ข้อสอบเพชรยอดมงกุฎ2554

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

$1.$กำหนดกล่องทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากสอดคล้องกับ
$1)$ผลรวมพื้นที่ผิวทุกด้านเท่ากับ$22$ตร.ซม.
$2)$ผลรวมของสันทุกเส้นเป็น$24$ซม.
กล่องใบนี้มีเส้นทแยงมุมที่ยาวที่สุดยาวกี่ซม.

$2.$เส้นตรงสองเส้นตัดกันที่$O$ ทำมุม$30^\circ$ ให้$A$เป็นจุดบนเส้นตรงหนึ่งและ$B$อยู่บนอีกเส้นตรงหนึ่ง
ทำให้$AB=1$ จงหาว่า$OB$ ยาวมากที่สุดได้กี่หน่วย

$3.$ให้$n$เป็นจำนวนเต็มบวกและ$d_1,d_2,...,d_k$เป็นตัวหารที่เป็นบวกทุกจำนวนของ $n$โดยที่
$1=d_1<d_2<...<d_k=n$
จงหาว่ามี $n$กี่ตัวที่สอดคล้องกับ
$1)$ $2\leqslant n\leqslant 2011$
$2)$ $d_2=k$

$4.$(ยากมาก)
กำหนดพหุนาม $ p(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง
ถ้าเศษจากการหาร$p(x)$ด้วย$x-1$คือ$9$ เศษจากการหาร$p(x)$ด้วย$x-2$ คือ$39$
เศษจากการหาร$p(x)$ ด้วย$x-3$คือ$89$และเศษจากการหาร$p(x)$ด้วย$x-4$คือ$159$
จงหาค่า$a-b+c-d$

[math magic]

ข้อที่2 เส้นตรง2เส้นตัดกันทำมุม30องศาถ้าจะให้BOมากที่สุดต้องตัดกันเป็นมุมฉาก
จะได้ว่า AB/BO =sin30 จากโจทย์ AB=1แสดงว่า. BO =2

[anongc]

$ 10*(1)^2-1 = 9 $
$ 10*(2)^2-1 = 39 $
$ 10*(3)^2-1 = 89 $
$ 10*(4)^2-1 = 159 $

$ p(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + 10x^2 -1 $

$ จากนั้นก็เทียบสัมประสิทธ์คับ $

[computer]

ข้อ2

อย่างนี้ถือเป็นเส้นทแยงมุมหรือเปล่าคะ

[anongc]

ข้อ 3 ทำยังไงหรอคับ งงๆกะโจทนิดหน่อยอะคับ