Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์ทั่วไป > ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 12 มิถุนายน 2002, 22:19
attawoot attawoot ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 มิถุนายน 2002
ข้อความ: 2
attawoot is on a distinguished road
Post วิธีพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์

คืออะไรอยากรู้มาก
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 13 มิถุนายน 2002, 22:08
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 3,986
gon is on a distinguished road
Icon15

ความรู้ในโลกนี้ สมมุติว่าสนใจ อยู่ 2 เรื่อง คือ ความรู้ทางคณิตศาสตร์ และ ความรู้ทางวิทยาศาสตร์ นั้นมีวิธีคิดที่ต่างกัน ขอให้น้องลองพิจารณาต่อไปนี้นะครับ. ชาวอียิปต์รู้ตั้งนานแล้วว่า สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบร่วมเป็น 3,4,5 นั้นจริง คือมีการทำปักหมุดเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 3,4,5 ดังกล่าวกับพื้นดิน(ไปหาอ่านเอา) แต่นักคณิตศาสตร์ยุคเราเชื่อกันว่า ชาวอียิปต์รู้จากการสังเกต แต่ไม่ทราบเหตุผล คือไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าทำไมจึงเป็นเช่นนั้น ?? (อ้อ. ชาวบาบิโลเนีย ซึ่งอยู่ยุคใกล้ ๆกันก็รู้เหมือนกัน)

พิทากอรัสและศิษยานุศิษย์ ซึ่งเป็นชาวกรีกยุคประมาณราว ๆ สองสามร้อยปีก่อน คริตศักราช(มั้ง) ได้ทำการพิสูจน์โดยวิธีทางคณิตศาสตร์เป็นคนแรก
ถึงตรงนี้น้องเข้าใจหรือยังครับ. ว่าวิธีการคิดแบบคณิตศาสตร์ กับ วิทยาศาสตร์ต่างกันอย่างไร ความรู้ที่ได้รับการพิสูจน์แล้วในทางคณิตศาสตร์ว่าเป็นจริง สมมติเมื่อ 2 พันปีก่อนเป็นเช่นไร อีก 2 พันปีต่อมาก็ไม่เปลี่ยนแปลง และไม่มีใครพิสูจน์หักล้างได้ ซึ่งจะต่างกับ วิธีคิดและความรู้แบบวิทยาศาสตร์ ซึ่งอาศัยจากการสังเกต ประสบการณ์ และ การทดลอง สมมุติ 2 พันปีก่อน เชื่อว่าไม่มีทางที่มนุษย์จะออกไปนอกโลกได้ แต่ 2 พันปีต่อมาความรู้นี้เปลี่ยนไป เป็นต้น. (นั่นคือเหตุผลหลัก ๆ ที่พี่จะไม่ไปยุ่งกับวิชาทางฟิสิกส์เท่าใดนัก ถ้าน้องเรียนเรื่องแสงมาแล้วคงรู้)

ต่อมาราว ๆ หลังจากพิทาอกรัส 2 - 3 ร้อยปี(มั้ง อีกล่ะ) ยุคลิดชาวอะไรหลักฐานไม่ปรากฏชัด เป็นคนแรกที่ได้รวบรวมความรู้ ทางคณิตศาสตร์ไว้เป็นเรื่องเป็นราว ในขณะเดียวกัน ยุคลิดก็เป็นผู้ที่เรียกได้ว่า วางรากฐานคณิตศาสตร์ในยุคต่อ ๆ มาอย่างแท้จริง
ขอให้น้อง พิจารณาการอ้างเหตุผลต่าง ที่เราใช้สมมุติว่า ถามว่า " ทำไมฝนจึงตก "
คำตอบ : ก็เพราะไอน้ำรวมตัวกันจนหนักน่ะสิ
อ้าว ! แล้วไอน้ำมาจากไหนล่ะ
อ๋อ. มาจากแสงแดดให้ความร้อนไง
แล้ว แสงแดดมาจากไหนล่ะ
โธ่ ! ก็มาจากดวงอาทิตย์ . เฮ้อ เด็ก ป.1 ยังรู้เลย
อ้าว ! แล้วทีนี้ ดวงอาทิตย์มาจากไหนล่ะ
อึ๋ย. ก็มาจากรวมตัวกันของฝุ่นก๊าซ เป็นเวลาหลายล้านปี หลังการระเบิดครั้งใหญ่ของจักรวาล ตามทฤษฎี Big Bang น่ะ
แล้วทฤษฎี Big Bang น่ะ เชื่อได้รึ.
เฮ้ย. ! จริงล่ะมั้ง อยากรู้ก็ไปถามพระเจ้าซิ
(ไม่คุย ต่อแล้วนะครับ. เดี๋ยวจะถามต่อว่า พราะเจ้ามาจากไหนอีก ฮ่า ๆ ๆ ๆ )

จะเห็นได้ว่า ในการตอบสิ่งใดนั้น เราต้องอ้างไปถึงสิ่งที่เราเชื่อว่าจริงก่อนหน้านี้เสมอ.

ดังนั้นยุคลิดจึงเชื่อว่า ถ้าเป็นเช่นนี้สุดท้ายก็ย่อมที่มีความจริง ที่ไม่สามารถอ้างย้อนไปถึงสิ่งไหนได้ สิ่งนั้นคือสิ่งที่นักคณิตศาสตร์เรียกกันว่า สัจพจน์ (Axiom) ซึ่งก็คือความจริงที่ยอมรับได้โดยไม่ต้องพิสูจน์ไงครับ. เพราะถ้าไม่มีสัจพจน์แล้ว การอ้างเหตุผลจะเป็นวงกลม ซึ่งไม่มีที่สิ้นสุด
ถ้าน้องเคยได้ยินเพลงนี้ คงเข้าใจดีว่า ที่ว่าเป็นวงกลมน่ะเป็นเช่นไร

" ฝนเอยทำไมจึงตก ๆ จำเป็นต้องตกเพราะว่า กบมันร้อง กบเอยทำไมจึงร้องๆ จำเป็นต้องร้อง เพราะว่าท้องมันปวด ท้องเอยทำไมจึงปวด ๆ จำเป็นต้องปวด เพราะว่าข้าวมันดิบ ข้าวเอยทำไมจึงดิบ ๆ จำเป็นต้องดิบเพราะว่า ฟืนมันเปียก ฟืนเอยทำไมจึงเปียก ๆ จำเป็นต้องเปียกเพราะว่าฝนมันตก !!! "

เห็นไหมครับ.ว่าถ้าการอ้างเหตุผลมันเป็นวงกลมก็คงไม่ต้องคุยกันแล้ว
ยุคลิดได้ตั้ง สัจพจน์ไว้ทั้งสิ้น 5 ข้อ ด้วยกัน(มั้ง) พี่จะยกตัวอย่าง สัจพจน์ข้อที่ 1 นะครับ.
สัจพจน์ข้อที่ 1 กล่าวว่า เส้น คือ จุดที่เรียงต่อ ๆ กันไป
จากหลังจากที่ได้ตั้ง สัจพจน์ทั้ง 5 ข้อ แล้ว ยุคลิดก็สร้าง ความจริงอันอื่น ที่เรียกว่า ทฤษฎีบท โดยทฤษฎีบทอันแรกนี้ก็จะ พิสูจน์จากสัจพจน์ที่วางไว้ดีแล้ว. คราวนี้พอจะสร้างหรือพิสูจน์ ท.บ. ที่ 2 ก็สามารถอ้างความจริงจากสัจพจน์ทั้ง 5 ข้อ และ ท.บ. 1 ที่เมื่อกี๊พิสูจน์ไปแล้วได้ด้วย ทำเช่นนี้เรื่อยไป ก็จะได้ทฤษฎีบทต่าง ๆ ออกมามากมายเป็นลำดับต่อ ๆ กันมา ที่น้องเรียน ๆ กันและก็เรียกกันว่า สมบัตินู่น สมบัตินี่ เช่น สมบัติการกระจาย ... สูตรอะไรทั้งหลายนั่น ก็เป็นทฤษฎีบท
ด้วยวิธีการให้เหตุผลที่ยุคลิดใช้กับเรขาคณิตแบบนี้เอง ที่เป็นต้นแบบให้นักคณิตศาสตร์ได้นำมาใช้ พิสูจน์เป็นวิธีต่าง ๆ หลากหลายมากมาย ซึ่งรวม ๆ เราเรียกกันว่า .. เอ้อ. อย่าเลยเดี่ยวมากไปจะสับสนนะครับ.

โดยตัว สัจพจน์ของยุคลิดเอง จะมีปัญหาก็ตรงสัจพจน์ข้อที่ 5 ในเวลาต่อมาเมื่อโลกเราเจริญทางด้านวิทยาศาสตร์ขึ้น ดังเช่นทุกวันนี้ ซึ่งกล่าวว่า
ถ้าต่อเส้นตรง 2 เส้นซึ่งขนานกันออกไป แล้วเส้นตรงทั้งสองจะไม่มีตัดกันเด็ดขาด อ้อ. ไกลไปอีกแล้ว ๆ พอ ๆ

ปัจจุบันศาสตร์ทางด้านคณิตศาสตร์เจริญไปอย่างมากมาย วิชาคณิตศาสตร์เหมือนเป็นคนที่ปิดทองหลังพระ อย่างแท้จริง ถ้าคณิตศาสตร์ไม่เจริญแล้วโลกเรานี้คงไม่ไปไหน นักคณิตศาสตร์ไว้วางระบบ แบบแผนไว้อย่างดี ศาสตร์ต่าง ๆ ต่างนำความรู้ทางคณิตศาสตร์ไปประยุกต์ใช้มากมาย วิชาคณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นการศึกษาถึงสิ่งที่นำไปใช้จริงได้ จับต้องได้ เช่น ระบบจำนวนตัวเลข แต่เพียงอย่างเดียวเท่านั้น แต่ยังศึกษาถึงระบบทั่ว ๆ ไปขึ้นมา เพื่อวางระบบไว้ในอนาคต รอวันที่ศาสตร์อื่น ๆ นำไปใช้เท่านั้นเอง อย่างเช่นตอนนี้น้องอาจจะรู้กับคำว่า พีชคณิต ในแง่ของการบวก ลบ คูณ หาร ธรรมดา อาจจะเห็นตัวมัน และ พอเข้าใจ แต่นักคณิตศาสตร์ได้มีการพัฒนา พีชคณิตในแง่ของนามธรรม (Abstract Algebra) ซึ่งเป็นระบบความคิดซึ่งจับต้องไม่ได้ ในตัว Abstract Algebra เองถ้าสนใจเฉพาะจำนวน 0 กับ 1 มันก็ยังถูกเรียกเฉพาะลงไปอีกว่า Boolean Algebra ซึ่งสามารถนำไปประยุกต์ในการออกแบบวงจรไฟฟ้าได้อีก (พวกต่ออนุกรม ขนาน อะไรอย่างนั้นเป็นต้น.) มีเรื่องที่น่าสนใจมากมายในพีชคณิตนามธรรมนี้ เช่น ทฤษฎี Galois (ไม่แน่ใจว่าเขียนถูกหรือเปล่า) ซึ่งเป็นทฤษฎีซึ่งนักคณิตศาสตร์ชื่อนี้ล่ะ ได้คิดขึ้นมาทีหลัง แล้วสามารถเชื่อมโยง ระบบ พีชคณิตนามธรรม ที่นักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาไว้รุ่นแรก ๆ ได้เป็นอย่างดี
อ้าว ! ไปไกลอีกแล้วครับ. ผมก็ว่าไปตามที่คิดว่ารู้มานะ ผิดถูกประการถ้ามีคนทราบก็ช่วยท้วงติงด้วยครับ. ผมก็ไม่ค่อยจะรู้มากเท่าไรนัก
ถึงตรงนี้ น้องตอบได้หรือยังครับว่า. " ระเบียบวิธีพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ " คืออะไร
__________________
ฝึกทักษะ พัฒนาความคิด พิชิตคณิตศาสตร์

หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC (Elementary Mathematics International Contest) ครั้งที่ 1-8 (พ.ศ.2546-2553) หาซื้อได้ที่ศูนย์หนังสือจุฬาฯ ซีเอ็ด(se-ed)และ kinokuniya
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 14 มิถุนายน 2002, 21:52
ToT's Avatar
ToT ToT ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 สิงหาคม 2001
ข้อความ: 154
ToT is on a distinguished road
Icon16

อืม ... ลึกซึ้งครับลึกซึ้ง ผมเองชอบวิชาเรขาคณิตมาก ซึ่งก็เคยมีโอกาสเรียนเรื่องของการพิสูจน์ตอนอยู่ ม.3 .. แล้วก็เคยเถียงกับเพื่อนเรื่องสัจพจน์นี่แหละ คือเขาพูดประมาณว่า สัจพจน์เนี่ยถูกสร้างขึ้นมา ( ในที่นี้ที่เพื่อนผมพูดหมายถึงมั่วขึ้นมานะครับ) เพื่อจะนำไปใช้อ้างในการพิสูจน์ ผมเองก็รู้สึกขัดๆมากๆ ตรงที่เขาคิดว่าสัจพจน์เป็นเรื่องที่มั่วขึ้นมา และยังบอกอีกว่า ถ้าทุกๆอย่างมีเหตุผลจริงๆ ก็ต้องให้นิยาม จุด เส้นตรง .... ได้ ซึ่งผมเองก็ไม่รู้ว่าจะเถียงยังไง แต่ตอนนี้ได้เหตุผลดีๆมาแล้วครับ ^^

คือ ... มีหนังสือเล่มนึงอยากจะแนะนำครับ เป็นนวนิยายเชิงคณิตศาสตร์ เป็นพวกปรัชญาล่ะมั้ง ชื่อหนังสือ "ปลายทางที่ " อ่านแล้วก็ประทับใจดีครับ เขาพูดในหลายๆเรื่องทั้งเรื่องเรขาคณิต logic เศรษฐศาสตร์ คิดว่าหลายๆคนคงได้อ่านไปแล้ว ( แต่ผมว่า plot เรื่องไม่ค่อยจะดีนะ แค่มีอาจารย์คนนึงเดินไปคุยกับจารย์คนนู้นคนนี้แล้วก็สาธยายให้ฟัง เล่มนี้จะสนุกตรงเนื่อหามากกว่า ) เรื่องเส้นขนานที่พี่ gon พูดไปก็คือว่ามิติของนอกโลกนั้น มันมีความโค้งรวมอยู่ด้วย ซึ่งสัจพจน์ที่ 5 มีความหมายประมาณว่า เส้นขนานจะไม่ตัดกัน แต่ถ้าเราถึงนึงถึงมิตินอกโลกแล้ว ( ซึ่งมีความโค้ง ) มันอาจจะตัดกันก็ได้ จริงหรือเปล่าครับ ???

เรื่องของความโค้งนี่ ลองพิจารณารูปสามเหลี่ยมครับ ลองคิดดูว่าขณะนี้เนี่ย มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180 แต่ถ้าเป็นมิติที่มีความโค้งเป็น + ผลรวมมุมภายในจะมากกว่า 180 ครับ ( ลองคิดรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากวงกลมขนาดเท่ากันสามวงตัดกันนะครับ ที่คล้ายกับสามเหลี่ยมฐานโค้งน่ะ ) แต่ถ้าเป็นมิติที่มีความโค้งเป็น - มุมภายในก็จะรวมกันได้น้อยกว่า 180 ครับ ... อ่านแล้วอาจจะงงๆนะครับ ต้องมีรูปประกอบ แต่ผมไม่รู้จะหามากจากไหนอ่ะครับ แฮ่ๆๆๆ
__________________
Mmmm ....
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 15 มิถุนายน 2002, 07:35
attawoot attawoot ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 มิถุนายน 2002
ข้อความ: 2
attawoot is on a distinguished road
Talking

ขอขอบพระคุณพี่มากที่ช่วยอธิบายให้เข้าใจตอนนี้ผมอยู่ ม.6 ครับ
แล้ววันหลังจะมาเยี่ยมชมบ่อยๆ ครับ ก็อันที่จริงอยากได้ข้อมูลเป็นแบบ
ข้อมูลเนื้อๆ เพื่อทำรายงานอะครับ แต่ไม่เป็นไรครับ ผมจะพยายามหาอีก
ต่อไป (เข้าเว็บนี้บ่อยๆ จะทำให้เก่งคณิตศาสตร์อีกมั้ยหละเนี่ย) attawoot@soi.com
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 16 มิถุนายน 2002, 13:51
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 3,986
gon is on a distinguished road
Icon15

น้อง .TOT นี่เยี่ยมจริง ๆ ไปอ่านนิยายมาเล่มเดียวกันกับที่พี่ไปยืนอ่านมาได้ไงนี่. ไม่รู้ว่าออกนานหรือยังสำหรับคนที่ต้องการความรู้ทางคณิตศาสตร์โดยไม่ซีเรียสมาก ก็ลองไปหาซื้ออ่านกันได้ครับ. เล่มราคา 100 กว่าบาท ถ้าจำไม่ผิดรู้สึกจะเป็น 160 - 180 บาท แต่ผมไม่ได้ซื้อมาหรอก ผมเป็นนักยืนอ่าน นั่งอ่านไปทั่วทุกที่ที่มีหนังสือละนะ

อันที่จริงเรื่องเกี่ยวกับ เรื่อง เรขาคณิตนอกระบบยุคลิตนั่นอันที่จริง พี่ก็ไม่ค่อยจะสนใจว่ามันจะตัดกันจริงหรือไม่จริง ในกรณีที่เรามองว่าจักรวาลมันมีความโค้ง เรื่องนี้ก็มีเขียนไว้ในตำราหลายเล่มครับ. ถ้าจำไม่ผิดในหนังสือที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตเองก็มี ในส่วนของตำราของ Abstract Algebra บางเล่มเองก็มี เพราะไปนั่งอ่านมาในห้องสมุด อย่างที่พี่เกริ่นเอาไว้นั้น ในตัวทฤษฎี BigBang ที่นักวิทยาศาสตร์ปัจจบันยอมรับว่า มันใกล้เคียงสมบูรณ์ที่สุด ในการอธิบายปรากฏการณ์ต่าง ๆ ของการกำเนิดจักรวาล ซึ่งพี่ก็ไม่ค่อยที่จะยอมรับความคิดแบบวิทยาศาสตร์เท่าไรเลย เพราะมักเป็นการมองโดยอ้อม คือดูเอาปรากฏการณ์ต่าง ๆ แล้วมาสูตรทีหลัง หรือ ถึงแม้ว่าจะสร้างสูตรขึ้นมาก่อน ก็ตาม แต่ก็ต้องมา verify กับ ปรากฎการณ์หลายหลังอีกที

คำถามก็มีอยู่ว่า สิ่งที่เราเห็นจากอุปกรณ์วิทยาศาสตร์ต่าง ๆ นั้นเราจะรู้ได้ยังไงว่าสิ่งที่เรามองเห้นด้วยตานั้น มันเป็นจริง ในแง่มุมมองของคนทั่วไป ซึ่งมักจะมองและคิดในแนวเส้นตรง ดังนั้นการที่กล่าวว่า ถ้าเราเห็นภาพจากการระเบิดสมมติของดวงดาวดวงหนึ่ง แล้วเราบอกว่าเป็นภาพที่เกิดของดวงดาวที่ห่างออกไปหลายพันปีแสง (สมมุติ) คือ เราเชื่อว่ากว่าภาพจะเดินทางมาถึงโลกต้องใช้เวลาถึงพันปี แล้วอย่างนี้เราจะไปเชื่อกับภาพหรือสิ่งที่เราเห็นอะไรได้ ถ้าเราไม่เห้นสิ่งนั้นเป็นปัจจุบัน
แต่ถ้าเราเปลี่ยนความคิดเป้นคิดว่า เวลาเป็นสิ่งสัมพัทธ์ และ คิดว่าเวลาที่แสงเดินทางนั้นมิใช่เส้นตรง นั่นก็คือ เราก็หลุดพ้นจากความคิดจากแนวเส้นตรง และ นั่นย่อมแสดงว่าจะมีสิ่งที่มีความเร็วมากกว่าแสงได้ และนั่นย่อมพาให้เราสามารถสร้างหรือหาวิธีเดินทางไปสู่ต่างดาว ด้วยวิธีที่ดีกว่าและเร็วกว่าปัจจุบันหลายร้อยเท่าได้ ไม่ใช่ต้องเดินทางกันเป็นปี ๆ

เออ.นอกเรื่องอีกแล้วสำหรับน้อง attawoot ถ้าต้องการหาข้อมูลก็ลองไปซื้อหนังสือที่น้อง TOT ว่ามาอ่านดู เพราะพี่ลองอ่านดูแล้ว เขาไม่ได้เขียนมั่วนะ เขาค้นหาข้อมูลเป็นอย่างดีเลยทีเดียว มีแน่ ๆ ก็ทีศูนย์หนังสือจุฬา ถ้าฝั่งในจุฬาก็อยู่ Zone บันเทิง/แปล ตะวันตก

เข้าเว็บนี้บ่อย ยังไงน้องก้ต้องเก่งขึ้นล่ะครับ. แต่ถ้าน้องไม่ชอบ Math น้องก็จะเบื่อครับ.
__________________
ฝึกทักษะ พัฒนาความคิด พิชิตคณิตศาสตร์

หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC (Elementary Mathematics International Contest) ครั้งที่ 1-8 (พ.ศ.2546-2553) หาซื้อได้ที่ศูนย์หนังสือจุฬาฯ ซีเอ็ด(se-ed)และ kinokuniya
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 00:19


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2014, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha