Mathcenter Community


เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์ ชุดที่ 30 เรื่องวุ่นๆของเมตริกซ์

บทความ/จัดพิมพ์ โดย: นาย เจษฎา กานต์ประชา

เรื่องวุ่นๆของเมตริกซ์

หลังจากน้องๆสามารถแก้สมการเชิงเส้นเกี่ยวกับเมตริกซ์จนคล่องแล้ว ครั้งนี้เราจะมาศึกษาสมบัติอื่นๆของเมตริกซ์กันต่อไป อย่างเช่น เราจะมีวิธียกกำลังเมตริกซ์ เช่น แบบไม่เปลืองแรงกันได้อย่างไร

ก่อนอื่นเรามาดูกันก่อนว่า เมตริกซ์แบบใดที่สามารถยกกำลังได้โดยง่ายที่สุด ใช่แล้วครับ คือเมตริกซ์ทแยงมุมนั่นเอง เช่น

\[\bmatrix{2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5}^n = \bmatrix{2^n & 0 & 0 \\ 0 & 3^n & 0 \\ 0 & 0 & 5^n} \]

ยังมีเมตริกซ์แบบอื่นอีกหรือไม่ที่สามารถยกกำลังได้ง่ายเช่นนี้อีก หากยังคิดไม่ออก เราลองมาดัดแปลงแก้ไขเมตริกซ์ทแยงมุมให้เป็นรูปแบบอื่น แต่ยังคงความง่ายในการยกกำลังเอาไว้ ลองพิจารณาเมตริกซ์รูปแบบนี้ดู \(A = PDP^{-1}\) โดย \(D\) เป็นเมตริกซ์ทแยงมุม จะพบว่า

\[\begin{array}{rclcl} A^2 & = & PDP^{-1}PDP^{-1} & = & PD^2P^{-1} \\ A^3 & = & PDP^{-1}PDP^{-1}PDP^{-1} & = & PD^3P^{-1} \\ A^n & = & PDP^{-1}PDP^{-1} \ldots\ PDP^{-1}PDP^{-1} & = & PD^nP^{-1} \end{array}\]

ในทำนองเดียวกันกับ \(A=P^{-1}DP\) จะสามารถยกกำลังได้โดยง่าย ลองคิดดูถ้าเราสามารถหาวิธีแปลงเมตริกซ์จัตุรัสใดๆให้อยู่ในรูปแบบนี้ได้ ปัญหาเรื่องการยกกำลังก็เป็นอันหมดไป ง่ายไหม

จาก \(A=PDP^{-1}\) หรือ \(AP=PD\)

สมมติว่า \(D\) เป็นเมตริกซ์ทแยงมุมขนาด \(n \times n\) ที่มี \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots\ \lambda_n\) เป็นสมาชิกในแนวทแยงมุมหรือ

\[D = \bmatrix{\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n } และ\ P = \bmatrix{p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn} } \]

แทนค่าลงไปจะได้

\[\begin{array}{rcl} A \bmatrix{p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n} \\ p_21 & p_22 & \cdots & p_2n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn} } & = & \bmatrix{p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn} } \bmatrix{\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n } \\ A \bmatrix{p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n} \\ p_21 & p_22 & \cdots & p_2n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn} } & = & \bmatrix{p_{11}\lambda_1 & p_{12}\lambda_2 & \cdots & p_{1n}\lambda_n \\ p_{21}\lambda_1 & p_{22}\lambda_2 & \cdots & p_{2n}\lambda_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{n1}\lambda_1 & p_{n2}\lambda_2 & \cdots & p_{nn}\lambda_n } \end{array} \]

จะได้

\[A \bmatrix{p_{11}\\p_{21}\\\vdots\\p_{n1}} = \lambda_1 \bmatrix{p_{11}\\p_{21}\\\vdots\\p_{n1}}, A \bmatrix{p_{12}\\p_{22}\\\vdots\\p_{n2}} = \lambda_2 \bmatrix{p_{12}\\p_{22}\\\vdots\\p_{n2}},\ \ldots\ , A \bmatrix{p_{1n}\\p_{2n}\\\vdots\\p_{nn}} = \lambda_n \bmatrix{p_{1n}\\p_{2n}\\\vdots\\p_{nn}} \]

หรือเขียนในรูปทั่วไปคือ \(A X_i = \lambda_i X_i\) หากเราสามารถหา \(X_i, \lambda_i\) ที่สอดคล้องกันทั้งหมด ที่ทำให้สมการนี้เป็นจริง ก็จะสามารถแปลงเมตริกซ์ \(A\) ให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายต่อการยกกำลังได้ เราเรียก \(\lambda\) ว่าค่าเจาะจง(Eigenvalue) และ \(X\) ว่าเวกเตอร์เจาะจง (Eigenvector) (เรานิยมเรียกเมตริกซ์ขนาด \(n \times 1\) ใดๆว่าเวกเตอร์)