เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์ ชุดที่ 21 เศษส่วนย่อย

บทความโดย: นาย เจษฎา กานต์ประชา

หลังจากจำรูปแบบของเศษส่วนย่อยได้แล้ว ทีนี้ก็มาพูดถึงวิธีการหาค่าคงที่ $A,B,C,\ldots,Z$ ออกมา วิธีหาค่าคงที่ออกมาทำได้ 2 วิธี (ใครจะคิดวิธีที่ 3, 4, ... ก็ได้นะ ถ้ามันเด็ดจริงๆก็ส่งมาให้อ่านกันบ้าง) คือ

1. วิธีหาจากค่าสัมประสิทธิ์(Undetermined Coefficient)
2. วิธีการของ Heaviside ซึ่งในที่นี้จะขอกล่าวเฉพาะการหาค่าคงที่ในกรณีที่เทอมของตัวประกอบเชิงเส้น $ax+b$ นั้นไม่มีการยกกำลัง ซึ่งเมื่อผสมกับวิธีการหาจากค่าสัมประสิทธิ์(ด้วยการแทนค่า $x$ ที่เหมาะสม) จะสามารถหาค่าคงที่ได้รวดเร็วกว่าวิธีแรกมาก

หลักการทั่วๆไปในการแยกเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนย่อย

1. เศษส่วนที่นำมาแยกนั้นต้องเป็นเศษส่วนธรรมดา คือ $\frac{P(x)}{Q(x)}$

   $P(x)$ จะต้องมีดีกรีต่ำกว่า $Q(x)$ ถ้า $P(x)$ มีดีกรีสูงกว่า $Q(x)$ คือเป็นเศษเกินก็ต้องทำให้เป็นเศษส่วนคละก่อนโดยการหาร

2. ถ้าส่วนของเศษส่วนที่นำมาแยก ถ้าแยกตัวประกอบได้ก็ต้องแยกตัวประกอบก่อน ถ้ายกกำลังได้ก็ต้องยกกำลังให้เสร็จเรียบร้อยเสียก่อน
3. จำนวนเศษส่วนย่อยที่ได้จะเท่ากับจำนวนตัวประกอบจริงๆของส่วน

4. $A,B,C,D,\ldots$ หาได้โดยวิธีการหาจากค่าสัมประสิทธิ์(Undetermined Coefficient) ซึ่งทำได้ 2 วิธี คือ

   1. เทียบสัมประสิทธิ์ของ $x$ ที่มีกำลังเท่ากัน
   2. แทนค่า $x$ ที่สะดวกแก่การคำนวณ เช่น $0,\pm 1,\pm 2$ ค่าของ $x$ ที่แทนต้องไม่ทำให้ส่วนของเทอมใดเทอมหนึ่งเป็น $0$

\[ \textrm{เช่น } \frac{{x - 3}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{{2x + 1}} + \frac{B}{{x + 2}} \]

การหาค่าคงที่

• 1. โดยการเทียบสัมประสิทธิ์ของ $x$ ที่มีกำลังเท่ากัน

  \[ \frac{{x - 3}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{{2x + 1}} + \frac{B}{{x + 2}} = \frac{{A\left( {x + 2} \right) + B\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{\left( {A + 2B} \right)x + \left( {2A + B} \right)}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} \]

  โดยการเทียบสัมประสิทธิ์ของ $x$ ที่มีกำลังเท่ากัน (ดูตรงเศษของเศษส่วน) จะได้ $A+2B=1$ และ $2A+B=-3$ แก้สมการ $2$ ตัวแปรหาค่า $A,B$ ออกมาจะได้ $A = - \frac{7}{3}\ ,\ B = \frac{5}{3}$ ดังนั้น

  \[ \frac{{x - 3}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{ - \frac{7}{3}}}{{2x + 1}} + \frac{{\frac{5}{3}}}{{x + 2}} = - \frac{7}{3}\left( {\frac{1}{{2x + 1}}} \right) + \frac{5}{3}\left( {\frac{1}{{x + 2}}} \right) \]

• 2. โดยแทนค่า $x$ ที่สะดวกแก่การคำนวณ

  จาก $\displaystyle{\frac{{x - 3}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{{2x + 1}} + \frac{B}{{x + 2}}}$

  ทดลองแทนค่า $x$ ด้วย $0,3$ ตามลำดับ

  \[\begin{array}{rrcl} \textrm{เมื่อ } x=0 \textrm{ จะได้ว่า } & - \frac{3}{2} & = & A + \frac{B}{2} \\ \textrm{เมื่อ } x=3 \textrm{ จะได้ว่า } & 0 & = & \frac{A}{7} + \frac{B}{5} \end{array}\]

  แก้สมการ $2$ ตัวแปรหาค่า $A,B$ ออกมาจะได้ว่า $A = - \frac{7}{3}\ ,\ B = \frac{5}{3}$ ดังนั้น

  \[ \frac{{x - 3}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{ - \frac{7}{3}}}{{2x + 1}} + \frac{{\frac{5}{3}}}{{x + 2}} = - \frac{7}{3}\left( {\frac{1}{{2x + 1}}} \right) + \frac{5}{3}\left( {\frac{1}{{x + 2}}} \right) \]

• 3. โดยวิธี Heaviside

  ในที่นี้จะขอแนะนำวิธีการหาค่าคงที่ในการแยกเศษส่วนย่อยอีกวิธีหนึ่ง วิธีนี้เป็นส่วนหนึ่งของการกระจายของ Heaviside (Oliver Heaviside วิศวกรไฟฟ้าชาวอังกฤษเป็นผู้คิดขึ้น) ซึ่งใช้กันใน Laplace Transform ข้อดีของวิธีนี้คือรวดเร็วและสะดวก วิธีนี้ใช้ในกรณีที่เทอมของตัวประกอบเชิงเส้น $ax+b$ นั้นไม่มีการยกกำลัง

  เรามาลองพิจารณาการแยกเศษส่วนย่อยนี้ดู (จะมีตัวประกอบเชิงเส้น $ax+b$ ที่มีการยกกำลังรวมอยู่ด้วยเพื่อให้เห็นข้อจำกัดของวิธีนี้ไปพร้อมๆกัน)

  \[\begin{array}{rcl} F\left( x \right) & = & \displaystyle{\frac{{P\left( x \right)}} {{Q\left( x \right)}} = \frac{{P\left( x \right)}}{{\left( {x - a_1 } \right)\left( {x - a_2 } \right)^2 \left( {x - a_3 } \right)^3 \cdots \left( {x - a_m } \right)^m }}} \\ & = & \displaystyle{\frac{{K_{11} }}{{x - a_1 }} + \frac{{K_{21} }}{{x - a_2 }} + \frac{{K_{22} }}{{\left( {x - a_2 } \right)^2 }} + \frac{{K_{31} }}{{x - a_3 }} + \frac{{K_{32} }}{{\left( {x - a_3 } \right)^2 }} + ... + \frac{{K_{mm} }}{{\left( {x - a_m } \right)^m }}} \end{array}\]

  โดย $P(x)$ มีดีกรีต่ำกว่า $Q(x)$ เราจะได้

  วิธีหา $K_{11}$ โดย นำ $(x-a_1)$ ไปคูณแล้วหาลิมิตเมื่อ $x$ เข้าใกล้ $a_1$ จะได้

  \[\begin{array}{cl} & \mathop {\lim }\limits_{x \to a_1 } \left( {x - a_1 } \right)F\left( x \right) \\ = & \mathop {\lim }\limits_{x \to a_1 } \frac{{P\left( x \right)}}{{\left( {x - a_2 } \right)^2 \left( {x - a_3 } \right)^3 ...\left( {x - a_m } \right)^m }} \\ = & \mathop {\lim }\limits_{x \to a_1 } K_{11} + \frac{{K_{21} \left( {x - a_1 } \right)}} {{x - a_2 }} + \frac{{K_{22} \left( {x - a_1 } \right)}} {{\left( {x - a_2 } \right)^2 }} + \frac{{K_{31} \left( {x - a_1 } \right)}} {{x - a_3 }} + \frac{{K_{32} \left( {x - a_1 } \right)}} {{\left( {x - a_3 } \right)^2 }} + \cdots \\ & + \frac{{K_{mm} \left( {x - a_1 } \right)}} {{\left( {x - a_m } \right)^m }} \\ = & K_{11} \end{array}\]

  วิธีหา $K_{22}$ โดยนำ $(x-a_2)^2$ ไปคูณแล้วหาลิมิตเมื่อ $x$ เข้าใกล้ $a_2$ จะได้

  \[\begin{array}{cl} & \mathop {\lim }\limits_{x \to a_2 } \left( {x - a_2 } \right)^2 F\left( x \right) \\ = & \mathop {\lim }\limits_{x \to a_2 } \frac{{P\left( x \right)}}{{\left( {x - a_1 } \right)\left( {x - a_3 } \right)^3 \cdots \left( {x - a_m } \right)^m }} \\ = & \mathop {\lim }\limits_{x \to a_1 } \frac{{K_{11} \left( {x - a_2 } \right)^2 }}{{x - a_1 }} + K_{21} \left( {x - a_2 } \right) + K_{22} + \frac{{K_{31} \left( {x - a_2 } \right)^2 }}{{x - a_3 }} + \frac{{K_{32} \left( {x - a_2 } \right)^2 }}{{\left( {x - a_3 } \right)^2 }} + \cdots \\ & + \frac{{K_{mm} \left( {x - a_2 } \right)^2 }}{{\left( {x - a_m } \right)^m }} \\ = & K_{22} \end{array}\]