกัน $

$ จงหาค่าของ \sqrt{abcd \ + \ 1} $

<ข้อห้า-เลข>

$ข้อห้า. \ $

$ จงเขียน \ 2009^{2008^{2007^{2006^{.^{.^{.^{3^{2^{1}}}}}}}}} \ ในรูปของบวกของจำนวนเต็มบวก $

$ โดยที่ผลคูณของจำนวนเต็มบวกเหล่านั้นมีค่ามากที่สุด$

$ ผลคูณนั้นมีหลักหน่วยเป็นเลขอะไร $

[Julian]

คำตอบ

พีช -1. 80
พีช -2. 5/7
พีช -3. y=-13
พีช -4. เฉลยด้านล่าง
พีช -5. 11

เรขา 1. 27
เรขา 2. เฉลยด้านล่าง
เรขา 3. 11.20 ตร.หน่วย

เลข 1. 0
เลข 2. 9
เลข 3. 1234
เลข 4. 5
เลข 5. 6

เฉลย วิธีทำนะครับ

<ข้อแรก-พีช>

ตอบ 80

พิจารณา $x^2-\sqrt{2}x + 1 \ = \ 0 \ ทดลองแทนค่า \ x \ ด้วย 0 $

$พบว่าไม่เป็นจริงดังนั้น \ x \ ไม่เท่ากับ \ 0 \ เราจึงสามารถหารด้วย \ x \ ได้อย่างอิสระ $

$นำ \ x \ หารทั้งสมการ และจัดรูปจะได้ \ x \ + \frac{1}{x} \ = \sqrt{2} $

$ยกกำลังสองทั้งสองข้าง \ x^2 \ + \frac{1}{x^2} \ = \ 0 \ \ \ => \ x^2 \ = \ \frac{-1}{x^2}...(1) $

$จาก(1)ยกกำลัง \ 1250 \ ทั้งสองข้างจะได้ \ x^{2500} \ - \frac{1}{x^{2500}} \ = \ 0 ...(2) $

$จาก(1)ยกกำลัง \ 2500 \ ทั้งสองข้างจะได้ \ x^{5000} \ - \frac{1}{x^{5000}} \ = \ 0 ...(3) $

$พิจารณา \frac{\ x^{\ 5000 \cdot 2} + 2x^{\ 5000 } + x^{\ 2500 + 5000 } - x^{\ 2500} - 1 }{\ x^{\ 5000} } $

$ว่ามันเท่ากับ \ x^{5000} \ - \frac{1}{x^{5000}} \ + x^{2500} \ - \frac{1}{x^{2500}} \ + 2 $

$จาก (2) และ (3) จะพบว่าก้อนข้างบนมีค่าเท่ากับ \ 2 $

$แสดงว่า สมการ y^2 \ + \ By \ + \ C \ มีคำตอบทั้งสองค่า คือ \ 2$

$แล้ว B \ = \ -4 \ และ \ c \ = \ 4 $

$B^2 \ + \ C^3 \ = \ 16 \ + \ 64 \ = \ 80 \ Ans.....$

<ข้อสอง-พีช>

ตอบ $\frac{5}{7} $

$จาก 4^{\frac{7}{2} } \ = \ 128$

$แสดงว่า x^0 + x^1 + x^2 +.... \ = \frac{7}{2} $

$1+x(x^0 + x^1 + x^2 + ....) = \frac{7}{2} $

$\frac{7}{2}x \ = \frac{5}{2} $

$ x \ = \frac{5}{7} $ สบายๆ ใช่ไหมครับ

ดูเหมือนจะยาก

[LightLucifer]

ผมทำข้อสามได้ๆๆๆ (ได้ข้อเดียวๆ )
ตอนแรกคิดก่อนว่า $4^{\frac{7}{2}}=128$
จากโจทย์
$4^{x^0+x^1+x^2+...}=4^{1+x+x^2+x^3+...}=128= 4^{\frac{7}{2}}$
จะได้ว่า
$4^{1+x+x^2+x^3+...}=4^{\frac{7}{2}}$
$4^{x+x^2+x^3+...}=4^{\frac{5}{2}}$
จากตรงนี้สรุปได้ว่า
$x+x^2+x^3+...=\frac{5}{2}$
$\frac{x}{1-x}=\frac{5}{2}$
$2x=5-5x$
$x=\frac{5}{7}$...ANS
ไม่รู้ถูกป่าวนะ

[The TaNgz]

เออ..คือ
ใช้ความรู้ม.ต้นก็ได้หรอเนี่ย
- -

[[SIL]]

1. ผมได้ 2
2. ผมได้ 0
3. ผมได้ $\frac{5}{7}$
ใช้ ม. ต้น ล้วนๆจริงๆครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

1. ผมได้ 2
2. ผมได้ 10
3. ผมได้ $\frac{5}{7}$
ใช้ ม. ต้น ล้วนๆจริงๆครับ

ข้อ 2 มันแปลกๆนะครับ มันหารด้วย 5 อ่ะครับ

[[SIL]]

นึกขำตัวเองตอนกลับบ้านครับ ข้อ 2 ตอนใกล้จบคิดได้เป็น 2000(5k+10) เลยฟาด 10 เลย ถ้าตอบลงตัวจะผิดหรือไม่ครับ

[[SIL]]

ข้อ 1 ผิดหรอครับ ว้าคิดใหม

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Julian

ก็ไม่มีอะไรมากครับ จะพยายามมาโพสลงเรื่อยๆนะครับ ตามชื่อหัวข้อเลยครับ

$ข้อสี่. \ จากระบบสมการ $

$\frac{\sqrt{x+2} \ - \sqrt{y-2} }{\sqrt{y-2} \ + \sqrt{x+2} } \ = \frac{\sqrt{3} \ - \sqrt{5} }{\sqrt{5} \ + \sqrt{3} } $

$\frac{\sqrt{x+3} \ + \sqrt{y-3} }{\sqrt{y-3} \ - \sqrt{x+3} } \ = \frac{ ( \ 1 \ + \sqrt{2} )sqrt{2} }{ 2 \ + \sqrt{2} }$

$ x \ เป็นกี่เท่าของ \ y$
ตอนดึกจะมาโพสเรื่อยๆนะครับ

ผมงงอ่ะ
$\frac{\sqrt{x+3} \ + \sqrt{y-3} }{\sqrt{y-3} \ - \sqrt{x+3} } \ = \frac{ ( \ 1 \ + \sqrt{2} )\sqrt{2} }{ 2 \ + \sqrt{2} }$
$\sqrt{x+3} \ + \sqrt{y-3}=\sqrt{y-3} \ - \sqrt{x+3} $
$\sqrt{x+3}=0$
$x=-3$
แต่เอาไปแทนสมการแรกมันได้รูทติดลบอ่ะครับ

[[SIL]]

ข้อ 4 สงสัยกะให้ใช้เอกลักษณ์นี้แน่ๆเลยครับ
ถ้า $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ แล้ว $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$

[Julian]

ครับ

ผมก๊อบlatex อันข้างบนมาลง

แล้วแก้

แต่ลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย

ต้องขอโทษอย่างแรง

แก้แล้วนะครับ

[{ChelseA}]

รู้สึกเอามาจากหนังสือนะครับ
= =

[Julian]

ผมคิดเองทุกข้อครับ ขอรับรองครับ

แต่ถ้ามันซ้ำกับหนังสือ ผมก็ไม่รู้เหมือนกันครับ

ผมพอคิดได้ก็เขียนลง เอลงเว็บนี้ก็มีแค่นั้นล่ะครับ

ไม่ได้ดูหนังสือแล้วเอามาเป็นแนวแม้แต่น้อย

ไม่รู้เหมือนกันว่ามันซ้ำได้ยังไง??

[[SIL]]

ไม่สำคัญเลยครับว่าเอามาจากแหล่งใด อย่างน้อยๆก็ทำให้ผมได้ฝึกฝน และได้รู้ว่ายังมีโจทย์ประเภทนี้ที่ยังทำไม่ได้เพิ่มขึ้นมาอีกแบบนึง
ต้องขอบคุณต่างหากครับที่เอามาให้พวกเราได้ทำกัน

[เหนือฟ้า]

พวกพี่อยู่ม.ปลายกันเหรอคับ
ทำกันเก่งมากเลยอ่ะคับ(ขั้นเทพเลยนะคับเนี่ย)
ผมยังนั่งมืดแปดด้านอยู่เลยนะคับเนี่ย