Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์ทั่วไป > ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 13 มีนาคม 2006, 18:16
promath promath ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 พฤษภาคม 2005
ข้อความ: 45
promath is on a distinguished road
Icon22 พื้นที่ผิวและปริมาตร

มีเรื่องอยากจะให้ทุกๆ คนช่วยกันหาคำตอบหน่อยครับ

ปัญหาที่ 1 :
พื้นที่ผิวของทรงกลมมีความสัมพันธ์กับปริมาตรของทรงกลมอย่างไร?

ปัญหาที่ 2 :
อยากทราบที่มาของสูตรพื้นที่ผิวของทรงกลม 4pr2
และอยากทราบที่มาของสูตรปริมาตรของทรงกลม 4/3pr3
หมายความว่า เขาใช้วิธีใดถึงคิดออกมาได้ว่า การหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลมจึงใช้สูตรนี้

พรุ่งนี้จะมาติดตามคำตอบนะครับ...
__________________
ความรู้ทางคณิตศาสตร์มีค่าเป็นอสงไขย มิใช่สงไขยที่มีความจำกัด
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 13 มีนาคม 2006, 21:24
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,247
nongtum is on a distinguished road
Smile

ขอลองอธิบายเองบ้าง ยืนดีรับฟังคำถามและข้อเสนอแนะเพิ่มเติมครับ

1. หาได้โดยหาอัตราส่วนหรือแทนค่าหลายๆค่าแล้วคำนวณหาอัตราส่วนครับ

2. เราอาจมองง่ายๆ(อ้างจากที่นี่ หากสงสัยที่มาของสูตรอื่นลองคลิกด้านล่างของหน้านั้น หรือไม่ลองกูเกิลดูครับ)ได้ดังนี้

สำหรับพื้นที่ผิวทรงกลม(รัศมี r):
ตอนแรกให้เอาทรงกระบอกรัศมีฐาน r สูง 2r มาครอบ แล้วชอยทรงกระบอกตามขวางเป็นแผ่น'บางๆ'หลายๆแผ่น ซึ่งจะได้ว่าพื้นที่ผิวด้านข้างของแผ่นทรงกระบอกแต่ละชิ้นมีค่าใกล้เคียงกับพื้นที่ผิวทรงกลมที่ถูกตัดออกมา
นั่นคือ พื้นที่ผิวของทรงกระบอกเท่ากับพื้นที่ผิวทรงกลมคือ 2pr x 2r=4pr2

ปริมาตรทรงกลม(รัศมี r):
เนื่องจากเราสามารถแบ่งทรงกลมออกเป็นพีระมิดฐานโค้งเล็กๆหลายๆอันที่มีจุดยอดเป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลมและมีพื้นที่ฐานเป็นส่วนหนึ่งขอ งทรงกลม เมื่อเราซอยพีระมิดเหล่านี้'เล็ก'พอ เราสามารถประมาณฐานโค้งๆนี้เป็นฐานเรียบๆได้ ส่วนสูงของพีระมิดย่อยนี้มีค่า(ประมาณ)เป็น r
ดังนั้น ปริมาตร =ผลรวมปริมาตรพีระมิดย่อย=(1/3)p(พื้นที่ผิวทรงกลม)r=(4/3)pr3

กระบวนการดังกล่าวมี error จากการประมาณเสมอ (ซึ่งเกี่ยวข้องกับการที่ p เป็นจำนวนอตรรกยะ) ในคณิตศาสตร์ระดับสูงเราสามารถพิสูจน์สูตรเหล่านี้โดยแคลคูลัสครับ เช่น ปริมาตรทรงกลม $V(r)=\int_0^r 4\pi r^2\ dr$ เป็นต้นครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.

16 มีนาคม 2006 20:24 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 14 มีนาคม 2006, 14:49
promath promath ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 พฤษภาคม 2005
ข้อความ: 45
promath is on a distinguished road
Icon18

ขอบคุณครับที่ให้คำแนะนำดีๆ แต่ว่าพอลองไปเปิดในเว็บที่แนะนำมา แปลไม่ออกเลยครับ นี่มีข้อความที่ลอง search หาดู ปรากฏว่าไปเจอเรื่องราวเกี่ยวกับปริมาตรทรงกลม ดังนี้ครับ

ถ้าใครแปลออก ช่วนแปลหรือสรุปเป็นเรื่องเป็นราวให้หน่อยครับ
__________________
ความรู้ทางคณิตศาสตร์มีค่าเป็นอสงไขย มิใช่สงไขยที่มีความจำกัด

14 มีนาคม 2006 15:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ promath
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 14 มีนาคม 2006, 15:23
promath promath ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 พฤษภาคม 2005
ข้อความ: 45
promath is on a distinguished road
Post

ขอช่วยขยายความในเรื่องของพื้นที่ผิวของทรงกลมอีกหน่อยนะครับ คือว่ายังไม่เข้าใจ เปิดไปดูตามเว็บไซต์ต่างๆ เขาก็ใช้หลักการที่นำทรงกระบอกและกรวยมาเกี่ยวข้องด้วยครับ
http://mathcentral.uregina.ca/qq/dat...artridge1.html
http://www.qc.edu.hk/math/Junior%20Secondary/Sphere.htm
__________________
ความรู้ทางคณิตศาสตร์มีค่าเป็นอสงไขย มิใช่สงไขยที่มีความจำกัด
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 14 มีนาคม 2006, 20:00
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,247
nongtum is on a distinguished road
Post

จากลิงค์ที่ให้มา ทั้งหมดเป็นการแสดงว่าหากเอาครึ่งทรงกลม กรวยและทรงกระบอกที่มีรัศมีฐานยาว $r$ เท่ากัน กรวยและทรงกระบอกสูง $r$ เอาทรงกระบอกครอบกรวยให้ฐานกรวยอยู่ด้านบน และวางครึ่งทรงกลมให้ฐานของครึ่งทรงกลมอยู่ด้านล่าง จะได้ว่าหลังจาก'ซอย'หน้าตัดขนานกับฐานแล้ว ในแต่ละหน้าตัด

พื้นที่วงแหวนที่ได้จากทรงกระบอกกับกรวย=พื้นที่ของหน้าตัดที่เกิดจากครึ่งทรงกลม

ซึ่งแสดงได้ดังนี้: ณ ความสูง $a$ จากฐานครึ่งทรงกลม มีพื้นที่หน้าตัดเป็น $\pi\sqrt{r^2-a^2}$ (รัศมีหาได้โดยทฤษฎีบทพีทากอรัส)
เนื่องจากรัศมีของหน้าตัดกรวยเท่ากับความสูง $a$ เพราะหากลองผ่ากรวยจากปลายลงมาตามแกนกรวย จะเห็นว่าหน้าตัดที่ได้เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุมที่ฐานเป็น 45° และส่วนสูง $a$ แบ่งครึ่งมุมยอดของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว(ซึ่งเป็นมุมฉาก) พื้นที่วงแหวนจึงเป็น $\pi\sqrt{r^2-a^2}$ ###

การพิสูจน์ดังกล่าวอาศัยว่า เราทราบปริมาตรของกรวยและทรงกระบอก และข้อเท็จจริงที่ว่าหากพื้นที่หน้าตัดและส่วนสูงมีขนาดเท่ากันปริมาตรจะเท่ากัน ดังนั้น ปริมาตรของครึ่งทรงกลมจึงต้องเท่ากับปริมาตรของทรงกระบอกหักออกด้วยปริมาตรกรวย

ส่วนพื้นที่ผิวทรงกลม จากที่กล่าวด้านบนหากเรามองว่าในแต่ละส่วนตัด(ที่บางพอ) พื้นผิวเอียงๆด้านข้างของส่วนตัดทรงกลมและทรงกระบอกด้านข้างจะไม่แตกต่างกันมาก (นั่นคือลบกันแล้วได้ค่าใกล้ศูนย์) แต่หากใช้แคลคูลัส จะได้ว่าพื้นที่ผิวด้านข้างของครึ่งทรงกลมเป็น $R^2\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2} \sin\varphi\ d\varphi d\theta=2\pi R^2$
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.

14 มีนาคม 2006 20:06 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 16 มีนาคม 2006, 15:16
promath promath ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 พฤษภาคม 2005
ข้อความ: 45
promath is on a distinguished road
Red face

ปัญหาที่ 3 :
$\qquad\quad $ในประเทศฝรั่งเศส นอกจากหอไอเฟล ซึ่งเป็นสถานที่ที่สำคัญแล้ว ยังมีพิพิธภัณฑ์ลูฟว์ (Louvre) ในกรุงปารีส ที่นี่เป็นที่รวบรวมงานศิลปะของศิลปินระดับโลก เช่น ภาพวาดโมนาลิซา ของลีโอนาร์โด ดาวินซี (Leonado da Vinci)
$\qquad\quad $เว็บไซต์แห่งหนึ่งกล่าวถึงอาคารทางเข้าพิพิธภัณฑ์ซึ่งเป็นพีระมิดกระจกไว้ว่า พีระมิดดังกล่าวมีความสูง 21.65 เมตร วัดความยาวของฐานโดยรอบได้ 140 เมตร และมีปริมาตรประมาณ 8,840 ลูกบาศก์เมตร
$\qquad\quad $นาย ก คิดว่าพีระมิดที่ว่านี้เป็นพีระมิดฐานสามเหลี่ยมด้านเท่า แต่นาย ข ไม่เห็นด้วย และคิดว่าน่าจะเป็นพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ความคิดของใครน่าจะถูกต้อง เพราะเหตุใด


ปัญหาที่ 4 :
$\qquad\quad $ถ้าตัดมุมของลูกบาศก์ทั้งแปดมุมด้วยระนาบให้ผ่านจุดกึ่งกลางขอบของลูกบาศก์ตามรอยเส้นประ ดังแสดงในรูป จะได้รูปเรขาคณิตสามมิติ 14 หน้าชนิดหนึ่ง เรียกว่า คิวบอกตะฮีดรอน (Cuboctahedron) ที่มีหน้า 6 หน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส อีก 8 หน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ปริมาตรของคิวบอกตะฮีดรอนเป็นกี่เท่าของลูกบาศก์เดิม

(ขอแก้ไขรูปภาพหน่อยนะครับ ถ้าใครมีความคิดอะไรเพิ่มเติม ก็โพสท์ลงบอร์ดได้นะครับ อย่าลืมซ่อนคำตอบไว้ด้วยนะครับ เดี๋ยวคนอื่นเห็น อิ..อิ.. คุณ nongtum ผมคิดว่าข้อ 4 ผมมีความคิดเห็นที่ต่างออกไปนะครับ แต่ลืมเเล้วว่าคิดยังไง เดี๋ยวขอกลับไปจูนเครื่องก่อนนะครับ)
__________________
ความรู้ทางคณิตศาสตร์มีค่าเป็นอสงไขย มิใช่สงไขยที่มีความจำกัด

17 มีนาคม 2006 14:49 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ promath
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 16 มีนาคม 2006, 20:44
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,247
nongtum is on a distinguished road
Icon16

คำถามไม่ยากครับ แต่เนื้อหาคำถามน่าสนใจดี ขอละวิธีคิดละกันนะครับ
(แก้ไขคำตอบข้อ 4)
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.

19 มีนาคม 2006 19:30 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 18 มีนาคม 2006, 14:31
promath promath ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 พฤษภาคม 2005
ข้อความ: 45
promath is on a distinguished road
Post

สำหรับแนวความคิดปัญหาที่ 4 ของผมและเพื่อนๆ ที่ไปช่วยกันคิดมีดังนี้ครับ (ไม่รู้ว่าถูกป่าว)
__________________
ความรู้ทางคณิตศาสตร์มีค่าเป็นอสงไขย มิใช่สงไขยที่มีความจำกัด
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 19 มีนาคม 2006, 19:28
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,247
nongtum is on a distinguished road
Icon15

คุณ promath ตอบถูกแล้วครับ ผมนับจำนวนมุมที่ตัดผิดไปเอง ข้อนี้อาจคิดง่ายๆบรรทัดเดียวจบได้ดังนี้:
$$\text{Volume}=\text{total}-\text{cut}=1-8\cdot\frac{1}{3}\cdot(\frac{1}{2})^4=\frac{5}{6}$$
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 18:50


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2014, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha