Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > อสมการ
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 29 กันยายน 2004, 04:46
nooonuii nooonuii is online now
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 5,764
nooonuii is on a distinguished road
Post โจทย์อสมการ

ช่วงนี้บ้าอสมการอยู่ครับ

ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงซึ่ง a + b + c = 0 จงพิสูจน์ว่า

a3 + b3 + c3 + ab + bc + ca a2 + b2 + c2
__________________
ที่คิดว่าดีนั้น ดีแล้วแน่หรือ ?

29 กันยายน 2004 04:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 29 กันยายน 2004, 13:40
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,026
gon is on a distinguished road
Smile

ของชอบเหมือนกันครับ. ข้างบนยังไม่ได้ลองคิด เดี๋ยวเร็วไปไม่หนุก ช่วยต่อให้อีกข้อหนึ่งสำหรับคนที่อาจจะคิดข้อข้างบนออกแล้ว หรือ อยากทำข้อข้างล่าง

สำหรับจำนวนจริงบวก a, b, c, m, n จงพิสูจน์ว่า
a/(mb + nc) + b/(mc + na) + c/(ma + nb) 3/(m + n)
อืม. ถ้าจำไม่ผิดก็แบบนี้ล่ะครับ.

ทดสอบก่อน ถ้า m = n = 1 จะได้ว่า a/(b + c) + b/(c + a) + c/(a + b) 3/2 ใช่ ๆ อันนี้ของตาย โจทย์น่าจะถูกแล้ว
__________________
ฝึกทักษะ พัฒนาความคิด พิชิตคณิตศาสตร์

หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC (Elementary Mathematics International Contest) ครั้งที่ 1-8 (พ.ศ.2546-2553) หาซื้อได้ที่ศูนย์หนังสือจุฬาฯ ซีเอ็ด(se-ed)และ kinokuniya
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 30 กันยายน 2004, 02:58
nooonuii nooonuii is online now
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 5,764
nooonuii is on a distinguished road
Post

อูย...เห็นแล้วต้องทิ้งการบ้านมาทำโจทย์ข้อนี้ก่อนเลย แต่ทำได้ครึ่งเดียวเองอ่ะ เผอิญใช้ Chebychev's inequality น่ะครับ อีกครึ่งนึงขอติดไว้ก่อนนะครับ

พิสูจน์กรณี m n
โดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติว่า a b c
ดังนั้นจะได้ว่า 1 / (mb + nc) 1 / (mc + na) 1 / (ma + nb)
โดยอสมการของ Chebychev เราจะได้ว่า

a / (mb + nc) + b / (mc + na) + c / (ma + nb)
(1 / 3) (a + b + c) { 1 / (mb + nc) + 1 / (mc + na) + 1 / (ma + nb) }
= (1/3) (1 / m + n) { (mb + nc) + (mc + na) + (ma + nb) } { 1 / (mb + nc) + 1 / (mc + na) + 1 / (ma + nb) }
3 / ( m + n )

บรรทัดสุดท้ายใช้ A.M.-H.M. ครับ
__________________
ที่คิดว่าดีนั้น ดีแล้วแน่หรือ ?

30 กันยายน 2004 03:04 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 02 ตุลาคม 2004, 11:37
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,026
gon is on a distinguished road
Smile

ข้อแรกโจทย์มีปัญหานะครับ. เช่น (a, b, c) = (4, -2, -2) จะได้ว่า L.H.S = 36 แต่ R.H.S = 24 จึงไม่จริง


สำหรับข้อที่สอง : Hint ใช้ อสมการโคชีก่อนครับ.
__________________
ฝึกทักษะ พัฒนาความคิด พิชิตคณิตศาสตร์

หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC (Elementary Mathematics International Contest) ครั้งที่ 1-8 (พ.ศ.2546-2553) หาซื้อได้ที่ศูนย์หนังสือจุฬาฯ ซีเอ็ด(se-ed)และ kinokuniya
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 02 ตุลาคม 2004, 22:33
nooonuii nooonuii is online now
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 5,764
nooonuii is on a distinguished road
Post

อ่า...ข้อแรกผมไปมั่วอีท่าไหนล่ะเนี่ยถึงได้ออกมาแบบนั้น เดี๋ยวกลับไปเช็คดูใหม่ครับ
__________________
ที่คิดว่าดีนั้น ดีแล้วแน่หรือ ?
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 07 ตุลาคม 2004, 18:26
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,026
gon is on a distinguished road
Smile

ผมเฉลยที่ตั้งคาไว้ล่ะกัน.

โดยอสมการโคชี : [ a(mb + nc) + b(mc + na) + c(ma + nb) ] [ a/(mb + nc) + b/(mc + na) + c/(ma + nb) ] (a + b + c)2

แต่ [ a(mb + nc) + b(mc + na) + c(ma + nb) ] = (m + n)(ab + bc + ca)

\ L.H.S. (a + b + c)2 / (m + n)(ab + bc + ca) ... (*)

แต่ (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) (ab + bc + ca) + 2(ab + bc + ca) = 3(ab + bc + ca)

เมื่อแทนลงใน (*) ก็จะได้ตามที่ต้องการ

Note. ปัญหาข้อนี้เอาไปหลอกเด็กเล่น ๆ ได้ เช่น a/(19b + 29c) + b/(19c + 29a) + c/(19a + 29b) 1/16
__________________
ฝึกทักษะ พัฒนาความคิด พิชิตคณิตศาสตร์

หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC (Elementary Mathematics International Contest) ครั้งที่ 1-8 (พ.ศ.2546-2553) หาซื้อได้ที่ศูนย์หนังสือจุฬาฯ ซีเอ็ด(se-ed)และ kinokuniya

07 ตุลาคม 2004 18:33 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 08 ตุลาคม 2004, 03:24
nooonuii nooonuii is online now
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 5,764
nooonuii is on a distinguished road
Post

ยอดเยี่ยมจริงๆครับ ขออนุญาตเก็บไว้ในไฟล์อสมการผมหน่อยนะครับ เป็นอสมการที่สวยมากอันนึง ผมเห็นข้อสอบแข่งขันแนวนี้มาหลายข้อแล้วเพิ่งมาเจอแบบทั่วไปก็คราวนี้แหละครับ
__________________
ที่คิดว่าดีนั้น ดีแล้วแน่หรือ ?
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 08 ตุลาคม 2004, 03:34
nooonuii nooonuii is online now
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 5,764
nooonuii is on a distinguished road
Post

ขอแก้ตัวจากข้อแรกที่คำนวณผิดครับ เอาข้อใหม่มาฝากแล้วครับ

ให้ a,b,c [1,2] และ

A = ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ a,b,c
G = ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของ a,b,c
H = ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของ a,b,c

จงพิสูจน์ว่า H G A H2 G2 A2
__________________
ที่คิดว่าดีนั้น ดีแล้วแน่หรือ ?

08 ตุลาคม 2004 03:35 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 09 ตุลาคม 2004, 11:56
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,026
gon is on a distinguished road
Smile

เก็บตามใจชอบเลยครับ. ตอนนี้ไปติดเชื้อโรคที่ดีมาจากใครบางคน คือ พอแก้ปัญหานั้นเสร็จ จะหัดมองให้มันทั่วไปกว่าเดิมไปอย่างน้อย 1 ขั้นเสมอ.
__________________
ฝึกทักษะ พัฒนาความคิด พิชิตคณิตศาสตร์

หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC (Elementary Mathematics International Contest) ครั้งที่ 1-8 (พ.ศ.2546-2553) หาซื้อได้ที่ศูนย์หนังสือจุฬาฯ ซีเอ็ด(se-ed)และ kinokuniya
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 09 ตุลาคม 2004, 22:12
nooonuii nooonuii is online now
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 5,764
nooonuii is on a distinguished road
Post

เอามาฝากอีกข้อนึงครับ
ให้ x,y,z เป็นจำนวนจริงบวกโดยที่ xyz=1 จงพิสูจน์ว่า

1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) 3/2
__________________
ที่คิดว่าดีนั้น ดีแล้วแน่หรือ ?
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 11 ตุลาคม 2004, 18:05
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,026
gon is on a distinguished road
Smile

ขอลองเล่นข้อล่างก่อนแล้วกันครับ.
จะพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนจริงบวก x, y, z, m, n โดยที่ xzy = 1 แล้ว
1/(mx + ny) + 1(my + nz) + 1/(mz + nx) 3/(m + n)
สมมติให้ x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c จะได้ว่า
L.H.S. = 1/c(mb + nc) + 1/a(mc + nb) + 1/b(ma + nc)

โดยอสมการโคชี : [ c(mb + nc) + a(mc + nb) + b(ma + nc) ] (L.H.S.) (1 + 1 + 1)2 = 9
แต่ c(mb + nc) + a(mc + nb) + b(ma + nc) = (m + n)(ab + bc + ca)
ดังนั้น L.H.S 9/(m + n)(ab + bc + ca)

แต่โดยอสมการ A.M. - G.M. : ab + bc + ca 3(abc)2/3 = 3(1) = 3
ดังนั้น L.H.S : 9/3(m + n) = 3/(m + n)
__________________
ฝึกทักษะ พัฒนาความคิด พิชิตคณิตศาสตร์

หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC (Elementary Mathematics International Contest) ครั้งที่ 1-8 (พ.ศ.2546-2553) หาซื้อได้ที่ศูนย์หนังสือจุฬาฯ ซีเอ็ด(se-ed)และ kinokuniya

11 ตุลาคม 2004 18:07 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 11 ตุลาคม 2004, 18:09
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,026
gon is on a distinguished road
Smile

แต่งเพิ่มให้อีกข้อหนึ่ง :

จงพิสูจน์ว่าสำหรับทุกจำนวนจริงบวก a, b, c ที่ abc = 1
a3b3/(a7 + b7 + a3b3) + b3c3/(b7 + c7 + b3c3) + c3a3/(c7 + a7 + c3a3) 1
__________________
ฝึกทักษะ พัฒนาความคิด พิชิตคณิตศาสตร์

หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC (Elementary Mathematics International Contest) ครั้งที่ 1-8 (พ.ศ.2546-2553) หาซื้อได้ที่ศูนย์หนังสือจุฬาฯ ซีเอ็ด(se-ed)และ kinokuniya

11 ตุลาคม 2004 18:10 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #13  
Old 12 ตุลาคม 2004, 11:27
nooonuii nooonuii is online now
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 5,764
nooonuii is on a distinguished road
Post

สุดยอดจริงๆครับ เกทับของผมไปอีกชั้นนึงเลย ข้อใหม่เห็นแล้วอยากคิดมากๆเลย แต่รอไว้สอบกลางภาคเสร็จก่อนนะครับ ช่วงนี้ติดสอบอยู่ครับ
__________________
ที่คิดว่าดีนั้น ดีแล้วแน่หรือ ?
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #14  
Old 12 ตุลาคม 2004, 21:07
gools's Avatar
gools gools ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 26 เมษายน 2004
ข้อความ: 389
gools is on a distinguished road
Post

ผมลองแทนค่าเข้าไป(เนื่องจากทำไม่ได้สักกะที เพราะความรู้มีน้อย )
โดยให้ x=1/6 y=1/6 z=36
จะได้ว่า 1/(1/6+1/6)+1/(1/6+36)+1/(1/6+36) = 3+6/217+6/217
3/2
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #15  
Old 13 ตุลาคม 2004, 06:34
nooonuii nooonuii is online now
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 5,764
nooonuii is on a distinguished road
Post

อ่า...ขอบคุณน้อง Gools มากๆเลยครับที่หาตัวอย่างค้านมาแสดงให้ดู ตอนนี้พี่ก็เลยได้ข้อสรุปแล้วว่าอสมการ

1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) 3/2 นั้นไม่จริง และ

1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) 3/2 ก็ไม่จริงเช่นกัน เพราะ ถ้าให้ x=3, y=1, z=1/3 เราจะได้แค่ 13/10 เท่านั้น

สรุปว่าอสมการทั้งสองอันนี้ไม่จริงบนเงื่อนไข xyz = 1 ครับ

ตอนนี้ที่สงสัยที่สุดคือทำไมไม่จริงครับ
__________________
ที่คิดว่าดีนั้น ดีแล้วแน่หรือ ?
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 23:42


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2014, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha