เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์ ชุดที่ 36 จำนวนเบอร์นูลี

บทความ/จัดพิมพ์ โดย: นาย เจษฎา กานต์ประชา

จำนวน Bernoulli

วิธีหาค่า $C_p$ อย่างง่ายๆ อาศัยความสัมพันธ์เวียนบังเกิด

$C_p = 1-\frac{1}{p+1}\sum\limits_{k=0}^{p-1}{\binom{p+1}{k}C_k}$ โดย $C_0 = 1$

ตัวอย่าง \[ \begin{array}{lrcl} หาค่า C_1 :& C_1 & = & 1-\frac{1}{2}\binom{2}{0}C_0 \\ & & = & \frac{1}{2} \\ หาค่า C_2 :& C_2 & = & 1-\frac{1}{3}\left[\binom{3}{0}C_0 + \binom{3}{1}C_1\right] \\ & & = & \frac{1}{6} \\ หาค่า C_3 :& C_3 & = & 1-\frac{1}{4}\left[\binom{4}{0}C_0 + \binom{4}{1}C_1 + \binom{4}{2}C_2\right] \\ & & = & 0 \\ หาค่า C_4 :& C_4 & = & 1-\frac{1}{5}\left[\binom{5}{0}C_0 + \binom{5}{1}C_1 + \binom{5}{2}C_2 + \binom{5}{3}C_3\right] \\ & & = & -\frac{1}{30} \end{array} \]

อย่างไรก็ตาม รูปแบบที่ Jakob Bernoulli ให้ความสนใจ แตกต่างจากเราเล็กน้อย ลองเปรียบเทียบความแตกต่างดูนะครับ

เริ่มจากรูปแบบของเราก่อน

$\sum\limits_{k=1}^{n}{k^m} = \displaystyle{\frac{1}{m+1}\sum _{k=0} ^{m} \binom{m+1}{k} C_k n^{m+1-k}}$

โดย $C_p$ หาจากความสัมพันธ์เวียนบังเกิด $\displaystyle{\sum _{k = 0} ^{p} \binom{p+1}{k} C_k = p+1}$ และ $C_0 = 1$

และนี่คือรูปแบบของ Jakob Bernoulli

$\sum\limits_{k=0}^{n-1}{k^m} = \displaystyle{\frac{1}{m+1}\sum _{k=0} ^{m} \binom{m+1}{k} B_k n^{m+1-k}}$

โดย $B_p$ เป็นจำนวน Bernoulli ตัวที่ $p$ หาจาก $\displaystyle{\sum _{k = 0} ^{p} \binom{p+1}{k} B_k = 0}$ และ $B_0 = 1$

เห็นได้ชัดว่า

\[ \begin{array}{rcl} \sum\limits_{k=1}^{n}{k^m} & = & n^m + \sum\limits_{k=0}^{n-1}{k^m} \\ \displaystyle{\frac{1}{m+1}\sum _{k=0} ^{m} \binom{m+1}{k} C_k n^{m+1-k}} & = & \displaystyle{n^m + \frac{1}{m+1}\sum _{k=0} ^{m} \binom{m+1}{k} B_k n^{m+1-k}} \end{array} \]

โดยการเทียบสัมประสิทธิ์จะได้ $C_k = B_k$ เมื่อ $k \neq 1$ และ $C_1 = 1 + B_1$

ตัวอย่างจำนวน Bernoulli และ $C_k$ บางค่า

\[ \begin{array}{c|ccccccccccccccc} k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\ \hline B_k & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{1}{42} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{5}{66} & 0 & -\frac{691}{2730} & 0 & \frac{7}{6} \\ \hline C_k & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{1}{42} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{5}{66} & 0 & -\frac{691}{2730} & 0 & \frac{7}{6} \\ \end{array} \]

ข้อสังเกต 3 : $B_{2k+1} = C_{2k+1} = 0$ เมื่อ $k \geqslant 1$ เสมอ

เราพิสูจน์ข้อสังเกตนี้ได้ง่ายจากข้อสังเกตที่ 2 คือ ผลรวมสัมประสิทธิ์ของกำลังคี่และกำลังคู่ในพหุนามหนึ่งๆ มีค่าเท่ากัน และมีค่าเป็น $\frac{1}{2}$ เสมอ และจาก $C_1 = \frac{1}{2}$

\[ \begin{array}{rcl} \frac{1}{2} & = & A_1 + A_3 + \cdots + A_{2k+1} เมื่อ k \geqslant 1\\ \frac{1}{2} & = & \frac{1}{m+1}\binom{m+1}{1}C_1 + \frac{1}{m+1}\binom{m+1}{3}C_3 + \cdots + \frac{1}{m+1}\binom{m+1}{2k+1}C_{2k+1}\\ 0 & = & \binom{m+1}{3}C_3 + \cdots + \binom{m+1}{2k+1}C_{2k+1}\\ \displaystyle{\binom{m+1}{2k+1}C_{2k+1}} & = & \displaystyle{-\sum _{r=1} ^{k-1}{\binom{m+1}{2r+1}C_{2r+1}}} เมื่อ k \geqslant 2 \end{array} \]

เนื่องจาก $C_3 = 0$ จะได้ $C_5 = 0$ จะได้ $C_7 = 0$ จะได้ $\cdots$

โดยใช้อุปนัยทางคณิตศาสตร์ จึงได้ $C_{2k+1} = B_{2k+1} = 0$ เมื่อ $k \geqslant 1$