เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์ ชุดที่ 30 เรื่องวุ่นๆของเมตริกซ์

บทความ/จัดพิมพ์ โดย: นาย เจษฎา กานต์ประชา

ในบางครั้งเราจะได้ค่า eigenvalue ซ้ำกันเช่น

ตัวอย่างที่ 2

\[ A = \bmatrix{9 & 1 & 1 \\ 1 & 9 & 1 \\ 1 & 1 & 9}\ จะได้\ \left|A - \lambda I \right| = -(\lambda - 11)(\lambda - 8)^2 = 0 \]

จึงได้ \(\lambda_1 = 11, \lambda_2 = \lambda_3 = 8\) ในการหาค่า eigenvector ของ \(\lambda_2 = \lambda_3 = 8\) จะพบว่า

\[\begin{array}{rcl} (A - \lambda I) X & = & \bmatrix{9 - 8 & 1 & 1 \\ 1 & 9 - 8 & 1\\ 1 & 1 & 9 - 8} X = \bmatrix{1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1} X = 0 \\ \text{row operations} & \Rightarrow & \bmatrix{1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0} X = 0 \end{array}\]

สังเกตว่ามีอยู่ 2 แถวที่เป็นศูนย์ทั้งหมด แสดงให้เห็นว่าสมาชิกของ \(X\) ตัวที่ 2 และ 3 มีความเป็นอิสระจากกัน(สมาชิกตัวที่ 1 ไม่เป็นอิสระเนื่องจาก ขึ้นกับค่าของสมาชิกตัวที่ 2 และ 3) จึงสามารถเลือก eigenvector 2ตัว ที่เป็นอิสระจากกันได้ (หากเราเลือก eigenvector ที่ไม่เป็นอิสระกัน จะทำให้ \(|P| = 0\) จึงหา \(P^{-1}\) ไม่ได้ และทำให้ไม่สามารถเขียน \(A\) ในรูปของ \(PDP^{-1}\) ได้) เช่น

\[ X_2 = \bmatrix{-1 \\ 0 \\ 1}, X_3 = \bmatrix{-1 \\ 1 \\ 0}\ (อย่าเลือกเป็น\ X_2 = \bmatrix{-1 \\ 0 \\ 1}, X_3 = \bmatrix{-2 \\ 0 \\ 2}) \] \[\begin{array}{rcl} เราจึงได้\ D & = & \bmatrix{\lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3} = \bmatrix{11 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 8} \\ P & = & \bmatrix{X_1 & X_2 & X_3} = \bmatrix{1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0} \\ และ\ PDP^{-1} & = & \bmatrix{1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0} \bmatrix{11 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 8} \bmatrix{1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0}^{-1} & = & \bmatrix{9 & 1 & 1 \\ 1 & 9 & 1\\ 1 & 1 & 9} = A\ จริง \end{array}\]

ตัวอย่างของกรณีที่ค่า eigenvalue ซ้ำ และเราไม่สามารถเลือก eigenvector ที่เป็นอิสระจากกันได้ ทำให้ไม่สามารถเขียน \(A\) ในรูปของ \(PDP^{-1}\) ได้ เช่น

ตัวอย่างที่ 3

\[ A = \bmatrix{-3 & -7 & -5 \\ 2 & 4 & 3 \\ 1 & 2 & 2}\ จะได้\ \left|A - \lambda I \right| = -(\lambda - 1)^3 = 0 \]

จึงได้ \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 1\) ในการหาค่า eigenvector ของ \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 1\) จะพบว่า

\[\begin{array}{rcl} (A - \lambda I) X & = & \bmatrix{-3 - 1 & -7 & -5 \\ 2 & 4 - 1 & 3\\ 1 & 2 & 2 - 1} X = \bmatrix{-4 & -7 & -5 \\ 2 & 3 & 3\\ 1 & 2 & 1} X = 0 \\ \text{row operations} & \Rightarrow & \bmatrix{1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0} X = 0 \end{array}\]

จะสังเกตได้ว่ามีเพียงแถวที่ 3 เพียงแถวเดียวที่เป็นศูนย์ทั้งหมด แสดงให้เห็นว่าสมาชิกของ \(X\) ตัวที่ 3 เท่านั้นที่มีความเป็นอิสระจากกัน(สมาชิกตัวที่ 1 และ 2 ไม่เป็นอิสระจากกัน) จึงไม่สามารถเลือก eigenvector 3 ตัว ที่เป็นอิสระจากกันได้ (ทำให้ไม่สามารถเขียน \(A\) ในรูปของ \(PDP^{-1}\) ได้) อย่างไรก็ตามเนื่องจากมีสมาชิกที่มีความเป็นอิสระอยู่ 1 ตัว จึงมี eigenvector ได้ 1 ตัวเช่นกัน จึงเลือก \(x_3 = 1\) จะได้ \(x_2 = 1\) และ \(x_1 = -3\) จึงได้ eigenvector เป็น

\[X_1 = \bmatrix{-3 \\ 1 \\ 1}\]

อนุกรมอนันต์ของเมตริกซ์

จากเมตริกซ์ \(A\) ที่กำหนดให้ เมื่อเราสามารถหาค่า \(A^n\) ได้ง่ายแล้ว ก็คงไม่หยุดเพียงเท่านี้ เพราะนักคณิตศาสตร์ได้คิดไปไกลกว่านั้น เช่น ต้องการหาค่า \(e^A, \sin(A), \cos(A), \ldots\) ทำได้อย่างไร ? โดยอาศัยการกระจายของอนุกรมอนันต์ที่ว่า

\[\begin{array}{rcl} e^x & = & 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \\ \sin(x) & = & x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\ \cos(x) & = & 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \end{array}\]

นั่นคือ สำหรับเมตริกซ์ \(A\)

\[\begin{array}{rcl} e^A & = & 1 + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \frac{A^4}{4!} + \cdots \\ \sin(A) & = & A - \frac{A^3}{3!} + \frac{A^5}{5!} - \frac{A^7}{7!} + \cdots \\ \cos(A) & = & 1 - \frac{A^2}{2!} + \frac{A^4}{4!} - \frac{A^6}{6!} + \cdots \end{array}\]

สำหรับกรณีทั่วไป สมมติให้ \(f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_n x^n \) เป็นฟังก์ชันของอนุกรมอนันต์ เราจะพบว่า หาก \(A = PDP^{-1}\) จะได้

\[ f(A) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_n A^n = \sum_{n = 0}^{\infty} c_n P D^n P^{-1} = P \left(\sum_{n = 0}^{\infty} c_n D^n\right) P^{-1} \]

และเนื่องจาก \(D\) เป็นเมตริกซ์ทแยงมุม สมมติว่า \( D = \bmatrix{\lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_m } \)

\[ จะได้\ f(A) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_n A^n = P \left(\sum_{n = 0}^{\infty} c_n D^n\right) P^{-1} = P \bmatrix{f(\lambda_1) & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & f(\lambda_m) } P^{-1} \]

โดยที่ \(\lambda_1,\ \ldots\ , \lambda_m\) ต้องอยู่ในช่วงที่ทำให้ \(f(x)\) ลู่เข้า

ตัวอย่างที่ 4

\[ A = \bmatrix{1 & 2 & 1 \\ 6 & -1 & 0\\ -1 & -2 & -1}\ ต้องการหาค่า\ e^A \]

จากตัวอย่างที่ 1 เรารู้ว่า

\[\begin{array}{rcl} A & = & \bmatrix{1 & -1 & 2 \\ 6 & 2 & 3\\ -13 & 1 & -2} \bmatrix{0 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0\\ 0 & 0 & 3} \bmatrix{1 & -1 & 2 \\ 6 & 2 & 3\\ -13 & 1 & -2}^{-1} \\ \therefore e^A & = & \bmatrix{1 & -1 & 2 \\ 6 & 2 & 3\\ -13 & 1 & -2} \bmatrix{e^0 & 0 & 0 \\ 0 & e^{-4} & 0\\ 0 & 0 & e^3} \bmatrix{1 & -1 & 2 \\ 6 & 2 & 3\\ -13 & 1 & -2}^{-1} \end{array}\]