ตะลุยโจทย์ยามว่าง

[kartoon]

27. รูปสี่เหลี่ยม ABCD มีด้าน AB=CD มีมุม ABC เป็นมุมฉาก และมุม BCD=100∘ เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของด้าน AD และของด้าน BC ตัดกันที่จุด M จงหาขนาดของมุม BMC

ตอบ 10 องศา

สร้างสี่เหลี่ยมมุมฉาก ABCE
จะได้ว่า M เป็น center ของ circumcircle ของสามเหลี่ยม AED
แต่สามเหลี่ยม CED เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (CE = CD)
ดังนั้นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากฐาน ED ย่อมผ่านจุด C และจุด M

โดยการใช้ angle chasing ต่ออีกเพียงเล็กน้อย ก็จะได้คำตอบที่ต้องการ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

24. (Combinatorics) กำหนด $ S= \{(i,j,k) \in \mathbf{N \times N \times N} \mid i+j+k =20 \}$ หาค่า $$ \sum_{(i,j,k) \in S} ijk $$

ข้อนี้ เป็นหนึ่งในข้อที่ผมชอบมากที่สุดข้อนึง ในรอบทศวรรษก็ว่าได้ (ว่าไปนั่น) แต่ค่อนข้างจะเขียนอธิบายยากนิดนึง แต่ผมก็พยายามเต็มที่แล้วใน KEY ด้านล่าง ถ้ายังงง อาจจะต้องลองแทนค่าตัวเลขลงไปครับ จะได้ clear ขึ้น

KEY(using combinatorial reasoning)

พิจารณา การเลือกเลข 5 ตัว จาก 1-22
แน่นอนว่าเราสามารถ rearrange ให้เรียงจากน้อยไปหามากได้ สมมติเป็น $ (a_1,a_2,...,a_5) $ โดย $ 1 \leq a_1 < a_2<...a_5\leq 22 $

จะเห็นว่า $a_2$ กับ $a_4$ แบ่งเลข 1-22 ออกเป็น 3 ส่วน คล้ายๆกับแผนภาพข้างล่างที่ถูกตัดเป็น 3 สีครับ (ถ้า label ดอกจันด้วย 1 ไล่่ไปเรื่อยๆจากซ้ายถึง 22 โดยในแผนภาพนี้ $a_2=7 \,\, , a_4=11 $ )

* * * * * * $a_2$ * * * $a_4 $ * * * ... *

แน่นอนว่าจำนวนดอกจันทั้ง 3 ส่วนรวมกันเป็น 20 ซึ่งเปรียบเสมือน $ i+j+k=20 $ ที่โจทย์ให้มา

ในขณะเดียวกัน ถ้าเลือก ดอกจันออกมาส่วนละ 1 ตัว ก็จะได้ label ตัวเลขติดมาด้วย 3 ตัว ซึ่งก็คือ $ a_1, a_3,a_5 $ ที่เป็นไปได้นั่นเอง ดังนั้น $ \binom{i}{1} \binom{j}{1}\binom{k}{1} = ijk $ เท่ากับจำนวน $ a_1, a_3,a_5 $ ที่เป็นไปได้

สรุปว่า $ \sum_{(i,j,k) \in S} ijk = \binom{22}{5} $ หรือจำนวนวิธีเลือกเลข 5 ตัว จาก 22 ตัวนั่นเอง

[Mastermander]

34. Compute

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{e^{2\pi k}-1}$$

Source : Ramanujan Notebook

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

25. (Series arrangement) กำหนด $ h(n)$ แทนจำนวนของลำดับจำกัด $(a_1,a_2,..,a_k)$ โดยแต่ละ element เป็นจำนวนเต็มมากกว่า 1 ซึ่ง $k \geq 1$ และ $ a_1 \geq a_2 \geq ..a_k $ นอกจากนี้ $ n= a_1a_2..a_k $

ตัวอย่างเช่น $ h(20)=4 $ เพราะมี (20) ,(5,4) ,(5,2,2) ,(10,2)

หาค่า $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{h(n)}{n^2}$

มาเคลียร์ที่ติดค้างข้อสุดท้ายในส่วนของผมก่อนครับ

สำหรับข้อนี้ ถ้าเข้าใจ ที่มาของบรรทัดที่ผมให้ไว้ข้างล่างนี้ ทุกอย่างก็จบครับ

$$ 1+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{h(n)}{n^2} = \prod_{r=2}^{\infty} \big( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{r^{2k}} \big) $$