เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์ ชุดที่ 6 เอ็ซซิลอน

บทความ/จัดพิมพ์ โดย: นาย เจษฎา กานต์ประชา

การหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้น

ในการหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นนี้ จะทำให้น้องได้ค้นพบความลับอีกอันหนึ่งของการเปลี่ยนให้อยู่ในรูปของเอ็ซซิลอน เราเริ่มที่การหาผลเฉลยกันก่อนละกัน

ถ้าเราต้องการหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นใด ให้เราเขียนเมตริกซ์ผลลัพธ์ไว้ด้านข้างของเมตริกซ์สัมประสิทธิ์ที่ต้องการหา จากนั้นแปลงเมตริกซ์สัมประสิทธิ์ให้กลายเป็นเมตริกซ์เอกลักษณ์ เมตริกซ์ผลลัพธ์ที่วางไว้ด้านข้างนี้จะกลับกลายเป็นผลเฉลยของระบบสมการได้อย่างน่าอัศจรรย์อีกแล้ว มาดูตัวอย่างกันเลย

\[\begin{array}{rl} \begin{array}{rcr} x + 4y - 3z & = & -3\\ x + 2y + z & = & 7\\ 3x + 9y - 5 & = & 0 \end{array} & นี่คือระบบสมการเชิงเส้นที่เราต้องการแก้สมการ\\\\\\ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 4 & -3\\ 1 & 2 & 1\\ 3 & 9 & -5 \end{array} \left|\style{background-color: #D0E3F0;}{\begin{array}{r} -3\\ 7\\ 0 \end{array}}\right. \right] & วางเมตริกซ์ผลลัพธ์ไว้ด้านข้าง\\\\\\ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 4 & -3\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \left|\style{background-color: #D0E3F0;}{\begin{array}{r} -3\\ -5\\ 3 \end{array}}\right. \right] & \begin{array}{c} -R_1 + R_2\\ -3R_1 + R_3\\ -\frac{1}{2}R_2\\ 3R_2 + R_3\\ -\frac{1}{2}R_3 \end{array}\\\\\\ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \left|\style{background-color: #D0E3F0;}{\begin{array}{r} 2\\ 1\\ 3 \end{array}}\right. \right] & \begin{array}{c} -4R_2 + R_1\\ -5R_3 + R_1\\ 2R_3 + R_2 \end{array} \end{array}\]

ตอนนี้เราได้ผลเฉลยของระบบสมการคือ $x,y,z$ มีค่าเป็น $2,1,3$ ตามลำดับ ทีนี้ก็มาถึงความลับที่พี่ได้กล่าวไว้เกี่ยวกับการเปลี่ยนรูปเมตริกซ์นี้ซะที ถ้าน้องพิจารณาการแก้สมการนี้ให้ดีจะพบว่าการเปลี่ยนรูปนี้แท้จริงแล้วถ้านำมาเปรียบกับการแก้สมการก็คือ เป็นการลดหรือกำจัดตัวแปรตัวอื่นออกไปอย่างเป็นระเบียบแบบแผนนั่นเอง(น้องบางคนอาจจะเคยแก้ระบบสมการหลายตัวแปร แล้วพบว่าเมื่อแก้ไปแก้มาสุดท้ายก็กลับไปสู่สมการใดสมการหนึ่ง นั่นแสดงให้เห็นว่าการแก้สมการอย่างไร้ระเบียบจะทำให้เราสิ้นเปลืองพลังงานไปเกินความจำเป็น ทั้งนี้เป็นเพราะน้องอาจจะเผลอไปนำคู่สมการที่ใช้ไปแล้วกลับมาใช้ใหม่นั่นเอง)

ความจริงเรื่องเกี่ยวกับเมตริกซ์นี่ก็มีอีกหลายเรื่องที่น่าสนใจนะ เช่น เราจะหา $A^{100}$ ได้ยังไงโดยไม่ต้องไปคูณลุยใส่มัน 100 ครั้ง หรือถ้าเราทราบว่า $A^2 + A + I = \bmatrix{1 & 3\\5 & 7}$ เราจะหา $A$ มาได้อย่างไร แต่ช่างมันเถอะน้องคงไม่ได้ใช้หรอกนะ แต่ถ้าสนใจก็สามารถศึกษาอ่านเพิ่มเติมได้เกี่ยวกับเรื่องพีชคณิตเชิงเส้นตามร้านหนังสือทั่วไป :)