Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์ทั่วไป > ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 24 มีนาคม 2005, 12:14
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 5,767
nooonuii is on a distinguished road
Post โจทย์เศษส่วนต่อเนื่อง

ยังไม่แน่ใจในระดับความยากครับ ตอนนี้มีแต่คำตอบ

จงหาค่าของ
\[ \Huge{ 1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{4+\frac{4}{5+\dots}}}} } \]
__________________
ที่คิดว่าดีนั้น ดีแล้วแน่หรือ ?
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 24 มีนาคม 2005, 23:42
gon's Avatar
gon gon is online now
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,034
gon is on a distinguished road
Cool

ขั้นที่ 1 จะแสดงว่า \[\frac{1}{1+}\frac{2}{2+}\frac{3}{3+} \cdots = \frac{1}{1+\frac{2}{2+\frac{3}{3+ \cdots}}} = \frac{1}{e - 1} \]
ถ้า pn เป็นคอนเวอร์เจนต์ที่ n ของเศษส่วนดังกล่าวจะได้ว่า pn = npn - 1 + npn - 2

\[\therefore \quad p_n - (n+1)p_{n-1} = -(p_{n-1} - np_{n-2}) \quad \cdots (*)\]
แทน n = 3, 4, 5, ... , n ลงในสมการ (*) จากนั้นนำสมการมาคูณกันทั้งหมดจะได้ว่า
\[p_n - (n+1)p_{n-1} = (-1)^{n-2}(p_2 - 3p_1) \]

พิจารณา 2 คอนเวอร์เจนต์แรก \(\frac{p_1}{q_1} = \frac{1}{1} , \frac{p_2}{q_2} = \frac{1}{1+\frac{2}{2}} = \frac{2}{4} \)

แทน p1 = 1, p2 = 2 ลงในสมการ (*) จะได้ว่า
\[p_n - (n+1)p_{n-1} = (-1)^{n-1} \quad \cdots (1)\]
ในทำนองเดียวกัน เนื่องจากคอนเวอร์เจนต์ที่ n ของ q หรือ qn มีสมการ recurrence แบบเดียวกับ p ก็จะได้\[q_n - (n+1)q_{n-1} = (-1)^{n-2}(q_2 - 3q_1) \]
เมื่อแทน q1 = 1, q2 = 4 ก็จะได้ว่า
\[q_n - (n+1)q_{n-1} = (-1)^{n-2} \quad \cdots (2)\]
นำ (n + 1)! หารสมการ (1) จะได้ว่า
\[\frac{p_n}{(n+1)!} - \frac{p_{n-1}}{n!} = \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!} \quad \cdots (3)\]
แทน n = 2, 3, ... , n ลงในสมการ (3) และ p1 = 1 จากนั้นนำสมการทั้งหมดมาบวกกัน ก็จะได้ว่า
\[\frac{p_n}{(n+1)!} = \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} - \frac{1}{4!} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!} = 1 - \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} - \frac{1}{4!} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!} \]
ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า
\[ \frac{q_n}{(n+1)!} = 1 - \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^{n-2}}{(n+1)!}\]
\[\therefore \lim_{n \to \infty }(\frac{p_n}{q_n}) = \frac{1 - \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} - \frac{1}{4!} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!}}{1 - \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^{n-2}}{(n+1)!}} = \frac{e^{-1}}{1-(1-1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!})} = \frac{e^{-1}}{1-e^{-1}} = \frac{1}{e-1} \]

ขั้นที่ 2 หาค่าของ \[1+\frac{1}{2+} \frac{2}{3+} \frac{3}{4+} \cdots \]
\[\because \frac{1}{1+}\frac{2}{2+}\frac{3}{3+}\frac{4}{4+}\frac{5}{5+}\frac{6}{6+} \cdots = \frac{1}{1+}\frac{1}{1+}\frac{3}{2 \cdot 3+}\frac{2 \cdot 4}{4+}\frac{5}{5+}\frac{6}{6+} \cdots \]
\[ = \frac{1}{1+}\frac{1}{1+}\frac{1}{2+}\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} \frac{3 \cdot 5}{5+} \frac{6}{6+} \cdots \]
\[ = \frac{1}{1+}\frac{1}{1+}\frac{1}{2+}\frac{2}{3+} \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5}\frac{4 \cdot 6}{6+}\cdots \]
\[ = \frac{1}{1+}\frac{1}{1+}\frac{1}{2+}\frac{2}{3+}\frac{3}{4+}\frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} \cdots \]
\[\therefore \frac{1}{e-1} = \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{2+\frac{3}{3+ \cdots }}}} \]
\[\therefore e - 1 = 1 + \frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\cdots}}} = 1 + \frac{1}{1+x-1} \Rightarrow x = \frac{1}{e-2} \quad \]

หวังว่าคงไม่พลาดตรงไหนนะ ใครทำได้ง่ายกว่านี้รบกวนช่วยแสดงวิธีคิดด้วยครับ.
__________________
ฝึกทักษะ พัฒนาความคิด พิชิตคณิตศาสตร์

หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC (Elementary Mathematics International Contest) ครั้งที่ 1-8 (พ.ศ.2546-2553) หาซื้อได้ที่ศูนย์หนังสือจุฬาฯ ซีเอ็ด(se-ed)และ kinokuniya
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 25 มีนาคม 2005, 05:33
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 5,767
nooonuii is on a distinguished road
Post

อะโห พี่ gon คิดไงครับเนี่ย ยังไม่ได้ดูรายละเอียดครับ เพราะค่อนข้างจะซับซ้อนเหลือหลาย แต่คำตอบถูกเป๊ะเลยครับ
__________________
ที่คิดว่าดีนั้น ดีแล้วแน่หรือ ?
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 00:03


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2014, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha