Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์มัธยมศึกษา > ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย > ข้อสอบในโรงเรียน ม.ปลาย
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 16 สิงหาคม 2012, 22:01
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,048
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default ข้อสอบเพชรยอดมงกุฏ

1.กำหนด $m\le n$ เมื่อ $m,n\in\mathbb{N}$ โดย $gcd(m,n)=1$ เเละ $mn=25!$
เเล้ว $(m,n)$ มีกี่คู่อันดับ
2.กำหนดฟังก์ชันพหุนามกำลัง $8$ คือ $f$ เเละ $f(m)=\dfrac{1}{m}$ ทุกๆ $m=1,2,..,9$
จงหา $f(10)$
__________________
Where is a will there is a way
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 16 สิงหาคม 2012, 22:25
MiNd169's Avatar
MiNd169 MiNd169 ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 15 สิงหาคม 2009
ข้อความ: 444
MiNd169 is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง View Post
1.กำหนด $m\le n$ เมื่อ $m,n\in\mathbb{N}$ โดย $gcd(m,n)=1$ เเละ $mn=25!$
เเล้ว $(m,n)$ มีกี่คู่อันดับ
2.กำหนดฟังก์ชันพหุนามกำลัง $8$ คือ $f$ เเละ $f(m)=\dfrac{1}{m}$ ทุกๆ $m=1,2,..,9$
จงหา $f(10)$
$25!$ เขียนในรูปแยกเป็นตัวเฉพาะเดี่ยวๆได้ $9$ ตัว $= 2^a3^b5^c7^d11^e13^f17^g19^h23^i$
จากนั้นแยกเป็น $m$ และ $n$ โดยต้องนำจำนวนเฉพาะนั้นๆไปด้วยกันทั้งหมด จะแยกได้ $2^9$ (กลุ่มจำนวนที่มากกว่า จะเป็น $n$ โดยอัตโนมัติ)
--------
edit : จากที่คิดแบบ $2^9$ มันคือการคิดโดยระบุตำแหน่ง เพื่อไม่ให้เจาะจง ต้องหารด้วย 2! น่าจะตอบ $2^8$
__________________
แข่งคณิตฯ คิดได้ ง่ายดายเหลือ
แข่งทุกเมื่อ ร้อนแรง แจ้งประจักษ์
รับรางวัล หลากหลาย มากมายนัก
แต่แข่งรัก ยากแท้ แพ้ใจเธอ

16 สิงหาคม 2012 22:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ MiNd169
เหตุผล: ทำต่อจากเดิม
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 16 สิงหาคม 2012, 22:43
แฟร์ แฟร์ ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 11 มิถุนายน 2012
ข้อความ: 1,701
แฟร์ is on a distinguished road
Default

2.กำหนดฟังก์ชันพหุนามกำลัง 8 คือ f เเละ f(m)=1/m ทุกๆ m=1,2,..,9
จงหา f(10)

ผมลองทำใน Excel
f(10) = 0.2 = 1/5
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 17 สิงหาคม 2012, 17:07
-InnoXenT-'s Avatar
-InnoXenT- -InnoXenT- ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 17 มิถุนายน 2008
ข้อความ: 487
-InnoXenT- is on a distinguished road
Default

ข้อสอง ผมคิด Closed Form ได้เท่านี้อะครับ

$\displaystyle{f(x) = \sum_{n=1}^{9}\frac{(-1)^{n+1}(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9)}{n!(9-n)!(x-n)}}$

แทนค่า $x=10$ ก็จะได้

$f(10) = 2-9+24-42+25.2 = 0.2$
__________________
เมื่อไรเราจะเก่งเลขน้าาาาาา ~~~~

T T

ไม่เก่งซักที ทำไงดี
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 17 สิงหาคม 2012, 18:01
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,048
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

#2 ทำไมเป็น $2^9$ อ่ะครับ ปล.สอบป่าวพี่มายด์ ^^
#4 ทำยังไงเหรอครับ ดูยากจัง =[]="
__________________
Where is a will there is a way
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 17 สิงหาคม 2012, 18:35
jabza's Avatar
jabza jabza ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 สิงหาคม 2005
ข้อความ: 543
jabza is on a distinguished road
Default

2.$จากf(m)=\frac{1}{m} \Rightarrow mf(m) - 1 = 0$
$สมมติให้Q(x)=xf(x) - 1 = 0$
$โดยทฤษฎีบทหลักมูลพีชคณิต จะได้ว่า Q(x) เป็นพหุนามกำลัง 9 (เพราะ f กำัลัง 8)$
$โดยที่ Q(x)=C(x-1)(x-2)....(x-9)$
$ดังนั้นxf(x) - 1=C(x-1)(x-2)....(x-9)$
$สมมติให้f(x) =a_9x^9+a_8x^8 +......+a_1x+a_0$
$ดังนั้นx(a_9x^9+a_8x^8 +......+a_1x+a_0) - 1 = C(x-1)(x-2)....(x-9)$
$เทียบสัมประสิทธิ์ของค่าคงตัว : -1 = -9!C $
$จะได้ c =\frac{1}{9!} $
$ จะได้ f(x) = \frac{\frac{1}{9!}(x-1)(x-2)....(x-9)}{x} + \frac{1}{x} $
$แทนค่า f(10) = 0.2 $ ครับ
__________________
จะขอทำฝัน....ให้ใกล้เคียงความจริงที่สุด

เด็กน้อย ค่อยๆ เรียนรู้ สินะ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 17 สิงหาคม 2012, 18:48
Pain 7th Pain 7th ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 17 เมษายน 2012
ข้อความ: 198
Pain 7th is on a distinguished road
Default

1. $gcd(m,n)=1$ จะได้ $gcd(25!,n^2)=n$

ถ้าเขียน 25! ในรูปเลขยกกำลังพบว่า 13,17,19,23 มีกำลังหนึ่งแสดง่วาสร้างได้ $2^4$

จากนั้นพิจารณาเลขยกกำลังที่มากกว่า 1 n จะต้องมีกำลังของจำนวนเฉพาะ ใดๆ สูงเท่ากับ 25! มี เช่น $25!=2^a k$ n ก็ต้องมี $2^a$ ด้วย

เพราะถ้า n มีกำลังน้อยกว่าเท่ากับหรือมากกว่าเท่ากับ $\dfrac{a}{2}$ แต่ไม่เท่ากับ a ก็จะขัดกับ หรม ดัง n ควรมีกำลัง 0 หรือ a เท่านั้นเป็นต้น

เพราะฉะนั้นจะมีคู่อันดับทั้งหมด $2^9$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 17 สิงหาคม 2012, 21:03
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,048
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

อ้อครับ ขอบคุณทุกท่านมากๆครับ
มีมาเพิ่มอีก
3.หาส.ป.ส.ของ $x^{20}$ ใน $(x^3+x^4+x^5+...)^3$
4.หาค่าของ $\tan 53^\circ+\tan 37^\circ-(\tan 53^\circ-\tan 37^\circ)\tan 8^\circ$
5.ให้ $21A=\pi$ จงหาค่า $\cos 2A+\cos 4A+\cos 6A+...$
6.ถ้า $\dfrac{\sin x+\sin y+\sin z}{\sin(x+y+z)}=\dfrac{\cos x+\cos y+\cos z}{\cos(x+y+z)}=2\sqrt 2$ เเละ $\cos x\cos y+\cos y\cos z+\cos z\cos x=a+b\sqrt 2$ จงหา $a+b$
7.ให้ $$-\frac{3}{1!}+\frac{7}{2!}-\frac{13}{3!}+\frac{27}{4!}-...+\frac{2548^2+2548+1}{2548!}=a+\frac{b}{c!}$$
เมื่อ $a,b,c\in Z$หาค่าน้อยสุดของ $a+b+c$
8.$a=16/26,b=125/64$ จงหา $a^{\log_b 3}$

ปล.โหดกันทุกคนเลยครับ อาจจะง่ายเกินไปสำหรับทุกท่าน
ปล.2ข้อท้ายสุดเราหาออกมาได้เเบบไม่ติด $\log 3 $ หรือครับ = =
__________________
Where is a will there is a way

17 สิงหาคม 2012 21:12 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 17 สิงหาคม 2012, 21:18
MiNd169's Avatar
MiNd169 MiNd169 ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 15 สิงหาคม 2009
ข้อความ: 444
MiNd169 is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง View Post
#2 ทำไมเป็น $2^9$ อ่ะครับ ปล.สอบป่าวพี่มายด์ ^^
ก็เหมือนเลือกพิจารณาไปทีละตัว รายตัวเลย โดยเหมือนให้จำนวนพวกนั้นเลือกลงได้ $2$ ข้าง (ข้างไหนมากกว่า่ให้เป็น $n$ ซะ)
เช่น
$2^a$ เลือกลงได้สองข้าง จึงได้ $2$วิธี
$3^b$ เลือกลงได้สองข้าง จึงได้ $2$วิธี
$5^c$ เลือกลงได้สองข้าง จึงได้ $2$วิธี
.
.
.
จึงรวมกันได้ $2^9$
แต่เวลาเลือกแบบนี้ มันมีการ fix ของตำแหน่งที่มันลง มันเลยต้องหาร $2!$ ออก เหลือ $2^8$

...น่าจะไปแหล่ะ ไปป่าว? ...
__________________
แข่งคณิตฯ คิดได้ ง่ายดายเหลือ
แข่งทุกเมื่อ ร้อนแรง แจ้งประจักษ์
รับรางวัล หลากหลาย มากมายนัก
แต่แข่งรัก ยากแท้ แพ้ใจเธอ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 17 สิงหาคม 2012, 21:32
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 562
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

3. star&bars , $a+b+c=20,a,b,c \ge 3$

7. $\displaystyle\sum_{i=1}^{2548}(-1)^{i}(\dfrac{i^2+i+1}{i!}) = \sum_{i=1}^{2548}(-1)^{i}(\dfrac{i^2}{i!}+\dfrac{i+1}{i!})$
$\displaystyle = \sum_{i=1}^{2548}(-1)^{i}(\dfrac{i}{(i-1)!}+\dfrac{i+1}{i!})$
$\displaystyle = \sum_{i=1}^{2548}(-1)^{i}(\dfrac{i}{(i-1)!})+\sum_{i=1}^{2548}(-1)^{i}(\dfrac{i+1}{i!})$
$\displaystyle = \sum_{i=1}^{2548}(-1)^{i}(\dfrac{i}{(i-1)!})-\sum_{i=2}^{2549}(-1)^{i}(\dfrac{i}{(i-1)!})$
$= 1-\dfrac{2549}{2548!}$

สามารถจัดรูปให้ค่า b เป็นลบมากๆได้ดังนั้น a+b+c ไม่จะมีค่าน้อยที่สุดนะครับ
__________________
----/---~Alice~
---/---- ~Blue~

17 สิงหาคม 2012 21:58 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 17 สิงหาคม 2012, 21:59
Pain 7th Pain 7th ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 17 เมษายน 2012
ข้อความ: 198
Pain 7th is on a distinguished road
Default

5. $\displaystyle \sum_{i=1}^n \cos \dfrac{2i}{2n+1} \pi = -\dfrac{1}{2}$

6. $\sin x\sin y+\sin y\sin z+\sin z\sin x=p , \cos x\cos y+\cos y\cos z+\cos z\cos x=q , p+q=\dfrac{5}{2} , q-p=2\sqrt{2}$

7. $\dfrac{n^2+n+1}{n!} = \dfrac{n}{(n-1)!}+\dfrac{n+1}{n!}$

17 สิงหาคม 2012 22:09 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pain 7th
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 18 สิงหาคม 2012, 07:20
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,048
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

#9 ขอบคุณครับ เข้าใจละๆ ผมก็ไปเหมือนกัน
#10 เข้าใจเเล้วครับ ขอบคุณมาก
ปล.งั้นข้อเเรกนี่ได้ $\dfrac{14!}{3!11!}$ หรือป่าวครับ
#11 ข้อ 5.พิสูจน์ได้ยังไงครับ
ข้อ 6. ผมไม่เข้าใจว่าทำไม $q-p=2\sqrt 2$ กับ $p+q=5/2$ คือ $q-p$ นี่เกิดจากการกระจายเหรอครับ เเล้ว $5/2$ มาจากไหนอ่ะครับ
__________________
Where is a will there is a way
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #13  
Old 18 สิงหาคม 2012, 07:41
Pain 7th Pain 7th ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 17 เมษายน 2012
ข้อความ: 198
Pain 7th is on a distinguished road
Default

ข้อ 6 ลองยกกำลังสองจากสมการโจทย์แล้วใช้ $\sin^x + \cos^2 x = 1 $ การหา q-p สังเกตจาก $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$

ข้อ 5 ให้ $w= \ cis \dfrac{2\pi}{2n+1}$ ครับ เราจะได้ว่า $\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1} w^i = -1$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #14  
Old 18 สิงหาคม 2012, 08:31
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,048
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

ข้อ6 ขอเเบบเต็มเลยได้ไหมครับ ยังงเหมือนเดิม 555+
ปล.คุณ Pain ไปป่าวครับ
__________________
Where is a will there is a way

18 สิงหาคม 2012 08:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #15  
Old 18 สิงหาคม 2012, 16:19
Pain 7th Pain 7th ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 17 เมษายน 2012
ข้อความ: 198
Pain 7th is on a distinguished road
Default

ยังงี้ครับ

$\sin x +\sin y+\sin z= 2\sqrt{2}\sin (x+y+z)$

$\cos x +\cos y+\cos z=2\sqrt{2} \cos (x+y+z)$

จับยกกำลังสองทั้งสองสมการแล้วนำมาบวกกัน จะได้

$3+2p+2q= 8 $

เพราะฉะนั้น $p+q = \dfrac{5}{2}$

จากนั้นดู

$q-p= \cos x\cos y -\sin x\sin y+\cos y\cos z -\sin y\sin z+\cos z\cos x -\sin z\sin x$

$\ \ \ \ \ \ \ =\cos (x+y+z-z)+\cos (x+y+z-y)+\cos (x+y+z-z)$

$\ \ \ \ \ \ \ =\cos (x+y+z) (\cos x+\cos y+\cos z)+\sin (x+y+z) (\sin x+\sin y+\sin z)$

$\ \ \ \ \ \ \ = 2\sqrt{2} \cos^2 (x+y+z)+2\sqrt{2} \sin^2 (x+y+z)$

$\ \ \ \ \ \ \ = 2\sqrt{2}$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 04:28


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2014, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha