หาจุดสูงสุด-ต่ำสุดสัมพัทธ์

[SOS_math]

ปกติเราจะหาจุดสูงสุด-ต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟํงก์ชัน f:R->R โดยการหาอนุพันธ์ของ f แล้วหาจุดวิกฤต (critical points) จากนั้นมาวิเคราะห์ต่อจุดดังกล่าวเป็นจุดสูงสุด-ต่ำสุดสัมพัทธ์

ปัญหาคือ ถ้า f:R->R หาอนุพันธ์ไม่ได้ทั้งหมดบน R จะทำอย่างไร เช่น
f(x)=|x| เมื่อ xฮR ทำอย่างไรจะได้ว่า จุดต่ำสุดสัมพัทธ์คือ (0,0)

[M@gpie]

คือไม่เข้าใจคำที่ว่า หาอนุพันธ์ไม่ได้ทั้งหมดบทจำนวนจริง ยังไม่เคยเห็นฟังก์ชันแบบนี้ แต่ลองดูคำอธิบายนี้ดู
ถ้าเรียนมาในม.ปลาย จุดวิกฤต จะมีเฉพาะจุดที่ทำให้ f'(c)=0 อย่างเดียวจิงๆ ไม่ใช่ ทั้งหมด

[SOS_math]

ขอโทษครับถ้าคำถามไม่ชัดเจน
ปัญหาคือ ถ้า f:R->R หาอนุพันธ์ไม่ได้ทั้งหมดบน R จะทำอย่างไร เช่น
f(x)=|x| เมื่อ xฮR ทำอย่างไรจะได้ว่า จุดต่ำสุดสัมพัทธ์คือ (0,0) เพราะว่าเราจะใช้วิธีเดิม ๆ ที่มีอยู่วิเคราะห์ไม่ได้

[gon]

ก็หาจากจุดวิกฤต ตามนิยามที่ M@gpie ให้ไว้ไงครับ.
โดยทั่วไปการหาค่าต่ำสุดสูงสุดสัมพัทธ์ บนช่วง [a, b] จะพิจารณาจาก
1. f(a), f(b)
2. f(c) เมื่อ c เป็นจุดวิกฤต ตามนิยามที่ว่าไว้ คือ f'(c) = 0 หรือ f'(c) หาค่าไม่ได้

ถ้าฟังก์ชันที่ต้องการหาอนุพันธ์ไม่ได้งหมด อย่างไรก็ดีก็ต้องหาอนุพันธ์ได้เป็นช่วง ๆ ซึ่งตรงรอยอาจจะหาอนุพันธ์ไม่ได้ อย่างไรก็ดีตรงรอยต่อก็จะเป็นขอบแบบ ข้อ 1.

ถ้ายังไม่เคลียร์ลองยกตัวอย่างอื่น ๆ ดีกว่าครับ.

[SOS_math]

ให้ f:[0,1]->R นิยามดังนี้ f(0)=0,
f(x)=(1/(2^n))x ถ้า xฮ[1/(2^{n+1}),1/(2^n)] เมื่อ n=0,1,...
จุดวิกฤตเต็มไปหมดเลย ต้องมาคิดเต็มไปหมด แบบนี้เป็นต้น

[gon]

ในกรณีเช่นนี้ลองวาดรูปดูแล้ว กราฟมันเป็นเส้นตรง แต่ไม่ต่อเนื่องกัน แต่ก็สามารถหาอนุพันธ์ได้เป็นช่วง ๆ ซึ่งในที่นี้ก็ไม่มีประโยชน์อะไร เพราะถือว่า ไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดสัมพัทธ์ มีแต่ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ คือ 1 เกิดเมื่อ x = 1 ส่วนค่าต่ำสุดสัมบูรณ์จะไม่มี ถ้าไม่กำหนดว่า f(0) = 0 ในกรณีนี้กำหนดมาให้ ซึ่งต่ำสุดจริง ๆ จึงมีค่าต่ำสุดสัมบูรณ์เป็น 0