:: หาความยาวรอบรูป สามเหลี่ยม

[bookbun]

จงหาความยาวรอบรูปที่น้อยที่สุดของสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง ที่ภายในมีวงกลมรัศมี 2 หน่วย แนบในอยู่ครับ

[banker]

ไม่ทราบเหมือนกัน แต่เท่าที่ลองๆขีดๆเขียนๆรูปดู

วงกลมรัศมี 2 หน่วย ที่แนบในสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมด้านเท่าน่าจะมีเส้นรอบรูปสั้นที่สุด ?



ถ้าเป็นอย่างนั้น เส้นรอบรูปก็เท่ากับ $12\sqrt{3} \ $หน่วย


ประเด็นคือจะพิสูจน์อย่างไรว่า

ในบรรดาสามเหลี่ยมที่มีวงกลมรัศมีเท่ากันแนบใน สามเหลี่ยมด้านเท่ามีเส้นรอบรูปสั้นที่สุด

[khlongez]

จากรูป ถ้าให้ z = ความยาวรอบรูปสามเหลี่ยม และ r = รัศมีวงกลม

จะได้ว่า $z = 2r(tan\theta +tan\phi -tan(\theta +\phi )) $ โดยที่ $0<\theta ,\phi <\pi /2$

จากนั้นหา $ \theta , \phi$ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขและทำให้ $z$ มีค่าน้อยสุดโดยใช้แคลคูลัส (ถ้าไม่มีคนสงสัยก็ขอละไว้นะคะเราขี้เกียจพิมพ์)

ก็จะได้ $\theta = \pi/3 $ และ $\phi = \pi/3$ จึงจะทำให้ $z$ มีค่าน้อยสุด

ดังนั้นสามเหลี่ยมที่มีความยาวเส้นรอบรูปน้อยที่สุดที่มีวงกลมแนบในอยู่ต้องเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

ปล. เป็นวิธีพิสูจน์เท่าที่เรานึกออกอ่ะค่ะ บางทีอาจมีวิธีที่ง่ายกว่านี้ก็ได้

[bookbun]

จากความรู้ที่ว่า เส้นตรงเส้นหนึ่ง ถ้าเรานำเส้นตรงนี้ไปขดเป็นรูปทรงเรขาคณิต(2มิติ) รูปวงกลมจะเป็นรูปมีพื้นที่มากที่สุด และ ขนาดของพื้นที่จะค่อยๆเล็กลงมาเรื่อยๆ เช่น ถ้านำไปขดเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่า พื้นที่ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่า ก็จะมากกว่า พื้นที่ของรูป n-1 เหลี่ยมด้านเท่า ในทำนองเดียวกัน พื้นที่ของรูป n-1 เหลี่ยมด้านเท่า ก็จะมากกว่า พื้นที่ของรูป n-2 เหลี่ยมด้านเท่า ซึ่งก็จะเป็นแบบนี้ไปเรื่อยๆ จนเมื่อ n = 3 ซึ่งก็คือรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า จะมีพื้นที่มากที่สุด ในบรรดารูปสามเหลี่ยมทั้งหมด (เมื่อความยาวรอบรูปเท่ากัน) ดังนั้น พื้นที่ของวงกลมที่มากที่สุด ที่แนบในรูปสามเหลี่ยมด้่านเท่า ก็ต้องมีขนาดมากกว่า รูปวงกลม ที่แนบในรูปสามเหลี่ยมแบบอื่นๆ เพราะรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีพื้นที่มากกว่าสามเหลี่ยมแบบอื่นๆ เมื่อความยาวรอบรูปเท่ากัน

ผมเข้าใจแบบนี้ แต่ยังหาบทที่ถูกต้องไม่ได้ เข้าใจว่า น่าจะมีบทพิสูจน์ทางเรขาคณิตไว้แล้ว

[Thgx0312555]

อีกวิธีครับ
ให้ $s = \dfrac{a+b+c}{2}$ เมื่อ $a,b,c$ เป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยม
$r$ แทนรัศมี และ $A$ แทนพื้นที่

สามารถพิสูจน์ได้ง่ายว่า $A=rs$

พิจารณา Heron's formula
$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

ตรงนี้คือต้องการหาว่าในบรรดาสามเหลี่ยมที่มีความยาวเส้นรอบรูปเท่ากัน สามเหลี่ยมด้านเท่าจะมีพื้นที่มากสุด
นั่นคือพิ้นที่ของสามเหลี่ยมใดๆจะมากสุดเมื่อ $a=b=c=\frac{a+b+c}{3}=\frac{2s}{3}$
นั่นคือต้องการพิสูจน์ว่า
$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \le \sqrt{s(s-\dfrac{2s}{3})(s-\dfrac{2s}{3})(s-\dfrac{2s}{3})} = \sqrt{\dfrac{1}{27}}s^2$

ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยอสมการ A.M.-G.M
$(s-a)(s-b)(s-c) \le (\dfrac{3s-a-b-c}{3})^3 = \dfrac{1}{27}s^3$
$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\le \sqrt{\dfrac{1}{27}}s^2$

แทนค่าใน $A=rs$

$2s \le \sqrt{\dfrac{1}{27}}s^2$
$s \le 0$ หรือ $s \ge 2\sqrt{3}$

แต่ $s > 0$ นั่นคือ
$a+b+c = 2s \ge 4\sqrt{3}$

และจากที่คุณ banker พบว่าสามเหลี่ยมด้านเท่ามีเส้นรอบรูป $4\sqrt{3}$
เส้นรอบรูปที่น้อยที่สุดจึงเป็น $4\sqrt{3}$ ครับ