Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์ทั่วไป > ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 05 กรกฎาคม 2012, 10:40
bookbun's Avatar
bookbun bookbun ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 59
bookbun is on a distinguished road
Default :: หาความยาวรอบรูป สามเหลี่ยม

จงหาความยาวรอบรูปที่น้อยที่สุดของสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง ที่ภายในมีวงกลมรัศมี 2 หน่วย แนบในอยู่ครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 05 กรกฎาคม 2012, 13:36
banker banker ไม่อยู่ในระบบ
เทพเซียน
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 มกราคม 2002
ข้อความ: 9,910
banker is on a distinguished road
Default

ไม่ทราบเหมือนกัน แต่เท่าที่ลองๆขีดๆเขียนๆรูปดู

วงกลมรัศมี 2 หน่วย ที่แนบในสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมด้านเท่าน่าจะมีเส้นรอบรูปสั้นที่สุด ?

Name:  3479.jpg
Views: 1839
Size:  19.1 KB

ถ้าเป็นอย่างนั้น เส้นรอบรูปก็เท่ากับ $12\sqrt{3} \ $หน่วย


ประเด็นคือจะพิสูจน์อย่างไรว่า

ในบรรดาสามเหลี่ยมที่มีวงกลมรัศมีเท่ากันแนบใน สามเหลี่ยมด้านเท่ามีเส้นรอบรูปสั้นที่สุด
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน
แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว
เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว

ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก


รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ
(ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี)
(แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 12 กรกฎาคม 2012, 19:33
khlongez's Avatar
khlongez khlongez ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 สิงหาคม 2008
ข้อความ: 72
khlongez is on a distinguished road
Default

จากรูป ถ้าให้ z = ความยาวรอบรูปสามเหลี่ยม และ r = รัศมีวงกลม

จะได้ว่า $z = 2r(tan\theta +tan\phi -tan(\theta +\phi )) $ โดยที่ $0<\theta ,\phi <\pi /2$

จากนั้นหา $ \theta , \phi$ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขและทำให้ $z$ มีค่าน้อยสุดโดยใช้แคลคูลัส (ถ้าไม่มีคนสงสัยก็ขอละไว้นะคะเราขี้เกียจพิมพ์)

ก็จะได้ $\theta = \pi/3 $ และ $\phi = \pi/3$ จึงจะทำให้ $z$ มีค่าน้อยสุด

ดังนั้นสามเหลี่ยมที่มีความยาวเส้นรอบรูปน้อยที่สุดที่มีวงกลมแนบในอยู่ต้องเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

ปล. เป็นวิธีพิสูจน์เท่าที่เรานึกออกอ่ะค่ะ บางทีอาจมีวิธีที่ง่ายกว่านี้ก็ได้
รูปภาพที่แนบมาด้วย
 
__________________
Who owns the throne?
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 16 กรกฎาคม 2012, 09:04
bookbun's Avatar
bookbun bookbun ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 59
bookbun is on a distinguished road
Default

จากความรู้ที่ว่า เส้นตรงเส้นหนึ่ง ถ้าเรานำเส้นตรงนี้ไปขดเป็นรูปทรงเรขาคณิต(2มิติ) รูปวงกลมจะเป็นรูปมีพื้นที่มากที่สุด และ ขนาดของพื้นที่จะค่อยๆเล็กลงมาเรื่อยๆ เช่น ถ้านำไปขดเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่า พื้นที่ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่า ก็จะมากกว่า พื้นที่ของรูป n-1 เหลี่ยมด้านเท่า ในทำนองเดียวกัน พื้นที่ของรูป n-1 เหลี่ยมด้านเท่า ก็จะมากกว่า พื้นที่ของรูป n-2 เหลี่ยมด้านเท่า ซึ่งก็จะเป็นแบบนี้ไปเรื่อยๆ จนเมื่อ n = 3 ซึ่งก็คือรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า จะมีพื้นที่มากที่สุด ในบรรดารูปสามเหลี่ยมทั้งหมด (เมื่อความยาวรอบรูปเท่ากัน) ดังนั้น พื้นที่ของวงกลมที่มากที่สุด ที่แนบในรูปสามเหลี่ยมด้่านเท่า ก็ต้องมีขนาดมากกว่า รูปวงกลม ที่แนบในรูปสามเหลี่ยมแบบอื่นๆ เพราะรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีพื้นที่มากกว่าสามเหลี่ยมแบบอื่นๆ เมื่อความยาวรอบรูปเท่ากัน

ผมเข้าใจแบบนี้ แต่ยังหาบทที่ถูกต้องไม่ได้ เข้าใจว่า น่าจะมีบทพิสูจน์ทางเรขาคณิตไว้แล้ว
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 16 กรกฎาคม 2012, 17:28
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 589
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

อีกวิธีครับ
ให้ $s = \dfrac{a+b+c}{2}$ เมื่อ $a,b,c$ เป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยม
$r$ แทนรัศมี และ $A$ แทนพื้นที่

สามารถพิสูจน์ได้ง่ายว่า $A=rs$

พิจารณา Heron's formula
$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

ตรงนี้คือต้องการหาว่าในบรรดาสามเหลี่ยมที่มีความยาวเส้นรอบรูปเท่ากัน สามเหลี่ยมด้านเท่าจะมีพื้นที่มากสุด
นั่นคือพิ้นที่ของสามเหลี่ยมใดๆจะมากสุดเมื่อ $a=b=c=\frac{a+b+c}{3}=\frac{2s}{3}$
นั่นคือต้องการพิสูจน์ว่า
$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \le \sqrt{s(s-\dfrac{2s}{3})(s-\dfrac{2s}{3})(s-\dfrac{2s}{3})} = \sqrt{\dfrac{1}{27}}s^2$

ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยอสมการ A.M.-G.M
$(s-a)(s-b)(s-c) \le (\dfrac{3s-a-b-c}{3})^3 = \dfrac{1}{27}s^3$
$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\le \sqrt{\dfrac{1}{27}}s^2$

แทนค่าใน $A=rs$

$2s \le \sqrt{\dfrac{1}{27}}s^2$
$s \le 0$ หรือ $s \ge 2\sqrt{3}$

แต่ $s > 0$ นั่นคือ
$a+b+c = 2s \ge 4\sqrt{3}$

และจากที่คุณ banker พบว่าสามเหลี่ยมด้านเท่ามีเส้นรอบรูป $4\sqrt{3}$
เส้นรอบรูปที่น้อยที่สุดจึงเป็น $4\sqrt{3}$ ครับ
__________________
----/---~Alice~
---/---- ~Blue~

16 กรกฎาคม 2012 17:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555
เหตุผล: เพิ่มคำอธิบาย
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 05:06


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2014, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha