เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์ ชุดที่ 36 จำนวนเบอร์นูลี

บทความ/จัดพิมพ์ โดย: นาย เจษฎา กานต์ประชา

วิธีการหาสูตรทั่วไปของสัมประสิทธิ์

หากเราเขียน $P_m (n)$ ในรูปของ $n$ จะได้

$P_m (n) = \overbrace{n^m + (n-1)^m + (n-2)^m + \cdots + (n-(n-2))^m + (n-(n-1))^m}^{n\ \textrm{ เทอม}}$

มีพจน์ของ $n^m$ กระจายอยู่ใน $n$ เทอม จึงเป็นพหุนามที่มีดีกรีไม่เกิน $m+1$ เราจึงสมมติให้

$P_m (n) = A_0 n^{m+1} + A_1 n^{m} + A_2 n^{m-1} + \cdots + A_m n + A_{m+1}$

วิธีหาค่าสัมประสิทธิ์ $A_0,A_1,A_2,\ldots,A_m,A_{m+1}$ อาจทำได้โดยการแทนค่า $n$ ต่างๆกัน จำนวน $m+2$ ค่า แล้วแก้สมการเชิงเส้น $m+2$ ตัวแปร แต่เรามีวิธีหาสัมประสิทธิ์ที่ดีกว่านี้

เนื่องจาก $P_m (n+1) - P_m (n) = (n+1)^m$ หรือ

$A_0 ((n+1)^{m+1} - n^{m+1}) + A_1 ((n+1)^{m} - n^{m}) + \cdots + A_m ((n+1) - n) = (n+1)^m$

ข้อสังเกต 1 : หากแทนค่า $n=-1$ จะได้ ผลรวมสัมประสิทธิ์ของกำลังคี่และกำลังคู่ในพหุนามหนึ่งๆ มีค่าเท่ากันเสมอ

โดยการเทียบสัมประสิทธิ์ของ $n$ ทางซ้ายมือและขวามือของสมการ จะได้

\[ \begin{array}{rcl} \binom{m+1}{1}A_0 & = & \binom{m}{0}\\ \binom{m+1}{2}A_0 + \binom{m}{1}A_1 & = & \binom{m}{1}\\ \binom{m+1}{3}A_0 + \binom{m}{2}A_1 + \binom{m-1}{1}A_2 & = & \binom{m}{2}\\ จนกระทั่ง \binom{m+1}{m+1}A_0 + \binom{m}{m}A_1 + \cdots + \binom{2}{2}A_{m-1} + \binom{1}{1}A_m & = & \binom{m}{m} \end{array} \]

หรือ $A_0 + A_1 + A_2 + \cdots + A_m = 1$

หรือเขียนในรูปทั่วไปเป็น $\sum\limits_{k=0}^p {\binom{m+1-k}{p+1-k}A_k} = \binom{m}{p}$ เมื่อ $0 \leqslant p \leqslant m$

และเนื่องจาก $P_m (1) = 1$ หรือ $A_0 + A_1 + A_2 + \cdots + A_{m+1} = 1$ เสมอ

ข้อสังเกต 2 : จากสมการข้างบนและ จากข้อสังเกต 1 สรุปได้ว่า ผลรวมสัมประสิทธิ์ของกำลังคี่และกำลังคู่ในพหุนามหนึ่งๆ มีค่าเท่ากัน และมีค่าเป็น $\frac{1}{2}$ เสมอ

ดังนั้น $A_{m+1} = 0$ เสมอ จะได้

\[ \begin{array}{rcl} A_0 & = & \frac{1}{m+1} \\ A_1 & = & \frac{1}{m}\left(\binom{m}{1} - \binom{m+1}{2}A_0\right) = \frac{1}{2} \\ A_2 & = & \frac{1}{m-1}\left(\binom{m}{2} - \binom{m+1}{3}A_0 - \binom{m}{2}A_1\right) = \frac{m}{12} \end{array} \]

หากน้องๆลองแก้สมการต่อไปเรื่อยๆ จะพบว่าข้อสังเกตข้างต้นถูกต้อง

รูปแบบซ่อนเร้น

สำหรับผลเฉลยทั่วไปของ $A_p$ เมื่อ $0 \leqslant p \leqslant m$ จะอยู่ในรูปความสัมพันธ์เวียนบังเกิด

\[ \begin{array}{rcl} A_p & = & \frac{1}{m+1-p}\left[\binom{m}{p} - \sum\limits_{k=0}^{p-1}{\binom{m+1-k}{p+1-k}A_k}\right] \\ & = & \frac{1}{m+1-p}\binom{m}{p}\left[1-\sum\limits_{k=0}^{p-1}{\left(\frac{p! (m+1-k)!}{m! (p+1-k)!}A_k\right)}\right] \end{array} \]

แทนค่า $A_k$ ด้วยความสัมพันธ์เวียนบังเกิดข้างบนอีกครั้งหนึ่ง จะได้

\[ \begin{array}{rcl} & = & \frac{1}{m+1-p}\binom{m}{p}\left[1-\sum\limits_{k=0}^{p-1}{\left(\frac{p! (m+1-k)!}{m! (p+1-k)!}\frac{1}{m+1-k}\binom{m}{k}\left[1-\sum\limits_{r=0}^{k-1}{\left(\frac{k! (m+1-r)!}{m! (k+1-r)!}A_r\right)}\right]\right)}\right] \\ & = & \frac{1}{m+1-p}\binom{m}{p}\left[1-\sum\limits_{k=0}^{p-1}{\left(\frac{1}{p+1}\binom{p+1}{k}\left[1-\sum\limits_{r=0}^{k-1}{\left(\frac{k! (m+1-r)!}{m! (k+1-r)!}A_r\right)}\right]\right)}\right] \\ & = & \frac{1}{m+1}\binom{m+1}{p}\left[1-\sum\limits_{k=0}^{p-1}{\left(\frac{1}{p+1}\binom{p+1}{k}\left[1-\sum\limits_{r=0}^{k-1}{\left(\frac{k! (m+1-r)!}{m! (k+1-r)!}A_r\right)}\right]\right)}\right] \end{array} \] \[ \begin{array}{rcl} หากเรากำหนดให้\ C_p & = & 1-\sum\limits_{k=0}^{p-1}{\left(\frac{1}{p+1}\binom{p+1}{k}\left[1-\sum\limits_{r=0}^{k-1}{\left(\frac{k! (m+1-r)!}{m! (k+1-r)!}A_r\right)}\right]\right)}\\ & = & 1-\frac{1}{p+1}\sum\limits_{k=0}^{p-1}{\binom{p+1}{k}C_k} \end{array} \]

จะได้ $A_p = \frac{1}{m+1}\binom{m+1}{p}C_p$ เมื่อ $0 \leqslant p \leqslant m$

เป็นที่น่าสังเกตว่า ความสัมพันธ์เวียนบังเกิดของ $C_p$ ไม่ขึ้นกับค่า $m$ เลย แต่ขึ้นกับค่า $p$ เท่านั้น และเมื่อพิจารณาไล่แทนค่าย้อนกลับไปจนถึงค่าเริ่มต้นคือ $C_0 = 1$ (เนื่องจาก $A_0 = \frac{1}{m+1} = \frac{1}{m+1}\binom{m+1}{0}C_0$) แสดงให้เห็นว่า $C_p$ ไม่ขึ้นกับค่า $m$ จริง หากเราคำนวณค่าของ $C_p$ เก็บใส่ตารางล่วงหน้า จะช่วยให้คำนวณค่า $A_p$ ได้ง่ายยิ่งขึ้น และนี่คือรูปแบบของสัมประสิทธิ์ที่ Jakob Bernoulli มองออกนั่นเอง เราจึงได้พหุนาม $P_m(n)$ เป็น

\[\begin{array}{rcl} P_m (n) & = & A_0 n^{m+1} + A_1 n^m + \cdots + A_m n\\ & = & \frac{1}{m+1}\left(\binom{m+1}{0} C_0 n^{m+1} + \binom{m+1}{1} C_1 n^m + \cdots + \binom{m+1}{m} C_m n\right)\\ & = & \displaystyle{\frac{1}{m+1}\sum _{k=0} ^{m} \binom{m+1}{k} C_k n^{m+1-k}} \end{array}\]