เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์ ชุดที่ 11 การหารากที่สอง

บทความ/จัดพิมพ์ โดย: นาย เจษฎา กานต์ประชา

สมมติว่า เราไม่รู้จักวิธีการหารากที่สองแบบหารยาวมาก่อน และต้องการหารากที่สองของ $315,844$ จะมีวิธีการหาอย่างไร

ลองสังเกตผลการยกกำลังสองของจำนวนในแต่ละช่วงนี้

$1 - 9$ จะได้ค่ากำลังสองอยู่ในช่วง $1 - 81$ หรือมีผลต่อตัวเลข $XX$

$10 - 90$ จะได้ค่ากำลังสองอยู่ในช่วง $100 - 8,100$ หรือมีผลต่อตัวเลข $X,XXX$

$100 - 900$ จะได้ค่ากำลังสองอยู่ในช่วง $10,000 - 810,000$ หรือมีผลต่อตัวเลข $XXX,XXX$

จะพบว่า รากที่สองของ $315,844$ มีถึงแค่หลักร้อยก็พอแล้ว และเนื่องจาก หลักสิบมีผลให้ค่ากำลังสองมีผลถึงแค่หลักพัน ดังนั้นค่า $310,000$ จึงมีผลมาจากเลขหลักร้อยเท่านั้น และเนื่องจาก $500^2 = 250,000$ ใกล้เคียงกับ $310,000$ ที่สุด จึงได้ $5$ เป็นเลขหลักร้อย

พิจารณาหาเลขหลักสิบ สมมติว่าเลขหลักสิบที่ต้องการหาคือ $X$ พิจารณาแบบเดียวกับการหาเลขหลักร้อย เราต้องหา $X$ ที่ทำให้ $(5X0)_{10}^2 \approx 315,800$ เนื่องจาก

\[ \begin{array}{rcl} (5X0)_{10}^2 & = & (500 + 10X)^2 = 500^2 + 2(500)(10X) + (10X)^2\\ & = & 500^2 + (2(500) + 10X)(10X)\\ & = & 500^2 + 100(10X)_{10}(X_{10})\ (หมายเหตุ: (10X)_{10} = 100 + X) \end{array} \]

ดังนั้นเราต้องหา $X$ ที่ทำให้ $100(10X)_{10}X_{10} \approx 315,800 - 500^2 = 65,800$ และเนื่องจาก $100(106)(6) = 63,600$ ใกล้เคียงกับ $65,800$ ที่สุด จึงได้ $6$ เป็นเลขหลักสิบ

พิจารณาหาเลขหลักหน่วย สมมติว่าเลขหลักหน่วยที่ต้องการหาคือ $X$ พิจารณาแบบเดียวกับการหาเลขหลักร้อยและหลักสิบ เราต้องหา $X$ ที่ทำให้ $( 56X)_{10}^2 \approx 315,844$ เนื่องจาก

\[ \begin{array}{rcl} (56X)_{10}^2 & = & (560 + X)^2 = 560^2 + 2(560)X + X^2\\ & = & 560^2 + (2(560) + X)X\\ & = & 560^2 + (112X)_{10}X_{10} \end{array} \]

ดังนั้นเราต้องหา $X$ ที่ทำให้ $(112X)_{10}X_{10} \approx 315,844 - 560^2 = 2,244$ และเนื่องจาก $(1122)(2) = 2,244$ พอดี จึงได้ $2$ เป็นเลขหลักหน่วย

จึงได้ว่า รากที่สองของ $315,844$ คือ $562$

สังเกตรึเปล่าว่าค่าของ $X^2\,,\,100\,(10X)_{10}(X_{10})\,,\,\,(112X)_{10}(X_{10})$ เราสามารถคำนวณในใจได้ง่าย แต่ที่ทำให้การคำนวณล่าช้าคือเรื่องของการหาค่า $315,800 - {500^2}$ และ $315,844 - 560^2$ ถ้าเราต้องมาคำนวณทุกครั้งจะเป็นการเปลืองแรงงานมากเกินไป ดังนั้นเราจึงอาศัยการลบสะสมของการหารยาวมาช่วยแก้ปัญหาในเรื่องนี้ได้ ทำให้เราสามารถใช้การหารยาวช่วยในการหารากที่สองได้ง่ายขึ้น

หากยังมีใครไม่เห็นภาพชัดเจน ลองพิจารณาการเปรียบเทียบ วิธีทั้งสองแบบนี้พร้อมๆกัน

\[\begin{array}{lrll} & & \underline{\ \ \ \ 5\ \ \ 6\ \ \ 2} & \\[-5pt] & 5 & \left)\ 31\ 58\ 44 \right. & \\ 1) 500^2 = 250,000 \approx 310,000 & & \underline{\ \ 25\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } & \\ & 106 & \ \ \ \ 6\ 58 & 2) 315,800 - 500^2 = 65,800 \\ 3) 100(106)(6) = 63,600 \approx 65,800 & & \underline{\ \ \ \ 6\ 36\ \ \ \ \ } & \\ & 1122 & \ \ \ \ \ \ \ 22\ 44 & 4) 315,844 -560^2 = 2,244 \\ 5) (1122)(2) = 2,244 & & \underline{\ \ \ \ \ \ \ 22\ 44} & \\ & & \underline{\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0}} & 6) 315,844 - 562^2 = 0 \\ \end{array}\]

วิธีนี้ยังใช้กับเลขฐานอื่นที่ไม่ใช่ฐานสิบก็ได้ด้วยนะ หากใครอ่านแล้วเข้าใจ(คงมีบ้างละ) ก็จะสามารถขยายผลที่ได้เป็นการหารากที่สาม ที่สี่ … ด้วยการหารยาวได้เช่นกัน แต่จะมีความยุ่งยากเพิ่มขึ้นพอสมควร จึงไม่เป็นที่นิยมใช้กัน