หาวิธีคิดแคลคูลัส ที่ง่าย และเร็ว ( ทำไม่ได้จริงๆ )

[nong_aa]

1. ระยะทาง s ที่วัตถุเคลื่อนที่เป็นฟังก์ชันของเวลา t ซึ่งกำหนดโดย s = 2t-3 ในการเปรียบเทียบอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ s เทียบกับ t เมื่อ t เปลี่ยนจาก 2 เป็น 2.2 กับอัตราการเปลี่ยนแปลงของ s ขณะเวลา t=2 ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย และ อัตราการเปลี่ยนแปลงโดยทันทีต่างกันเท่าไร

2. ถ้าความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่งเปลี่ยนจาก 4.0 ซม. เป็น 4.4 ซม. แล้วอัตราส่วนการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่เทียบกับความยาวของด้านเป็นเท่าไร

3. นายแดงต้องการจะกั้นรั้วรอบที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าไว้ปลูกส้มโดยใช้รั้วด้านหนึ่งของที่ดินแปลงนี้ ถ้าเขามีลวดหนามยาว 400 ม. และต้องการปลูกส้มหนึ่งต้นต่อที่ดินทุกๆ 5 ตร.ม. เขาจะปลูกส้มได้มากที่สุดกี่ต้น

4. กำหนดให้ v (t) = t2 - 4t + 10 เป็นความเร็วของการเคลื่อนที่ของวัตถุ ณ เวลา t และมีหน่วยเป็นเมตรต่อวินาที ขณะที่ t=0 วัตถุเคลื่อนที่ได้ระยะทาง 43 ม. เมื่อความเร่งของวัตถุเท่ากับ 0 ม./วินาที 2 ความเร็วและระยะทางมีค่าเท่ากับเท่าไร

[gon]

ปัญหาที่ถามมา เป็นแคลคูลัสเบื้องต้นธรรมดาที่หาอ่านได้ตามหนังสือเรียนระดับมัธยมปลาย ครับ ขอสรุปให้สั้น ๆ ดังนี้

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ f(x) เมืื่อ เปลี่ยนจาก x ไปเป็น x + h คือ \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)

ซึ่งสามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่ง คือ
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ f(x) เมืื่อ เปลี่ยนจาก x₁ ไปเป็น x₂ คือ \(\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\)

อย่างข้อ 1) โจทย์ให้มาว่า s(t) = 2t - 3
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยเมื่อ t เปลี่ยนจาก 2 ไปเป็น 2.2 คือ \(\frac{s(2.2)-s(2)}{2.2-2}\)
แต่ s(2) = 2(2) - 3 และ s(2.2) = 2(2.2) - 3 เอาไปแทนค่าก็จบครับ

ส่วนอัตราการเปลี่ยนขณะที่ x ใด ๆ ในเบื้องต้นเมื่อเริ่มเรียน จะหาจากนิยาม คือ
\(\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) ซึ่งเมื่อเรียนต่อไปก็จะาออกมาเป็นสูตรการหาอนุพันธ์ ต่าง ๆ เช่น

\(\frac{dx}{dx} = 1\)
\(\frac{d(cx)}{dx} = c\)

ลองดูตัวอย่างจากในแบบเรียนนะครับ.

[R-Tummykung de Lamar]

ขอทำต่อจากพี่กรนะครับ

1.อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย \( \displaystyle{\frac{s(2.2)-s(2)}{0.2}=\frac{1.4-1}{0.2}=2} \)

อัตราการเปลี่ยนแปลงโดยทันที \( \displaystyle{s\prime (t)=2} \)
นั่นคือ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย กับ อัตราการเปลี่ยนแปลงโดยทันที เท่ากัน

---

2.โดยสูตรพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่า จะได้
\( \displaystyle{A(a)\ =\ \frac{\sqrt{3}}{4}a^2} \)
A คือ พื้นที่ และ a คือความยาวด้าน
อัตราส่วนการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่คือ \( \displaystyle{\frac{A(4.4)-A(4)}{0.4}\ =\ \frac{4.84\sqrt{3}-4\sqrt{3}}{0.4}=2.1\sqrt{3}} \)

---

3.ให้ ด้านหนึ่งยาว x อีกด้านจะยาว 200 - x (เพื่อที่จะให้เส้นรอบรูปยาวรวมกันได้ 400 ม.)
ให้ A คือพื้นที่ นั่นคือ A(x)=x(200-x)
ปลูกส้มให้ได้มากที่สุดก็ต่อเมื่อสร้างพื้นที่ได้มากที่สุด นั่นคือ \( \displaystyle{A\prime (X)\ =\ 0\ \ } \)
นั่นคือ -2x + 200 = 0
x = 100
นั่นคือสามารถปลูกส้มได้ \( \displaystyle{\frac{(100)(100)}{5}=2000\ \ }\)ต้น

---

4.เมื่อ t = 0 นั่นคือยังไม่ได้เริ่มเดินทางทีก็ได้ระยะทาง \( \displaystyle{\frac{4}{3}} \) ม. แล้ว ผมเข้าใจว่า เริ่มต้นที่ \( \displaystyle{\frac{4}{3}} \) ม. นะครับ

จาก \( \displaystyle{v(t)\ =\ t^2-4t+10} \)
จะได้ความเร่งคือ \( \displaystyle{v\prime (t)\ =\ 2t-4} \)
ความเร่งเท่ากับ 0 นั่นคือ 2t-4=0
t = 2
จะได้ ความเร็วคือ \( \displaystyle{v(2)\ =\ (2)^2-4(2)+10\ = 6\ \ } \)เมตร/วินาที
ผ่านไป 2 วินาที ก็จะได้ระยะทาง 6(2) = 12 เมตร
แต่เริ่มต้นที่ \( \displaystyle{\frac{4}{3}} \)
ดังนั้นระยะทางจริงคือ \( \displaystyle{12+\frac{4}{3}\ = \ \frac{40}{3}} \) เมตร


ข้อไหนผิด ช่วงท้วงติงด้วยครับ

[MS_Yok]

ข้อสุดท้าย ใช้ s=vt ไม่ได้นะคะ มันเป็นการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งค่ะ ต้อง อินทิเกรต ความเร็วเพื่อหาระยะทาง
S(t)=$\int_\,v(t)dt$