ข้อสอบสมาคม 2547 ม.ปลาย

[gon]

น้อง Jea_bau ช่วยดูทีครับว่าที่พี่พิมพ์ใหม่ มันถูกหรือเปล่า

ข้อ 32 :
กำหนดให้ \(a\) เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ทำให้รากทุกตัวของสมการ
\(z^3 - az^2 - (2 - 3i)z - i = 0\)
มีขนาดเท่ากับ \(1\) จงหา \(| a |\)

[[T]ira[W]]

ให้ u, v, w เป็นรากสมการโดยที่ |u| = |v| = |w| = 1
เนื่องจาก u + v + w = a
ดังนั้น a = u + v + w
= \( \frac{|u|²}{u} + \frac{|v|²}{v} + \frac{|w|²}{w}
= \frac{1}{u} + \frac{1}{v} + \frac{1}{w}
= \frac{uv + vw + wu}{uvw}
= \frac{-2 + 3i}{i}\)
= 3 + 2i
a = 3 - 2i
|a| = ึ13

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 28 ตอนที่ 3 ครับ
รูปที่ผมแนบมา
ถ้าแบ่งออกด้วย เส้นตรง เพื่อให้สมมาตรกัน ให้ พ.ท.ของส่วนต่างๆดังรูป
A₁ = (1)+(2)+(5)+(6)
A₂ = (3)+(4)
A₃ = (9)
A₄ = (8)+(7)
แต่ว่าผมแบ่งให้สมมาตรกัน ดังนั้น (1)=(3) , ((6)=(4) ,(7)=(9),(2)=(8)
ลบกัน ก็จะเหลือแต่ (5) สี่เหลี่ยมตรงกลาง (ส่วนที่แรเงาสีเหลือง)
และเนื่องจากผมแบ่งให้สมมาตรกัน ดังนั้น
ความกว้างคือ 25ท2 = 50
ความยาวคือ 47ท2 = 94
ดังนั้น พ.ท. ของ A₁-A₂+A₃-A₄ = 50ท94 = 4700 ตร.หน่วย
สังเกตว่ารูปนี้ ถ้าจุก ศก. อยู่ที่ พิกัด (x,y) จะได้ A₁-A₂+A₃-A₄ = 4xy
Note ต้องมี พ.ท. อยู่ในจตุภาคที่ 2 3 และ 4 ด้วยนะครับ
ปล. Wingeom วาดวงรีอย่างไรครับ ..

[warut]

ในที่สุด...ความลับสวรรค์ก็มีอันต้องถูกเปิดเผยโดยคุณ R-Tummykung de Lamar
ของเรานี่เอง ขอบคุณครับ

[gon]

ผมไม่มีข้อสอบฉบับจริงอยู่ในมือ จึงไม่รู้ว่าข้อสอบปีนี้ มีโอกาสโจทย์ผิดมากน้อยเพียงใด ตอนนี้เท่าที่ดูข้อนี้ ผมคิดว่าข้อมูลไม่เพียงพอ อยากให้ช่วยลองคิดกันดูหน่อยครับ. สำหรับใครที่มีข้อสอบฉบับจริง อยู่ในมือ ช่วยลองตรวจสอบดูด้วยว่า โจทย์ที่ผมเขียนถูกต้องหรือไม่ จะดียิ่ง.

ข้อที่ 26 ตอนที่ 3
" ให้ A, B, C เป็นเซต ซึ่ง n(A - B) = 42, n(A - C) = 7, n(C - A) = 18, n(C - B) = 35 ดังนั้น n( (B ว C) - A) มีค่าเท่ากับเท่าใด "

[R-Tummykung de Lamar]

เอ ... ผมว่าข้อมูลพอนะครับ ได้ 18 ครับ
จากรูปที่แนบมานะครับ ให้แต่ละส่วน คือ [1],[2],[3],[4],[5],[6] และ [7] ดังรูป
ก็ จากข้อมูลที่ใหมา ตั้งเป็นระบบสมการได้ดังนี้
[1]+[4]=42...(1)
[1]+[2]=7 ...(2)
[6]+[7]=18 ...(3)
[4]+[7]=35 ...(4)
แล้วก็ ที่โจทย์ต้องการคือ [6] ครับ

จาก (1) จะได้ [1]=42-[4] ...(5)
เอา (5) ไปแทนใน (2) จะได้ 42-[4]+[2]=7
คือ [4] = [2]+35 ...(6)
เอา (6) ไปแทนใน (4) จะได้ [2]+35+[7] =35
คือ [2]+[7] =0
แต่นี่คือ จำนวนของสมาชิกในเซต ดังนั้น [2] = 0 และ [7] = 0
เอาไปแทนใน (3) จะได้ [6] = 18 ครับ

[gon]

โอ้. น้อง Tummy เยี่ยมจริง ๆ ครับ. พี่ก็ทำแบบนี้ล่ะ แต่นั่งมองดูแล้วเห็นว่าตัวแปรมันมีข้อมูลไม่ครบ เลยไม่ได้เล่นต่อถึงขั้นสรุปว่ามีบางช่องมีสมาชิกเป็นศูนย์ ขอบคุณมาก ๆ

ผมมีปัญหาอีกข้อหนึ่ง ใครสนใจช่วยลองคิดดูหน่อย ผมยังเหลือข้อนี้ล่ะที่ยังคิดไม่ออก ใครมีแนวคิดเด็ด ๆ บ้างช่วยที

ข้อ 33 ตอนที่ 2
สำหรับแต่ละ k = 1, 2, 3, ... , 2547 ให้ a_k ฮ {-1, 0, 1}
จงหาค่าน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ \( \sum_{i=1}^{2546}(\sum_{j=i+1}^{2547}a_ia_j) \)

[gon]

ไหน ๆ ก็ไหน ๆ แล้ว ผมอยากถามความเห็นชาว Mathcenter ต่อเลยครับ. คิดว่า 2 ข้อต่อไปนี้โจทย์บกพร่องหรือไม่. ?

ข้อที่ 8 ตอนที่ 1
ให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่งกำหนดโดย f(z) = |a| + |b| เมื่อ z = a + bi เป็นจำนวนเชิงซ้อน ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. f(z + z) = f(z) + f(z)
ข. f(zz) = f(z)f(z)
ค. f(1/z) = f(z)/(zทz)
ง. [ f(z) ]² = f(z²)

เท่าที่ผมลองคิดดู ข้อ 2 ตอนที่ 1 ตัวเลือกที่ใกล้เคียงที่สุด คือ (-2, 0) แต่ผมคิดว่าน่าจะเป็น [-2, 0) มากกว่า ข้อที่ 8 ตอนที่ 1 ตัวเลือกที่ผมคิดว่าดีที่สุด คือ ค. และ น่าจะเป็น f(1/z) = f(z)/(zทz)

[gon]

อืม...ข้อ 33 ตอนที่ 2 ผมพอจะมีวิธีการจัดรูปแล้วให้ได้ผลบวกต่ำที่สุดแล้ว น่าจะเป็น (a₁,a₂,...,a₁₂₇₃,a₁₂₇₄, a₁₂₇₅, a₁₂₇₆,...,a₂₅₄₇) = (-1,-1,...,-1,0,1,1,...,1) และผลบวกต่ำที่สุดน่าจะเป็น -1273 นะ.

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ gon:
ข้อ 33 ตอนที่ 2
สำหรับแต่ละ k = 1, 2, 3, ... , 2547 ให้ a_k ฮ {-1, 0, 1}
จงหาค่าน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ \( \sum_{i=1}^{2546}(\sum_{j=i+1}^{2547}a_ia_j) \)

วิธีทำของผมมีดังนี้ครับ (คงไม่ใช่วิธีที่ดีที่สุดอีกตามเคย)

ถ้าลองวาด diagram ของ array \(\{a_ia_j\}_{i,j=1}^{2547}\) จะพบว่า
\[\sum_{i=1}^{2547}\sum_{j=1}^{2547}a_ia_j=
2\sum_{i=1}^{2546}\sum_{j=i+1}^{2547}a_ia_j+\sum_{i=1}^{2547}a_i^2\]
แต่
\[\sum_{i=1}^{2547}\sum_{j=1}^{2547}a_ia_j=
\left(\sum_{i=1}^{2547}a_i\right)\left(\sum_{j=1}^{2547}a_j\right)=
\left(\sum_{i=1}^{2547}a_i\right)^2\]
ดังนั้น
\[2\sum_{i=1}^{2546}\sum_{j=i+1}^{2547}a_ia_j=
\left(\sum_{i=1}^{2547}a_i\right)^2-\sum_{i=1}^{2547}a_i^2\]
ค่าต่ำสุดของ \(\left(\sum_{i=1}^{2547}a_i\right)^2\) คือ 0 ส่วนค่าสูงสุดของ \(\sum_{i=1}^{2547}a_i^2\) คือ 2547
ดังนั้น \(\sum_{i=1}^{2546}\sum_{j=i+1}^{2547}a_i a_j\) จึงไม่อาจมีค่าต่ำกว่า -1273.5 ได้
แต่เนื่องจากค่าผลบวกนั้นต้องเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นมันจึงไม่อาจมีค่าต่ำกว่า -1273 ได้
(โชคดีที่) ค่านี้เกิดขึ้นได้จริงเมื่อ ใน a₁, a₂, ..., a₂₅₄₇ มี 0 อยู่หนึ่งตัว
และที่เหลือเป็น 1 กับ -1 อย่างละเท่าๆกัน

[gon]

ขอบคุณ คุณ warut สำหรับแนวคิดข้อ 33 ตอนที่ 2 นะครับ. ทำให้ผมต่อจิ๊กซอในการให้เหตุผลในข้อนี้ได้สมบูรณ์แล้ว ผมคิดว่าไม่เป็นการโชคดีครับ. ว่ามีรูปแบบนั้น แต่รูปแบบดังกล่าวมีอยู่เสมอ และมีได้หลายรูปแบบ ผมคิดแบบนี้ครับ.

เนื่องจาก a_k ฮ {-1,0,1} ซึ่งถ้าจับสมาชิกในเซตมาคูณกันเองก็จะได้เป็น -1,0,1 เช่นกัน ดังนั้นเพื่อให้ได้ผลบวกที่มีค่าต่ำที่สุด เราจึงต้องทำให้เกิดผลคูณที่มีค่าเป็น -1 จำนวนมากที่สุดเท่าที่เป็นไปได้

พิจารณากรณีที่มีสมาชิก n ตัว โดยที่ n เป็นจำนวนคู่ เราก็จะแบ่งสมาชิกออกเป็น 2 พวก คือ -1 กับ 1 อย่างละ n/2 ตัว

\[ \bmatrix{-1 & -1 & -1 & \cdots &-1\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1} \]

จะเห็นได้ว่าในแถวที่ 1 เมื่อจับคู่คูณกันเองจะได้ผลลัพธ์เป็น \( {\frac{n}{2} \choose 2} \, \) และ แถวที่สอง จับคู่คูณกันเองจะได้ผลลัพธ์เป็น \( {\frac{n}{2} \choose 2} \, \) ส่วนเมื่อคูณในแนวทแยงก็จะได้ \( -(\frac{n}{2})(\frac{n}{2}) \)

นั่นคือ เมื่อรวมกันทั้งหมดก็จะได้ \[ 2{\frac{n}{2} \choose 2} - (\frac{n}{2})(\frac{n}{2}) = 2(\frac{n}{2})(\frac{n}{2} - 1)(\frac{1}{2}) - -(\frac{n}{2})(\frac{n}{2}) = (\frac{n}{2})(\frac{n}{2}-1-\frac{n}{2}) = -\frac{n}{2} \]

ทีนี้เมื่อ n เป็นจำนวนคี่ เราก็ตั้งแบบเดิม แต่เราจะมีตัวเลือกว่าจะเติมตัวที่ไม่มีคู่นี้เป็นอะไรดี ซึ่งเราก็จะพบว่าไม่ว่าจะเติมจำนวนอะไร ก็จะไม่กระเทือนคือได้ ศูนย์เสมอ เพราะเดิมเรามี -1 กับ 1 อยู่เป็นจำนวนเท่า ๆ กัน

ดังนั้น ในข้อนี้นอกไปจากคำตอบแบบแรก คือมี -1 กับ 1 อยู่อย่างละ 1273 จำนวน และ 0 อีกจำนวน ยังสามารถเป็น (-1,-1,...,-1,1,1,...,1) โดยมี -1 อยู่ 1274 จำนวน และ 1 อยู่ 1273 จำนวน หรือ มี -1 อยู่ 1273 จำนวน และ 1 อยู่ 1274 จำนวน

[R-Tummykung de Lamar]

ช่วยข้อนี้หน่อยครับ (สมาคม ม.ปลาย)
ถ้า \(\displaystyle{\frac{sin\ x+sin\ y+sin\ z}{sin\ (x+y+z)}=\frac{cos\ x+cos\ y+cos\ z}{cos\ (x+y+z)}\ =\ 2\qquad} \) แล้ว
จงหาค่าของ \( \displaystyle{sin\ x\ sin\ y+sin\ y\ sin\ z+sin\ z\ sin\ x} \)

[gon]

สมาคม ฯ ปีนี้ข้อเติมคำ ไม่ธรรมดาครับ. เกือบทุกข้อทำเอาผมสะอึกอย่างน้อย 2 ที ข้อตรีโกณชุดนี้ก็สนุกครับ. ทำเสร็จแล้วได้ความรู้ใหม่
ให้ \(A = \sin x \cdot \sin y + \sin y \cdot \sin z + \sin z \cdot \sin x \)
และ \(B = \cos x \cdot \cos y + \cos y \cdot \cos z + \cos z \cdot \cos x \)
ขั้นที่ 1 สมมติให้ \( \displaystyle { \frac{\sin x + \sin y + \sin z}{\sin(x + y + z)} = \frac{\cos x + \cos y + \cos z}{\cos(x + y + z)} = m } \)
\(\therefore \quad (\sin x + \sin y + \sin z) = m \cdot \sin(x+y+z) \quad \cdots (1)\)
\(\therefore \quad (\cos x + \cos y + \cos z) = m \cdot \cos(x+y+z) \quad \cdots (2)\)
\( (1)^2 + (2)^2 : 3 + 2A + 2B = m^2 \Rightarrow B = \frac{m^2 - 3 - 2A}{2} \quad \cdots (3) \)

ขั้นที่ 2 :
\[ \sin x \cdot (1) + \cos x \cdot (2) + \sin y \cdot (1) + \cos y \cdot (2) + \sin z \cdot (1) + \cos z \cdot (2) \] ก็จะได้ว่า
\[ 3 + 2A + 2B = m[\cos(x+y) + \cos(y+z) + \cos(z+x) ] = m[B - A]\]
แต่จาก (3) จึงได้ว่า
\[ m^2 = m[B - A] \Rightarrow m = B - A \Rightarrow B = m + A \quad \cdots (4) \]
\[ (3) = (4) : \frac{m^2 - 3 - 2A}{2} = m + A \Rightarrow m^2 - 3 - 2A = 2m + 2A \]
\[\therefore \quad 4A = m^2 - 2m - 3 \Rightarrow A = \frac{(m-3)(m+1)}{4}\]
ในข้อนี้ \(\, m = 2 : \Rightarrow A = \frac{(2-3)(2+1)}{4} = -\frac{3}{4}\)

หมายเหตุ : \( B = \frac{(m+3)(m-1)}{4} \,\) และใน ขั้นที่ 2 เราจะได้ผลลัพธ์ที่น่าสนใจในกรณีทั่วไป คือ ถ้า
\[ \frac{\sin A_1 + \sin A_2 + \cdots + \sin A_n}{\sin(A_1 + A_2 + \cdots + A_n)} = \frac{\cos A_1 + \cos A_2 + \cdots + \cos A_n}{\cos(A_1 + A_2 + \cdots + A_n)} \]
แล้วแต่ละเศษส่วนจะมีค่าเท่ากับ
\[ \cos(A_1+A_2+ \cdots + A_{n-1}) + \cos(A_1 + A_2 + \cdots + A_{n-2} + A_n) + \cdots + \cos(A_2 + A_3 + \cdots + A_{n-1}) \]
ด้วย เช่น ถ้า \( \displaystyle { \frac{\sin x + \sin y + \sin z + \sin w}{\sin(x + y + z + w)} = \frac{\cos x + \cos y + \cos z + \sin w}{\cos(x + y + z + w)}} \)
แล้วแต่ละเศษส่วนจะมีค่าเท่ากับ
\( \cos(x+y+z) + \cos(x+y+w) + \cos(x+z+w) + \cos(y+z+w) \)

[warut]

กว่าจะตามความคิดคุณ gon ตรงขั้นที่ 2 ทัน แทบแย่แน่ะ เพิ่งมารู้ว่าต้องใช้เอกลักษณ์แบบนี้
\[\sin x\sin(x+y+z)+\cos x\cos(x+y+z)\]
\[=\cos((x+y+z)-x)=\cos(y+z)=\cos y\cos z-\sin y\sin z\]

[warut]

โจทย์ข้อ 22 น่าจะมีปัญหาอย่างที่คุณ gon บอกจริงๆด้วยล่ะครับ

ผมคิดว่าระดับม.ปลายนี่เรียนแค่ real matrix ยังไม่คลุมไปถึง complex matrix ใช่เปล่าครับ
ปัญหาก็คือ matrix A ขนาด 3 x 3 ที่สอดคล้องกับสมการ A² = A - I ไม่ใช่ real matrix
ทุกอันเลยครับ ดังนั้นถ้าจะทำข้อนี้ก็ต้องทำแบบ complex matrix เท่านั้นน่ะครับ
ซึ่งผมก็ไม่คิดว่าผู้ออกข้อสอบต้องการให้เป็นเช่นนั้น อย่างไรก็ตามถ้าทำแบบ complex
เราจะได้ว่าข้อความ (1) ในโจทย์ผิด และข้อความ (2) ถูกครับ

พิสูจน์ว่า A ไม่ใช่ real matrix
จะเห็นว่า A เป็น invertible matrix และ A^-1 = I - A เพราะ A(I - A) = A - A² = I
จาก A² = A - I = -A^-1 ดังนั้น A³ = -I
นั่นคือ (det A)³ = (-1)³ = -1 เพราะ A มีมิติ 3 x 3
แสดงว่า det A = -1, e^pi/3, e^-pi/3
ถ้า A เป็น real matrix แล้ว det A ต้องเท่ากับ -1
เนื่องจาก (A + I)² = A² + 2A + I = 3A
ดังนั้น (det(A + I))² = 3³det A
ถ้า det A = -1 เราจะได้ det(A + I) = ฑ3ึ3i
แสดงว่า A + I ไม่ใช่ real matrix ดังนั้น A จึงไม่ใช่ real matrix ด้วย

พิสูจน์ว่าข้อความ (1) ในโจทย์ผิด
จาก A² = A - I เอา A^-1 คูณตลอดจะได้ A = I - A^-1 หรือ A + A^-1 = I
แต่เรารู้ว่า A^-1 = (adj A)/(det A)
ดังนั้น A + (adj A)/(det A) = I
ถ้า det A = -1 เราจะได้ A - adj A = I
แต่ถ้า det A น -1 นั่นคือ det A = e^ฑpi/3 เราจะได้ว่า\[A+\frac{adj A}{\det A}=A-adj A+\left(1+\frac{1}{\det A}\right)adj A=I\]
แสดงว่า
\[A-adj A=I\Leftrightarrow\left(1+\frac{1}{\det A}\right)adj A=0\Leftrightarrow adj A=0\Leftrightarrow(\det A)A^{-1}=0\]
แต่ det A น 0 และ A^-1 น 0 ดังนั้นในกรณีที่ det A = e^ฑpi/3 เราจะได้ว่า A - adj A น I
สรุปได้ว่า A - adj A ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ I นั่นคือข้อความ (1) ในโจทย์ผิด

พิสูจน์ว่าข้อความ (2) ในโจทย์ถูก
เนื่องจาก (det(A + I))² = 3³det A น 0 เพราะ A invertible
ดังนั้น det(A + I) น 0 นั่นคือข้อความ (2) ในโจทย์ถูก

ใครพอมีเวลาก็ช่วยเช็คการพิสูจน์ของผมให้หน่อยนะครับ เพราะมันยาวมากมีโอกาสผิดพลาดสูง
ขอบคุณล่วงหน้าครับ