Mathcenter Community


เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์ ชุดที่ 21 เศษส่วนย่อย

บทความโดย: นาย เจษฎา กานต์ประชา


ดังนั้น $\displaystyle{\frac{x}{{\left( {x - 1} \right)\sqrt {x^2 + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 \left( {x - 1} \right)}} + \frac{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)x + 1}}{{\sqrt 2 \sqrt {x^2 + 1} }}}$

แต่เมื่อลองแทนค่า $x=7$ พบว่า

\[\begin{array}{rcl} \frac{7}{{6\left( {5\sqrt 2 } \right)}} & = & \frac{1}{{6\sqrt 2 }} + \frac{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)7 + 1}}{{10}} \\ \frac{1}{{15\sqrt 2 }} & = & \frac{{8 - 7\sqrt 2 }}{{10}} \\ 2 & = & 3\sqrt 2 \left( {8 - 7\sqrt 2 } \right) \\ 6\sqrt{2} & = & 11 \end{array}\]

เป็นแบบนี้ได้ยังไง ก็เราแก้สมการหาค่าสัมประสิทธิ์ออกมาถูกต้องแล้วนี่ ทำไมมันใช้ไม่ได้ละ ใช้ได้สิครับแต่สำหรับกรณีของ $x = 0, \pm 1$ ที่เราแทนค่าลงไปเท่านั้นไง ส่วนกรณีอื่นๆส่วนใหญ่ผิดหมดเลย ดังนั้นก่อนจะมั่วนิ่มเอาว่ามันแยกออกมาได้อย่างนั้นต้องพิสูจน์ให้ได้ก่อนครับว่ามันแยกได้เช่นนั้นจริงๆ สำหรับประเภทของเศษส่วนย่อยที่เราได้เสนอไปแล้วนั้น เราลองมาวิเคราะห์กันเป็นไร

  • ประเภทที่ 1 และ 2

    กำหนดให้ $f_n \left( x \right)$ หมายถึง พหุนามที่มีดีกรีไม่เกิน $n$

    และ $g\left( x \right)$ เป็นพหุนามใดๆที่มีดีกรีไม่น้อยกว่า $n - p$

    เศษส่วนย่อยใดๆที่เราพบในกรณีนี้ สามารถเขียนได้ในรูปของ $\frac{{f_{n - 1} \left( x \right)}}{{\left( {x - a} \right)^p g\left( x \right)}}$ (อย่าลืมสิ่งสำคัญคือ ดีกรีของเศษต้องน้อยกว่าดีกรีของส่วนเสมอ)

    เราลองแยกเทอมของ $\frac{A}{{\left( {x - a} \right)^p }}$ ออกมา

    โดยวิธีของ Heaviside หาค่า $A = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {x - a} \right)^p \frac{{f_{n - 1} \left( x \right)}}{{\left( {x - a} \right)^p g\left( x \right)}} = \frac{{f_{n - 1} \left( a \right)}}{{g\left( a \right)}}$

    ลองแยกออกมาดูเลย ว่าจะเหลือผลลัพธ์เป็นอะไร

    \[ \frac{{f_{n - 1} \left( x \right)}}{{\left( {x - a} \right)^p g\left( x \right)}} - \left( {\frac{{f_{n - 1} \left( a \right)}}{{g\left( a \right)}}} \right)\frac{1}{{\left( {x - a} \right)^p }} = \frac{{g\left( a \right)f_{n - 1} \left( x \right) - f_{n - 1} \left( a \right)g\left( x \right)}}{{g\left( a \right)\left( {x - a} \right)^p g\left( x \right)}} \]

    พิจารณาพหุนามของตัวเศษ หากเราแทนค่า $x = a$ ลงไปจะได้

    $g\left( a \right)f_{n - 1} \left( a \right) - f_{n - 1} \left( a \right)g\left( a \right) = 0$

    ดังนั้น $x - a$ เป็นตัวประกอบของพหุนาม $g\left( a \right)f_{n - 1} \left( x \right) - f_{n - 1} \left( a \right)g\left( x \right)$ เราจึงเขียนพหุนามของตัวเศษได้ใหม่เป็น

    $g\left( a \right)f_{n - 1} \left( x \right) - f_{n - 1} \left( a \right)g\left( x \right) = \left( {x - a} \right)f_{n - 2} \left( x \right)$ แต่เพื่อให้ผลลัพธ์สุดท้ายดูสวยงามยิ่งขึ้น ให้พิจารณาค่าคงที่ $g\left( a \right)$ ที่เป็นตัวหารเข้าไปด้วยเป็น

    \[ \frac{{g\left( a \right)f_{n - 1} \left( x \right) - f_{n - 1} \left( a \right)g\left( x \right)}}{{g\left( a \right)}} = \left( {x - a} \right)f_{n - 2} \left( x \right) \]

    แทนค่ากลับลงไปจะได้ผลลัพธ์เป็น

    \[\begin{array}{rcl} \displaystyle{\frac{{f_{n - 1} \left( x \right)}}{{\left( {x - a} \right)^p g\left( x \right)}} - \left( {\frac{{f_{n - 1} \left( a \right)}}{{g\left( a \right)}}} \right)\frac{1}{{\left( {x - a} \right)^p }}} & = & \displaystyle{\frac{{\left( {x - a} \right)f_{n - 2} \left( x \right)}}{{\left( {x - a} \right)^p g\left( x \right)}}} \\ & = & \displaystyle{\frac{{f_{n - 2} \left( x \right)}}{{\left( {x - a} \right)^{p - 1} g\left( x \right)}}} \end{array}\]

    ในทำนองเดียวกัน เราสามารถแยก $\frac{{f_{n - 2} \left( x \right)}}{{\left( {x - a} \right)^{p - 1} g\left( x \right)}}$ เป็น

    \[ \frac{{f_{n - 2} \left( x \right)}}{{\left( {x - a} \right)^{p - 1} g\left( x \right)}} = \left( {\frac{{f_{n - 2} \left( a \right)}}{{g\left( a \right)}}} \right)\frac{1}{{\left( {x - a} \right)^{p - 1} }} + \frac{{f_{n - 3} \left( x \right)}}{{\left( {x - a} \right)^{p - 2} g\left( x \right)}} \]

    ทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆจะได้

    \[\begin{array}{rcl} \displaystyle{\frac{{f_{n - 1} \left( x \right)}}{{\left( {x - a} \right)^p g\left( x \right)}}} & = & \displaystyle{\left( {\frac{{f_{n - 1} \left( a \right)}}{{g\left( a \right)}}} \right)\frac{1}{{\left( {x - a} \right)^p }} + \left( {\frac{{f_{n - 2} \left( a \right)}}{{g\left( a \right)}}} \right)\frac{1}{{\left( {x - a} \right)^{p - 1} }} + \cdots } \\ & & \displaystyle{ + \left( {\frac{{f_{n - p} \left( a \right)}}{{g\left( a \right)}}} \right)\frac{1}{{x - a}} + \frac{{f_{n - p - 1} \left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \end{array}\]

    เป็นรูปแบบของวิธีแยกเศษส่วนย่อยประเภทที่ 1 และ 2 นั่นเอง

  • ประเภทที่ 3 และ 4

    กรณีนี้ รากคำตอบเป็นจำนวนเชิงซ้อน $\alpha = u + vi$ และคอนจูเกตของมัน $\overline \alpha = u - vi$

    ซึ่งเป็นรากคำตอบของเทอม $\left( {x - u} \right)^2 + v^2 $ นั่นเอง

    กำหนดให้ $f_n \left( x \right)$ หมายถึง พหุนามที่มีดีกรีไม่เกิน $n$

    และ $g\left( x \right)$ เป็นพหุนามใดๆที่มีดีกรีไม่น้อยกว่า $n - 2p$

    เศษส่วนย่อยใดๆที่เราพบในกรณีนี้ สามารถเขียนได้ในรูปของ $\frac{{f_{n - 1} \left( x \right)}}{{\left( {\left( {x - u} \right)^2 + v^2 } \right)^p g\left( x \right)}}$

    เราลองแยกเทอมของ $\frac{{Ax + B}}{{\left( {\left( {x - u} \right)^2 + v^2 } \right)^p }}$ ออกมา

    \[ \frac{{f_{n - 1} \left( x \right)}}{{\left( {\left( {x - u} \right)^2 + v^2 } \right)^p g\left( x \right)}} - \frac{{Ax + B}}{{\left( {\left( {x - u} \right)^2 + v^2 } \right)^p }} = \frac{{f_{n - 1} \left( x \right) - \left( {Ax + B} \right)g\left( x \right)}}{{\left( {\left( {x - u} \right)^2 + v^2 } \right)^p g\left( x \right)}} \]

    พิจารณาพหุนามของตัวเศษ หากเราหาค่า $A,B$ ที่ทำให้

    \[\begin{array}{rclccccccccccccccccc} f_{n - 1} \left( \alpha \right) - \left( {A\alpha + B} \right)g\left( \alpha \right) & = & 0 & & & & & & & & & & & & & & & & & (1) \\ \textrm{และ } f_{n - 1} \left( {\overline \alpha } \right) - \left( {A\overline \alpha + B} \right)g\left( {\overline \alpha } \right) & = & 0 & & & & & & & & & & & & & & & & & (2) \end{array}\]

    ได้ นั่นคือพหุนามของตัวเศษ มี $x - \alpha $ และ $x - \overline \alpha $ เป็นตัวประกอบ ทำให้เขียนพหุนามของตัวเศษได้ในรูปของ

    $f_{n - 1} \left( x \right) - \left( {Ax + B} \right)g\left( x \right) = \left( {\left( {x - u} \right)^2 + v^2 } \right)f_{n - 3} \left( x \right)$

    ทำให้ได้ผลลัพธ์เป็น

    \[\begin{array}{rcl} \displaystyle{\frac{{f_{n - 1} \left( x \right)}}{{\left( {\left( {x - u} \right)^2 + v^2 } \right)^p g\left( x \right)}} - \frac{{Ax + B}}{{\left( {\left( {x - u} \right)^2 + v^2 } \right)^p }}} & = & \displaystyle{\frac{{\left( {\left( {x - u} \right)^2 + v^2 } \right)f_{n - 3} \left( x \right)}}{{\left( {\left( {x - u} \right)^2 + v^2 } \right)^p g\left( x \right)}}} \\ & = & \displaystyle{\frac{{f_{n - 3} \left( x \right)}}{{\left( {\left( {x - u} \right)^2 + v^2 } \right)^{p - 1} g\left( x \right)}}} \end{array}\]

    เราหาค่า $A,B$ ได้จากการแก้สมการ $(1),(2)$ นั่นเองได้ผลลัพธ์เป็น

    \[\begin{array}{rcl} A & = & \displaystyle{\frac{1}{{\alpha - \overline \alpha }}\left( {\frac{{f_{n - 1} \left( \alpha \right)}}{{g\left( \alpha \right)}} - \frac{{f_{n - 1} \left( {\overline \alpha } \right)}}{{g\left( {\overline \alpha } \right)}}} \right)} \\ B & = & \displaystyle{\frac{1}{{\overline \alpha - \alpha }}\left( {\frac{{\overline \alpha f_{n - 1} \left( \alpha \right)}}{{g\left( \alpha \right)}} - \frac{{\alpha f_{n - 1} \left( {\overline \alpha } \right)}}{{g\left( {\overline \alpha } \right)}}} \right)} \\ \textrm{หรือ } Ax + B & = & \displaystyle{\left( {\frac{{x - \overline \alpha }}{{\alpha - \overline \alpha }}} \right)\frac{{f_{n - 1} \left( \alpha \right)}}{{g\left( \alpha \right)}} + \left( {\frac{{x - \alpha }}{{\overline \alpha - \alpha }}} \right)\frac{{f_{n - 1} \left( {\overline \alpha } \right)}}{{g\left( {\overline \alpha } \right)}}} \end{array}\]

    ในทำนองเดียวกัน เราสามารถแยก $\frac{{f_{n - 3} \left( x \right)}}{{\left( {\left( {x - u} \right)^2 + v^2 } \right)^{p - 1} g\left( x \right)}}$ เป็น

    \[ \frac{{f_{n - 3} \left( x \right)}}{{\left( {\left( {x - u} \right)^2 + v^2 } \right)^{p - 1} g\left( x \right)}} = \frac{{A'x + B'}}{{\left( {\left( {x - u} \right)^2 + v^2 } \right)^{p - 1} }} + \frac{{f_{n - 5} \left( x \right)}}{{\left( {\left( {x - u} \right)^2 + v^2 } \right)^{p - 2} g\left( x \right)}} \]

    ทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆจะได้

    \[\begin{array}{rcl} \displaystyle{\frac{{f_{n - 1} \left( x \right)}}{{\left( {\left( {x - u} \right)^2 + v^2 } \right)^p g\left( x \right)}}} & = & \displaystyle{\frac{{Ax + B}}{{\left( {\left( {x - u} \right)^2 + v^2 } \right)^p }} + \frac{{A'x + B'}}{{\left( {\left( {x - u} \right)^2 + v^2 } \right)^{p - 1} }} + \cdots} \\ & & \displaystyle{ + \frac{{A'''x + B'''}}{{\left( {x - u} \right)^2 + v^2 }} + \frac{{f_{n - 1 - 2p} \left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \end{array}\]

    เป็นรูปแบบของวิธีแยกเศษส่วนย่อยประเภทที่ 3 และ 4 นั่นเอง