30! มี 0 ลงท้ายกี่ตัว

[[SIL]]

พอดีผมเกิดความสงสัยเมื่อไปเห็นกระทู้มีคำถามแนวนี้ และ ในหนังสือของปรากฏว่าวิธีคิดไม่เหมือนกัน ที่สำคัญวิธีการทั้ง 2 เมื่อนำมาทำข้อนี้คำตอบยังผิดซะงั้น ที่ เลือก 30! เพราะ google สามารถคำนวนได้ ทั้ง 2 แบบมีวิธีคิดที่คล้ายกันก็คือ หาจำนวนที่คูณกันแล้วลงท้ายด้วย 0 โดยการนำมาหาร n! เพราะจะได้รู้ว่ามีทั้งสิ้นกี่ครั้งที่สามารถหารแล้วยังเป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุด
ตัวอย่างวิธีในหนังสือผม เค้าให้หาว่า 2007! มี 0 ลงท้ายกี่ตัว
เค้าจะนำ 2007 มาหา 5 แล้วยกกำลัง ขึ้นไปทีละ 1 ถ้ามีเศษให้เป็นทิ้ง ดังภาพ

เขาจะนำเอาแต่จำนวนเต็มมา + กันแล้วสุปว่ามี 0 ลงท้าย เท่านี้ตัว
30! จะมี 0 ลงท้าย 7 ตัวหากใช้วิธีดังกล่าว
30! จะมี 0 ลองท้าย 6 ตัวหากใช้วิธีที่เจอมาเมื่อกี๊คือนำ 5 หารไปเรื่อยๆ ถ้าหารไม่ลงตัวให้หยุด
แต่พอมาใช้ google ดูจะเห็นว่า 30! จริงๆ แล้ว 25 ตัวครับดังรูป

จริงๆแล้วมันยังไงกันละเนี่ยโอยมึน

[คusักคณิm]

$30/5=6 $

$6/5=1 $

$6+1=7$
ตอบ$7$

[[SIL]]

ก็วิธีคุณคนรักคณิต(น้องหรือเนี่ย)น่ะแหละที่ผมเอามา

[[SIL]]

ยากจังเลยครับ

[square1zoa]

ใช้ทบ.ของเลอจองต์ครับ ง่ายกว่าเยอะ

[คusักคณิm]

ใช้$/5$ไปเลยๆ เราว่าง่ายดี
ได้จากการหาว่ามีอะไรคูณกันต่อท้าย0

[Onasdi]

ที่ Google บอกว่า 1 เพราะว่าสองจำนวนนั้นใกล้เคียงกันครั้ง จริงๆแล้วไม่ใช่หนึ่งเป๊ะๆ
แล้วถ้าลองใส่ 30! จะได้ 2.6525286 × 10³² ซึ่งเป็นเพียงแค่ค่าประมาณครับ
ของจริงคือ 265252859812191058636308480000000 ครับ (จาก Mathematica)

[[SIL]]

เวรกรรมหลงไปคอดมากตั้งนานวู่ TT

[ลูกชิ้น]

จำนวน n! จะมี 0 พ่วงท้ายกี่ตัว
ก็จะขึ้นอยู่ว่ามี 10 เป็นตัวประกอบกี่ตัว
และเนื่องจาก 10 = (2)(5) และ n! ย่อมมีจำนวน 2 ที่เป็นตัวประกอบมากกว่า 5
ดังนั้นจะหาว่ามี 5 กี่ตัวที่เป็นตัวประกอบ
(ตัวประกอบกี่ตัวหมายถึง ยกกำลังอะไรมาเป็นตัวประกอบเช่น 5! = ($2^3$)(3)(5) มี 5 เป็นตัวประกอบตัวเดียว ดังนั้นพ่วงท้ายด้วย 0 ตัวเดียว )

ซึ่งการนำ 5 ไปหาร $5^2$ ไปหาร $5^3$ ไปหาร ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ นั่นก็คือการหาว่าจำนวน n! นั้นมี 5 เป็นตัวประกอบกี่ตัว

ทีนี้ก็ง่ายแล้วถ้าถามว่า 100! = $2^{r_2}3^{r_3}5^{r_5}...998^{r_{998}}$ จงหา $r_2 , r_3 และ r_5$

[เจ็ดเดือน]

วิธีลัดไม่สำคัญเท่าวิธีที่ได้วิธีลัดมา

2007! มี 0 ลงท้ายกี่ตัว

0 ลงท้ายหนึ่งตัว แปลว่า มี 10 เป็น factor ซึ่งแปลว่ามี 5 และ 2 เป็น factor

ถ้าถามใหม่ว่า 2007! นำ 5 หารไปลงตัวได้กี่ครั้ง จะได้คำตอบว่า 2007! มี 0 ลงท้ายกี่ตัว

(หมายเหตุ เมื่อปีที่แล้ว เคยเขียนเกี่ยวกับเรื่องการหาเศษจากการหารไว้ที่
โจทย์การหาเศษจากการหาร ไม่เกี่ยวกับเรื่องนี้โดยตรง แต่เกี่ยวกับการประยุกต์ใช้หลักคณิตศาสตร์ง่าย
ไปแก้ปัญหาพื้น ๆ แต่น่าสนใจ)

วิธีคิด คือ 2007! = 1 x 2 x 3 x ... x 2007
ถ้านำมาดูเฉพาะตัวที่ 5 หารลงตัว ได้แก่ 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ..., 2005
ซึ่งมี 401 ตัว เพราะ 2007/5 = 401.xx
ดังนั้น แปลว่า สามารถนำ 5 จำนวน 401 ตัวไปหารได้
ถ้าดูผลหาร จะได้ = 1, 2, 3, ..., 401
ในผลหารนี้ นำมาหารด้วย 5 อีก
โดยนำมาดูเฉพาะตัวที่ 5 หารลงตัว ได้แก่ 5, 10, 15, ..., 400
ซึ่งมี 80 ตัว เพราะ 401/5 = 80.xx
ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จะได้

... 5 ... 10 ... 25 ... 50 ... 1875 ... 2000 ... 2005
... 1 .... 2 .... 5 ... 10 .... 375 .... 400 .... 401
................. 1 .... 2 ..... 75 ..... 80
................................ 15 ..... 16
................................. 3

ดังนั้น 2007! มี 5 เป็น factor จำนวน = 401 + 80 + 16 + 3 = 500 ตัว
วิธีลัดก็คือ การนำ 5 ไปหารแล้วปัดเศษทิ้งไปเรื่อย ๆ แล้วนำผลหารที่เป็นจำนวนเต็มมาบวกกัน
(ตามที่มีคนเขียนไว้แล้วข้างบน)

ถ้าใครอ่านวิธีนี้เข้าใจ ลองประยุกต์วิธีการเพื่อหาคำตอบดูว่า
2007! หารด้วย 12 ลงตัวได้กี่ครั้ง

เฉลยคือ 999

ถ้าใครตอบ 181, 665, 1000, หรือ 1998
ยังถือว่าเรียนคณิตศาสตร์แบบท่องจำวิธีการ ท่องจำวิธีลัด
แต่ยังเข้าไม่ถึงแก่น จึงประยุกต์ไม่เป็น

ถ้าฝึกฝนวิชากระบี่ถึงขั้นสุดยอด กิ่งไม้ก็ใช้แทนกระบี่ได้
ไม่มีกิ่งไม้ ไม่มีกระบี่ ก็สามารถฟันแทงคนอื่นได้

เหมือนโจทย์ข้อนี้ ใช้หลักพื้นฐานแค่ + - x / กับรู้ว่า ! คืออะไรก็พอ
แต่สามารถประยุกต์ใช้ได้ โดยไม่ต้องเรียนถึงขั้นมหาวิทยาลัย

ถ้าใครคิดออก ต้องลองไปทำโจทย์การหาเศษจากการหาร
ซึ่งใช้หลักคณิตศาสตร์พื้นฐานแค่มัธยมก็คิดได้
แต่คนเรียนสูง ๆ ที่เข้าไม่ถึงแก่น ก็อาจคิดไม่ออก

การศึกษาไทยสอนให้คนจดจำข้อความ จดจำวิธีการ จดจำวิธีลัด
มากกว่าสอนให้คนเข้าถึงแก่นปรัญญาของเนื้อหา
แล้วฝึกประยุกต์ใช้ คิดสร้างสรรค์ คิดนอกกรอบ (แต่ไม่นอกรีต)

ถ้าเราเอาแต่จดจำข้อความ จดจำวิธีการ จดจำวิธีลัด
แล้วเราจะสร้างความรู้ใหม่ได้อย่างไรกัน

อย่าเอาแต่เรียนเพื่อแก้โจทย์ที่คนอื่นตั้งมาให้เราคิด
โจทย์แบบนั้น มีคนคิดออกแล้ว เขาถึงเอามาให้เราลองคิด
เราควรฝึกคิดโจทย์ขึ้นมาแก้เองบ้าง
ถ้าใครโจทย์ใหม่ น่าสนใจ ก็ลองเอามาฝากกันบ้าง

โดย เจ็ดดาว เจ็ดเดือน

[mathematiiez]

ขอขอบคุณทุกความรู้ แม้มันจะมึนๆก็เถอะ ขอบคุณมากค่ะ ^^*

[[SIL]]

กระทู้นี้เกิดจากความเข้าใจผิดของผมเองครับ ที่ไม่รอบครอบพอให้นึกถึงที่มา

[เจ็ดเดือน]

คำถามว่า 2007! หาร 12 ลงตัวได้กี่ครั้ง
ให้ไว้สำหรับให้คนทั่วไปที่ไม่ได้เรียนเอกคณิตศาสตร์คิด

สำหรับคนเรียนเอกคณิตศาสตร์ (ซึ่งรู้ทฤษฎีเศษเหลือ)
ฝากคิดว่า 2007! เมื่อตัดเลข 0 ที่ลงท้ายออกหมดแล้ว
จะเหลือเลขลงท้ายเป็นอะไร ตอบครับ
(เลียนแบบปัญญา ในแฟนพันธ์แท้/อัจฉริยะข้ามคืน)

[[SIL]]

ข้อแรก ต้องแยกว่า 2007! มี 2 กี่ตัว มี 3 กี่ตัว แล้วเอามาผสมกัน โดยใช้ 2 อยู่ 2 ตัว ใช้ 3 อยู่ 1 ตัว จะได้ 12 1 ตัว [อันนี้ผมคิดพอดีเคยติดเกมเลยพูดออกมาแนวนี้]

ข้อ 2 นี่ต้องการแนวคิดมากมาย ถ้าผมคิดคงได้แค่ใช้ $(mod10^n)$ เอิ๊กๆ

[เจ็ดเดือน]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

ข้อ 2 นี่ต้องการแนวคิดมากมาย ถ้าผมคิดคงได้แค่ใช้ $(mod10^n)$ เอิ๊กๆ

เฉลย จากคำถามที่ว่า
2007! ถ้าตัด 0 ที่ลงท้ายออกหมดแล้ว เลยท้ายคือเลขอะไร
ซึ่งมีความหมายเหมือนคำถามนี้
ถ้า $n$ คือ จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่
$2007! \equiv 0 \pmod {10^n}$
จงหาว่า $x$ มีค่าเท่าไร ซึ่ง
$2007! \equiv x \pmod {10^{n+1}}$
และ $0 \leqslant x < 10$

วิธีทำคือ
ขั้นที่ 1 หา $n$ มาก่อน ได้คำตอบ $= 401 + 80 + 16 + 3 = 500$
เพราะ
$2007/5 = 401$ เศษ $2$
$401/5 = 80$ เศษ $1$
$80/5 = 16$ เศษ $0$
$16/5 = 3$ เศษ $1$

ขั้นที่ 2 หาค่า $x$ ซึ่ง
$2007! \equiv x \pmod {10^{501}}$
และ $0 \leqslant x < 10$

คลิกดูคำตอบ

$2007!/10^{500} \equiv 2 \pmod 5$
(คงไม่ต้องบอกว่ามาได้อย่างไร
เพราะคุณ [SIL] บอกว่า "เดี๋ยวนี้ชอบใช้คอนกรูเอนซ์")

และ $2007!/10^{500}$ เป็นเลขคู่
(อันนี้ง่าย 2007! มี 2 เป็น factor มากกว่า 5
ดังนั้น ถ้าเอา 5 มาจับคู่กับ 2 ออกไปจน 5 หมดแล้ว
จะยังเหลือ 2 เป็น factor เหลืออยู่อีก)

ดังนั้น คำตอบคือ
$2007!/10^{500}$ ลงท้ายด้วย $2$

-------------------------------------
หมายเหตุ
$2007! \equiv (1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5)^{500} \times (2006 . 2007 . 401 . 16 . 1 . 2 . 3) \pmod 5$

คลิกดูแง่คิดความเห็น

จริง ๆ แล้ว ข้อนี้ใช้ความรู้คณิตศาสตร์ระดับประถม/มัธยมต้นก็ทำได้ (เสมือนคนไร้อาวุธ)
ไม่ต้องมีรู้เรื่องคอนกรูเอนซ์หรือเลอจองด์ก็ทำได้ (คนรู้คอนกรูเอนซ์ ก็เสมือนคนมีอาวุธ)

คนมีอาวุธแต่ไม่รู้วิธีใช้ จะมีประโยชน์อะไร
คนรู้วิธีใช้อาวุธ ถึงไม่มีอาวุธในมือ ก็เสมือนมีอาวุธใช้

คนที่เรียนสูง มีความรู้มากมาย เหมือนมีอาวุธ
แต่ถ้าเข้าไม่ถึงแก่นของความรู้ที่เรียน ก็เสมือนว่าใช้อาวุธที่มีอยู่ไม่เป็น

ถ้าเราเข้าใจหลักการของคอนกรูเอนซ์ ไม่ต้องใช้คอนกรูเอนซ์ให้เห็น ก็เหมือนใช้

(ไม่มีวัตถุประสงค์จะว่ากล่าวอะไรใครเฉพาะเจาะจง
เพียงแต่ต้องการบอกว่าการเรียนรู้ที่แท้จริงนั้น
คือการเรียนรู้ให้เข้าถึงแก่นของวิชา
ไม่ใช่แค่การเรียนรู้เนื้อหาแอดวานส์เพื่อจดจำสูตรหรือวิธีการ
แต่ไม่เข้าใจความหมายที่แท้จริง จึงนำไปประยุกต์ใช้ไม่ได้)

อีกเจ็ดปีจะกลับมาใหม่ ถ้าไม่ลืม และยังมี math center อยู่
จะขอลาไปเข้าถ้ำฝึกวิชาขั้นสูงสุด