ช่วยเรขาผมหน่อยครับ

[LightLucifer]

ช่วยพิสูจน์หน่อยครับว่า เมื่อลากจุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมใดๆโดยเรียงให้เป็นสีเหลี่ยมจะได้รูปสี่เหลี่ยมนั้นเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ขอแบบ PG อ่ะครับไม่เอาแบบเรขาคณิตวิเคราะห์

PS. ช่วงนี้รู้สึกโง่เรขาจังเลย :cry::cry:

[owlpenguin]

ให้ $A,B,C,D$ เป็นสี่เหลี่ยมใดๆ แล้วให้ $P,Q,R,S$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AB,BC,CD,DA$
พิสูจน์ว่า $PS//BD//QR$ แล้วทำในทำนองเดียวกันกับอีกคู่ ก็จบแล้วครับ :happy:

[areenart]

ช่วยทำโจทย์ขอนี้หน่อยน้าค้า
จงหาสมการเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรง X+2Y=100 และสัมผัสกับวงรี X^2+5Y^2=20
ไม่เข้าใจที่สัมผัสกับวงรีอ่าค่ะ มันสัมผัสยังไงหรอ?

[nongtum]

#3
การสัมผัส หมายถึงมันตัดวงรีที่จุดเดียว คือที่จุดสัมผัสครับ
เราทราบว่าสมการเส้นสัมผัสต้องอยู่ในรูป $x+2y=c,\ c$ เป็นค่าคงตัว
ดังนั้น จึงเหลือแต่เพียงการหา $c$ ที่ทำให้สมการ $(c-2y)^2+5y^2=20$ มีคำตอบเดียวครับ
อ้อ ถ้าได้ $c$ สองค่่าก็อย่าแปลกใจครับ เพราะเส้นสัมผัสที่ได้ต้องมีสองเส้น (วาดรูปแล้วจะเห็นชัดขึ้น)

[LightLucifer]

THX มากๆครับ ไว้สงสัยจะมาถามใหม่

[areenart]

ขอบคุนมากน้าค้า แต่ต้องขอโทดด้วย
ยังไม่เค้าใจเลยอ่า
ช่วยแสดงวิธีทำให้ดูหน่อยได้มั้ยค้า

[LightLucifer]

มีอีกข้อครับอันนี้ค่ายมีนาปี 49

สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมแนบในวงกลมที่มี P เป็นจุดศูนย์กลาง จุด O เป็นจุดศูนย์รวมตั้งฉาก ต่อ AP พบเส้นรอบวงของวงกลมที่จุด K ต่อ OK ตัด BC ที่จุด Q

จงพิสูจน์ว่า BQ=QC

ปล. เรื่องที่เกียวกับ orthocenter ผมไม่ถนัดเลยอ่ะครับเลยอยากรู้มีเทคนิคอย่างไรบ้างอ่ะครับรบกวนด้วยๆ

[GoRdoN_BanksJunior]

มีอีกข้อครับอันนี้ค่ายมีนาปี 49

สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมแนบในวงกลมที่มี P เป็นจุดศูนย์กลาง จุด O เป็นจุดศูนย์รวมตั้งฉาก ต่อ AP พบเส้นรอบวงของวงกลมที่จุด K ต่อ OK ตัด BC ที่จุด Q

จงพิสูจน์ว่า BQ=QC

ปล. เรื่องที่เกียวกับ orthocenter ผมไม่ถนัดเลยอ่ะครับเลยอยากรู้มีเทคนิคอย่างไรบ้างอ่ะครับรบกวนด้วยๆ

คือ?:confused:

[LightLucifer]

#8

จุดตัดของเส้นที่ลากจากจุดยอดมาตั้งฉากกับฐานทั้งสามเส้นครับ

[nongtum]

#7
ลองลาก PQ แล้วลองดูไอเดียในหน้านี้ครับ (http://www.pballew.net/orthocen.html) อาจจะต้องลากเส้นเพิ่มนิดหน่อยนะครับ คิดว่าน่าจะออกนะ

ส่วนเรื่องเทคนิด ผมคงบอกอะไรมากไม่ได้ เพราะผมก็ไม่รู้เหมือนกัน (ฮา...)

#5
ไม่เข้าใจตรงไหนหรือครับ อยากให้ลองทดเองดูก่อนแล้ว ลองจี้จุึดที่สงสัยมาเป็นจุดๆดีกว่าครับ
ผมคิดว่าปัญหาน่าจะอยู่ที่ไม่เข้าใจนิยามและทฤษฎีมากกว่านะครับ

[LightLucifer]

THX for HINT ครับ แล้วผมจะลองพยามดู ^^

[areenart]

#3
การสัมผัส หมายถึงมันตัดวงรีที่จุดเดียว คือที่จุดสัมผัสครับ
เราทราบว่าสมการเส้นสัมผัสต้องอยู่ในรูป $x+2y=c,\ c$ เป็นค่าคงตัว
ดังนั้น จึงเหลือแต่เพียงการหา $c$ ที่ทำให้สมการ $(c-2y)^2+5y^2=20$ มีคำตอบเดียวครับ
อ้อ ถ้าได้ $c$ สองค่่าก็อย่าแปลกใจครับ เพราะเส้นสัมผัสที่ได้ต้องมีสองเส้น (วาดรูปแล้วจะเห็นชัดขึ้น)


ทำอย่างไรต่อค่ะ หนูติดตรงนี้อ่ะ:please:

[nongtum]

#12
พอได้ y แล้ว y จะมีค่าเดียว(สำหรับแต่ละ c)เมื่อจำนวนใต้รากมีค่าเป็นศูนย์ครับ

[areenart]

#12
พอได้ y แล้ว y จะมีค่าเดียว(สำหรับแต่ละ c)เมื่อจำนวนใต้รากมีค่าเป็นศูนย์ครับ

ค่าใน รูท = 0 .....สงสัยว่า ทำไม่มากกว่าหรือเท่ากับ 0..ซึ่งจะได้ $-6\leqslant c\leqslant 6$
ในกรณีในรูทเท่ากับ 0 จะได้ $c =\pm 6 $
นำไปแทนสมการได้ $y = \frac{4}{3}$ และ$ y =-\frac{4}{3} $
ช่วยอธิบายให้ชัดๆหน่อยค่ะ แบบว่าฐานยังไม่แน่นอ่ะ ขอบคุณค่ะ

[nongtum]

#14
ถ้า $-6<c<6$ มันจะได้ y สองค่าที่ต่างกัน ทำให้ได้ x สองค่าที่ต่างกัน ซึ่งหมายถึงเส้นตรงที่มีค่า c ในช่วงนี้จะตัดวงรีที่สองจุดไงครับ
(ตัวอย่าง ลองวาดกราฟ เมื่อ c=0 ในกราฟด้านบนสิครับ)

ตอนนี้เราสนใจแค่สมการเส้นสัมผัส คือจุดที่เส้นตรงตัดกับวงรีที่จุดๆเดียว ถึงบอกว่า y จะมีค่าเดียว(สำหรับแต่ละ c) ไงครับ

[areenart]

คำตอบสุดท้าย สมการสัมผัสคือ $x+2y=6 กะ x+2y=-6 $ ถูกใช่ไหมค่ะ

[nongtum]

#16
ใช่แล้วครับ

[areenart]

รบกวนอีกข้อนะพี่ พรุ่งนี้สอบค่ะ
จงหาค่า k ที่เป็นบวกและทำให้กราฟของสมการ และสัมผ้สแกน x
$ 9{x}^{2} +16{y}^{2} -18x-32ky+16{k}^{2} -135 =0$

[nongtum]

โจทย์เป็นแบบนี้ใช่ไหมครับ

จงหาค่า k ที่เป็นบวกและทำให้กราฟของสมการเป็นวงรี และสัมผัสแกน x
$ 9{x}^{2} +16{y}^{2} -18x-32ky+16{k}^{2} -135 =0$
ถ้าใช่ สมการนี้ัีสามารถจัดรูปใหม่ได้เป็น $$\frac{(x-1)^2}{4^2}+\frac{(y-k)^2}{3^2}=1$$กราฟนี้เป็นวงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่ (1,k) มีความยาวครึ่งแกนเอกและครึ่งแกนโทเป็น 4 และ 3 หน่้วยตามลำดับ
ถ้าต้องการให้กราฟสัมผัสแกน x โดยที่ k เป็นบวก จุดศูนย์กลางต้องอยู่เหนือแกน x และระยะจากจุดศูนย์กลางถึงแกน x ต้องเท่ากับครึ่งความยาวแกนโท
ดังนั้น จุด (1,k) ห่างจากแกน x เป็นระยะ 3 หน่วย นั่นคือ k=3

[areenart]

ขอบคุณค่ะ แถมอีกข้อนะค่ะ
จงหาสมการพาราโบล่าที่มีจุดยอดที่จุดกำเนิด ,Focus อยู่บนวงกลม
$4{x}^{2}+4{y}^{2}-4x+2y+120=0 $ และมีแกน X เป็นแกนสมมาตร

[nongtum]

#20
สมการ $4{x}^{2}+4{y}^{2}-4x+2y+120=0$ ไม่ใช่สมการวงกลมนะครับ เพราะพอจัดรูปแล้วจะได้
$\quad 4(x+\frac12)^2+4(y-\frac14)^2=-120+1+\frac14<0$ ครับ
ลองเช็คโจทย์อีกทีนะครับ

[areenart]

ขอบคุณมากค่ะ โจทย์ผิดจริงๆด้วย

[LightLucifer]

#7
ลองลาก PQ แล้วลองดูไอเดียในหน้านี้ครับ (http://www.pballew.net/orthocen.html) อาจจะต้องลากเส้นเพิ่มนิดหน่อยนะครับ คิดว่าน่าจะออกนะ

ส่วนเรื่องเทคนิด ผมคงบอกอะไรมากไม่ได้ เพราะผมก็ไม่รู้เหมือนกัน (ฮา...)

#5
ไม่เข้าใจตรงไหนหรือครับ อยากให้ลองทดเองดูก่อนแล้ว ลองจี้จุึดที่สงสัยมาเป็นจุดๆดีกว่าครับ
ผมคิดว่าปัญหาน่าจะอยู่ที่ไม่เข้าใจนิยามและทฤษฎีมากกว่านะครับ

ผมยอมแล้วครับ :sweat::sweat:
รบกวนคุณ nongtum ข่วยเฉลยทีครับ :cry:

[passer-by]

สำหรับคำถามของคุณ Lightlucifer

ลองต่อ AO ตัด BC ที่ X และตัด (ABC) ที่ Y ดูนะครับ ( Note : (ABC) คือวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC)

จากนั้นสังเกตว่า

(1) BC ขนานกับ YK เพราะ AO ตั้งฉากกับ BC และมุม AYK เป็นมุมฉาก

(2) OX=XY (คุณสมบัติของ orthocenter ซึ่งพิสูจน์ไม่ยากครับ ลองลากส่วนสูงตัดกันและ พิจารณาสามเหลี่ยม OCY)

ผลที่ตามมาจาก (1),(2) คือ OQ= QK

แต่ AP=PK ด้วย ดังนั้น AO ขนานกับ PQ $ \Rightarrow$ PQ ตั้งฉากกับ BC $ \Rightarrow$ BQ= QC

[LightLucifer]

THX ครับๆ ขอโทษทีที่ตอบช้าครับไม่ได้แตะคอมมาหลายสิบ ชม. =="