หนังสือ "หลักการพิสูจน์เรขาคณิต" โดยอดีตอาจารย์ รร.เตรียมอุดมศึกษา

[Switchgear]

เมื่อวันเสาร์ที่ผ่านมา ผมแวะร้านหนังสือเก่าในห้าง Union Mall ลาดพร้าว และได้หนังสือเก่าอันทรงคุณค่ามาเล่มหนึ่ง
ชื่อหนังสือ "หลักการพิสูจน์เรขาคณิต" โดย นายลัยอาจ ภมะราภา อดีตอาจารย์สอนเรขาคณิต รร.เตรียมอุดมศึกษา
ช่วงปี 2481-2505 พิมพ์โดย ไทยวัฒนาพานิช เมื่อปี 2505 ความหนา 163 หน้า

ภายในเล่มอธิบายหลักการพิสูจน์เรขาคณิต พร้อมตัวอย่างที่สมบูรณ์แบบมาก 120 ข้อ ตามด้วยแบบฝึกหัด 80 ข้อ
(ซึ่งไม่มีเฉลย) อ้างอิงตำราของ Hall เป็นเกณฑ์ตามยุคสมัยนั้น

ผมไม่อยากเอาความสมบูรณ์ในการเขียนบทพิสูจน์ของหนังสือเล่มนี้ไปเปรียบเทียบกับ "เรขาคณิต" ของ สอวน.
เพราะกลัวจะเสียน้ำใจกัน ...

ขอแนะนำว่าใครมีโอกาสเข้าห้องสมุด รร.เตรียมอุดมฯ หรือที่ไหนที่เก็บตำราสุดยอดแบบนี้ไว้ น่าจะถ่ายเอกสาร
มาศึกษาเพิ่มพูนความรู้ด้านนี้ (สภาพหนังสือที่ผมได้มา อ่านได้ชัด แต่กระดาษเก่ามากตามกาลเวลา ผมไม่กล้า
แม้แต่จะสแกนเก็บไว้ เพราะหนังสือคงพังทันทีที่ผมวางทาบกับสแกนเนอร์)

อยากบอกว่า หนังสือนี้เขียนได้ประทับใจผมที่สุด ในบรรดาหนังสือเกี่ยวกับการพิสูจน์เรขาคณิต ภาคภาษาไทย!

ใครเคยอ่านหนังสือเล่มนี้บ้าง ... โดยเฉพาะเด็กเตรียม! (ไม่รู้ว่าในห้องสมุด รร. จะมีหรือเปล่า ?)

[Switchgear]

สารบัญของหนังสือเล่มนี้ ประกอบด้วย

บทนำ: การเตรียมทฤษฎีบทเพื่อสะดวกแก่การใช้, การย่อเรขาคณิต, การเขียนรูป, ข้อบกพร่องบางประการ, สิ่งที่ใช้อ้าง, หลักการคิด
บทที่ 1: หลักการคิดด้าน 2 ด้านเท่ากัน
บทที่ 2: หลักการพิสูจน์มุมเป็นมุมฉาก หรือเส้นตรงตั้งฉากกัน
บทที่ 3: หลักการพิสูจน์เส้นตรง 2 เส้นขนานกัน
บทที่ 4: หลักการพิสูจน์จุด 4 จุด เป็น Concyclic
บทที่ 5: หลักการพิสูจน์จุดอยู่ในแนวเส้นตรงอันเดียวกัน (Collinear)
บทที่ 6: หลักการพิสูจน์พบกันที่จุดๆ หนึ่งหรือจุดจวบ (Concurrent)
บทที่ 7: หลักการพิสูจน์ $\Delta^s$ คล้ายกัน (Similar)
บทที่ 8: หลักการพิสูจน์ด้านคูณกันหรือเป็นสัดส่วนกัน
บทที่ 9: บรรดาขั้นสูงต่ำ (Maxima & Minima)
บทที่ 10: แบบระคน
แบบฝึกหัด

[ความฝัน]

น่าสนใจดีมากเลยครับ ร้านหนังสือชื่ออะไรเหรอครับ

ผมก็ชอบเรขาคณิตนะครับ แต่อ่านภาษาอังกฤษไม่ออก

เลยหาแต่หนังสือของไทยอ่าน แต่ที่มีอยู่จะไม่ค่อยเน้นพิสูจน์

[Switchgear]

น่าสนใจดีมากเลยครับ ร้านหนังสือชื่ออะไรเหรอครับ

ผมก็ชอบเรขาคณิตนะครับ แต่อ่านภาษาอังกฤษไม่ออก

เลยหาแต่หนังสือของไทยอ่าน แต่ที่มีอยู่จะไม่ค่อยเน้นพิสูจน์

ร้านหนังสือชื่อ "แสงเจริญ" อยู่ติดกับ Top ชั้นใต้ดิน แต่เล่มนี้คงมีแค่เล่มเดียว
ผมแวะไปอุดหนุนลุงเขาบ่อยๆ ตั้งแต่ยังอยู่ชั้นใต้ดินของ Central ลาดพร้าว

มีหนังสือเก่าหลายเล่ม โดยเฉพาะชุดของ Hall ทั้งหมด ที่ผมซื้อได้จากร้านนี้
แต่ปัจจุบันดูเหมือนในร้านจะเหลือแต่เล่ม School Algebra ??

ใครสนใจหนังสือเก่า คงต้องแวะไปดูบ่อยๆ เพราะของเก่าต้องใช้เวลาตามหา

สำหรับเรขาคณิตเล่มนี้ ผู้เขียนขึ้นต้นคำนำไว้ดังนี้ :-
ข้าพเจ้าได้ทำการสอนวิชาเรขาคณิตมาตั้งแต่โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษาเริ่มตั้ง
จนกระทั่งถึงปัจจุบัน (พ.ศ. 2481-2505) นับเป็นเวลาย่างเข้าปีที่ 25 แล้ว
ที่ข้าพเจ้าได้หมกมุ่นอยู่กับวิชานี้ ก็นับว่าพอจะมีประสพการณ์มากพอสมควร

เพื่อนชาว MC คิดว่ามีคนในประเทศไทยกี่คนครับ ที่ขึ้นต้นคำนำอย่างนี้ได้ ...

[Keehlzver]

เข้าใจค้นหาจริงๆนะครับน้าเล็ก ไอร้านเก่าๆที่อยู่ใกล้ๆร้านเพลินน่ะครับ ผมอยากถามว่ามีึความเป็นไปได้ที่จะเจอหนังสือเล่มนี้ไหมครับ เพราะอยู่ใกล้บ้านผมมาก 3 ป้ายรถเมลล์ก็ถึง ผมจะได้ไปดูด้วยเลย ใจจริงๆก็อยากอ่านตามน้าเล็กอยู่พอดี เเต่ไม่รู้จะเริ่มจากตรงไหน หนังสือ School Geometry ผมก็มีถึงเเค่ Part 3 จาก 6 Part พอจะอ่านเล่มไหนทดเเทนได้บ้างครับ สำหรับ Plane Geometry ส่วนพวกเนื้อหาอื่นๆอย่าง NT หรือ CB ไม่ทราบว่าอ่านเล่มไหนเหรอครับ พอจะเเนะนำผมได้บ้างไหม

ผมค้นกระทู้เเละก็ข้อความเก่าๆของน้าเล็กดูเเล้ว เห็นถามผมว่า ผมอยู่ค่ายไหน ขอตอบว่าผมไม่เคยเข้าค่ายครับ สอบเข้าค่าย 1 ไม่ได้เมื่อปีที่เเล้ว ปีนี้เป็นโอกาสสุดท้ายของผมครับ เเละส่้วนนี้พอจะเเนะนำการอ่านหนังสือหรือทำโจทย์ให้ผมสอบติดซักทีได้หรือเปล่าครับ:please:

[Switchgear]

เข้าใจค้นหาจริงๆนะครับน้าเล็ก ไอร้านเก่าๆที่อยู่ใกล้ๆร้านเพลินน่ะครับ ผมอยากถามว่ามีึความเป็นไปได้ที่จะเจอหนังสือเล่มนี้ไหมครับ เพราะอยู่ใกล้บ้านผมมาก 3 ป้ายรถเมลล์ก็ถึง ผมจะได้ไปดูด้วยเลย ใจจริงๆก็อยากอ่านตามน้าเล็กอยู่พอดี เเต่ไม่รู้จะเริ่มจากตรงไหน หนังสือ School Geometry ผมก็มีถึงเเค่ Part 3 จาก 6 Part พอจะอ่านเล่มไหนทดเเทนได้บ้างครับ สำหรับ Plane Geometry ส่วนพวกเนื้อหาอื่นๆอย่าง NT หรือ CB ไม่ทราบว่าอ่านเล่มไหนเหรอครับ พอจะเเนะนำผมได้บ้างไหม

ผมค้นกระทู้เเละก็ข้อความเก่าๆของน้าเล็กดูเเล้ว เห็นถามผมว่า ผมอยู่ค่ายไหน ขอตอบว่าผมไม่เคยเข้าค่ายครับ สอบเข้าค่าย 1 ไม่ได้เมื่อปีที่เเล้ว ปีนี้เป็นโอกาสสุดท้ายของผมครับ เเละส่้วนนี้พอจะเเนะนำการอ่านหนังสือหรือทำโจทย์ให้ผมสอบติดซักทีได้หรือเปล่าครับ:please:

1. ร้านหนังสือเก่าที่อยู่ใกล้ร้านเพลิน คงไม่มีทั้งชุดของ Hall และหนังสือตามหัวข้อกระทู้นี้ ... เสียใจด้วยครับ!

2. ไม่เข้าใจว่าทำไมหนังสือ School Geometry มีถึงเเค่ Part 3 ? เข้าใจว่าคงเป็นฉบับแปลไทย เพราะเขา
มักจะแปลไม่เต็มเล่ม (ตรีโกณก็เหมือนกัน) แนะนำให้สำเนาจากห้องสมุด รร. ดังๆ น่าจะพอมีอยู่

3. หากพอรู้พื้นฐานเรขาคณิตแล้ว แนะนำให้ฝึกโจทย์จาก โลกเรขาคณิต ของ อ.ดำรงค์ ทิพย์โยธา ซึ่งมีโจทย์
เยอะมาก (จนดูแล้วท้อไปเลย!) หาซื้อได้ที่ศูนย์หนังสือจุฬาฯ

4. พวก Number theory และ Combinatorics คงต้องอ่านจากของโครงการ สอวน. แต่ล่าสุดเมื่อเสาร์
ที่ผ่านมาผมแวะไปศูนย์หนังสือจุฬา มีของ รร. มหิดลฯ ทำออกมาด้วย รูปเล่มสวยงาม รวบรวมจากเอกสาร
เข้าค่ายฯ ซึ่งทำร่วมกับสมาคมคณิตศาสตร์และ สสวท. น่าอ่านมากทีเดียว (ผมซื้อมาเรียบร้อย)

5. แนะนำให้ซื้อเล่มเฉลยข้อสอบคัดเลือก สอวน. มาฝึกทำซ้ำหลายๆ รอบ จะทำให้มองแนวทางที่จะไปอ่าน
เพิ่มเติมจากเล่มแยกแต่ละหัวข้อได้ชัดเจนขึ้น

ขอให้โชคดีในปีนี้ครับ :great:

[Switchgear]

ข้อสอบ
ท่านคิดว่าโรงเรียนต่อไปนี้ โรงเรียนใดที่ไม่น่าจะมีหนังสือ "หลักการพิสูจน์เรขาคณิต" โดย นายลัยอาจ ภมะราภา
อยู่ในห้องสมุดของโรงเรียน
ก. รร.เตรียมอุดมศึกษา
ข. รร.สวนกุหลาบวิทยาลัย
ค. รร.วัดนางแก้ว
ง. รร.หาดใหญ่วิทยาลัย
จ. รร.มหิดลวิทยานุสรณ์

หากเป็นผมเอง ผมคงเลือกข้อ ค. รร.วัดนางแก้ว ... แต่ข้อ ค. เป็นคำตอบที่ผิด!
จากการค้นหาใน Google ผมพบว่ามีแต่ รร.วัดนางแก้ว เท่านั้น ที่มีหนังสือนี้อยู่แน่นอน
หากไม่เชื่อก็ลองค้นหาจาก link ข้างล่างนี้ (ต้องค้นชื่อหนังสือหรือผู้แต่ง จาก link นี้)
http://schoollibraryservice.com/libnangkaw_chk.php

ส่วนอีก 4 ตัวเลือกที่เหลือ ยังไม่รู้ว่าจะมี รร. ไหนบ้างที่มีหนังสือนี้อยู่ ???

เหลือเชื่อไหมครับ ... (ว่าแต่ว่า ใครพอจะแนะนำได้บ้างว่า รร.วัดนางแก้ว อยู่ไหน ?? เผื่อมีคนสนใจไปยืมถ่ายเอกสาร)

[หยินหยาง]

#7
ผมเข้าตาม link ที่ว่าไม่เห็นมีนี่ครับ:confused:
ค้นทั้งชื่อผู้แต่ง และชื่อหนังสือ ก็ไม่เห็นมี
แก้ไข เจอแล้วครับ

[Keehlzver]

มี Part 1-3 จริงๆครับ 4-6 ไม่มีเป็นเล่มเล็กมากๆพิมพ์เมื่อปี 1932 ครับ มีการพิมพ์ออกมาหลายเวอร์ชันมาก สั่งมาจากร้านหนังสือเก่าที่พะเยา ส่วนเล่มของอาจารย์ดำรงค์ผมซื้อมาเรียบร้อยเเล้วเเต่ยังไม่ได้อ่านจริงจังครับ ผมรบกวนบอกชื่อหนังสือที่รร.มหิดลฯทำออกมาได้ไหมครับ จะได้หาง่ายๆหน่อย ผมขอถามอีกเรื่องคือเวลาจะทำโจทย์สอวน.เริ่มจากเล่มสีชมพูๆได้เลยหรือเปล่าครับ ผมควรมีพื้นฐานม.ปลายทั้งหมดก่อนถึงจะพอทำได้ใช่ไหมครับ? :mellow:

[Switchgear]

มี Part 1-3 จริงๆครับ 4-6 ไม่มีเป็นเล่มเล็กมากๆพิมพ์เมื่อปี 1932 ครับ มีการพิมพ์ออกมาหลายเวอร์ชันมาก สั่งมาจากร้านหนังสือเก่าที่พะเยา ส่วนเล่มของอาจารย์ดำรงค์ผมซื้อมาเรียบร้อยเเล้วเเต่ยังไม่ได้อ่านจริงจังครับ ผมรบกวนบอกชื่อหนังสือที่รร.มหิดลฯทำออกมาได้ไหมครับ จะได้หาง่ายๆหน่อย ผมขอถามอีกเรื่องคือเวลาจะทำโจทย์สอวน.เริ่มจากเล่มสีชมพูๆได้เลยหรือเปล่าครับ ผมควรมีพื้นฐานม.ปลายทั้งหมดก่อนถึงจะพอทำได้ใช่ไหมครับ? :mellow:

ชื่อหนังสือที่ รร.มหิดลฯ ทำออกมา คือ

1. ทฤษฎีจำนวน เพื่อส่งเสริมอัจฉริยภาพคณิตศาสตร์สำหรับเด็ก
http://www.chulabook.com/description.asp?barcode=9789740013310

2. คอมบินาทอริก เพื่อส่งเสริมอัจฉริยภาพคณิตศาสตร์สำหรับเด็ก
http://www.chulabook.com/description.asp?barcode=9789740013327

3. เรขาคณิต เพื่อส่งเสริมอัจฉริยภาพคณิตศาสตร์สำหรับเด็ก
http://www.chulabook.com/description.asp?barcode=9789740013303

4. พีชคณิต
http://www.chulabook.com/description.asp?barcode=9789740013334

5. การวัด การประมาณและความน่าจะเป็น เพื่อส่งเสริมอัจฉริยภาพคณิตศาสตร์สำหรับเด็ก
http://www.chulabook.com/description.asp?barcode=9789740013341

หมายเหตุ: ผมซื้อเฉพาะ 3 เล่มแรก เพราะเล่ม 4 กับ 5 ดูแล้วค่อนข้างพื้นฐานเกินไป

--------------------------------------

เวลาจะทำโจทย์ สอวน. เริ่มจากเล่มสีชมพูๆได้เลยหรือเปล่าครับ ผมควรมีพื้นฐาน ม.ปลาย ทั้งหมดก่อนใช่ไหมครับ?

1. ข้อสอบ สอวน. จริงๆ เน้นความรู้แค่ ม.ต้น แต่ถ้าใครรู้ ม.ปลาย บ้างเล็กน้อย ก็ย่อมได้เปรียบมากขึ้น แต่ไม่ต้อง
อ่านทุกบท แค่เน้นตรีโกณให้พอใช้ได้ และรู้นิยามของ log&exp ไว้บ้างก็พอ บทอื่นผมว่าไม่จำเป็นนัก

2. เล่มสีชมพูๆ คงหมายถึงรวมข้อสอบปี 2543-2551 ของวีระพันธ์ หากมีพื้น ม.ต้น ทั้งหมดแล้ว ก็เริ่มฝึกได้เลย เพราะ
ใช้ความรู้พื้นฐานไม่มาก แต่อาศัยพื้นฐานนั้นคิดโจทย์ที่สุดขีดของการประยุกต์ให้ได้ ... ต้องฝึกมากอย่างเดียว
http://www.se-ed.com/eShop/Products/Detail.aspx?No=9786117082061
http://www.chulabook.com/description.asp?barcode=9786117082061

3. ผมแนะนำให้หาเล่มรวมข้อสอบปี 2549-2552 ของรัชพล มาฝึกด้วย เพราะแนวทางเฉลยสั้นกระชับกว่าของชูชัย
http://www.se-ed.com/eShop/Products/Detail.aspx?No=9786167306063
http://www.chulabook.com/description.asp?barcode=9786167306063

4. ขอแนะนำหนังสือ ตะลุยโจทย์คณิตศาสตร์กิฟเตด ม.ต้น (HI-SPEED GIFTED MATH M. 1-2-3) ซึ่งอธิบาย
เนื้อหาสอบแข่งขันได้ดี และมีโจทย์มากสะใจ (หนาประมาณ 800 หน้า) ค่อนข้างตรงแนวเตรียมสอบ สอวน.
http://www.se-ed.com/eshop/Products/Detail.aspx?No=9786167082127
http://www.chulabook.com/description.asp?barcode=9786167082127

5. อย่ายอมอ่านเฉลยก่อนคิดเอง! ไม่งั้นฝึกยังไงก็ไม่เก่งขึ้น ต้องคิดแล้วคิดอีก จนคิดไม่ออกจริงๆ แล้วค่อยเปิดเฉลย
และปิดหนังสือแล้วลองคิดซ้ำอีกครั้ง จนกว่าจะคิดเองได้ ... เวลาอ่านเฉลยมักคิดว่าเข้าใจ พอปิดแล้วคิดเองมักจะ
คิดซ้ำไม่ได้ ... และทุกข้อที่เขาเฉลย ต้องพยายามคิดหาเฉลยที่ต่างวิธีและสั้นกว่าเขา จะทำให้เราเก่งขึ้นไปอีก

6. การแสวงหาความรู้ ไม่มีลำดับที่แน่นอน ต้องวนซ้ำไปมา ... อย่ายึดหลักเกณฑ์อะไรตายตัว!

[Switchgear]

หนังสือตามหัวข้อกระทู้นี้ อ้างอิงลำดับทฤษฎีบท (ท.บ.) ตามหนังสือของ Hall ซึ่งผมเคยทำกระทู้ไว้
ชื่อว่า ตะลุยโจทย์เรขาคณิต (Geometry) ตอน "78 กระบวนท่า"
เพื่อนชาว MC ที่ยังไม่เคยอ่าน ก็แวะเข้าไปตาม Link ต่อไปนี้
http://www.vcharkarn.com/vcafe/51345/1

ผมจะทยอยนำความรู้จากหนังสือนี้ มานำเสนอให้อ่านกัน ตอนนี้ผมยิ่งอ่านยิ่งชอบ เพราะไม่เคยเจอ
หนังสือที่สอนกระบวนการคิดโจทย์เรขาคณิตได้ดีขนาดนี้ในภาคภาษาไทย! สมกับเป็นหนังสือที่
กลั่นจากประสพการณ์ 25 ปีของผู้แต่ง :great:

[Switchgear]

คำนำ

ข้าพเจ้าได้ทำการสอนวิชาเรขาคณิตมาตั้งแต่โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษาเริ่มตั้งจนกระทั่งถึงปัจจุบัน (พ.ศ. 2481-2505)
นับเป็นเวลาย่างเข้าปีที่ 25 แล้วที่ข้าพเจ้าได้หมกมุ่นอยู่กับวิชานี้ ก็นับว่าพอจะมีประสพการณ์มากพอสมควร เท่าที่เคย
ผ่านมาแล้วสังเกตเห็นว่านักเรียนมักจะคิดเรขาคณิตไม่ใคร่ออก ไม่ทราบว่าเพราะเหตุอะไร ตามความคิดของข้าพเจ้า
(อาจจะผิดก็ได้) คาดว่าเพราะนักเรียนขาดหลักเกณฑ์ในการคิดประการหนึ่ง ขาดตัวอย่างที่จะโยงให้มีความคิดแตกฉานขึ้น
และมีความเข้าใจยังไม่ชัดเจนเพียงพออีกประการหนึ่ง ข้าพเจ้าเขียนคู่มือเล่มนี้ขึ้นเพื่อให้หลักเกณฑ์บางประการพร้อมด้วย
ตัวอย่างประกอบมากพอสมควร เพื่อเป็นแนวทางให้พอจะคิดเรขาคณิตได้บ้าง และขอให้เข้าใจว่าหลักการคิดเรขาคณิตนั้น
มีมากมายหลายแบบ แต่ที่ข้าพเจ้าแนะนำนี้เป็นเพียงแบบหนึ่งเท่านั้น และมิใช่ว่าพออ่านคู่มือเล่มนี้จบแล้ว จะทำให้คิด
เรขาคณิตได้ทุกคน

ในการเขียนรูป โดยเฉพาะเรื่องมุมนั้น ข้าพเจ้าเขียนไว้เป็น 3 แบบด้วยกัน คือ เขียนแบบธรรมดาทั่วๆ ไปเป็นตัวอักษร
ตัวพิมพ์ 3 ตัว เช่น $A\hat{B}C$ (อาจจะเอาเครื่องหมายมุมไว้ข้างหน้าก็ได้ $\angle ABC$) เขียนเป็นอักษรตัวเดียว เช่น $\;\hat{x}, \;\hat{y}$
และเขียนเป็นตัวเลข เช่น $\;\hat{1}, \;\hat{2}, \;\hat{3}\;$ ในรูปเดียวกันอาจจะมีทั้ง 3 อย่างก็ได้

การอ้างตัวบท เนื่องจากการศึกษาแผนใหม่ ไม่ให้อ้างตัวบทที่เท่านั้นที่เท่านี้ แต่ให้อ้างถึงเรื่องของตัวบทนั้นไว้อย่างย่อๆ
ในการพิสูจน์ตัวอย่างต่างๆ จึงมิได้อ้างตัวบทที่เท่าไรไว้ แต่อ้างโจทย์ไว้เพียงย่อๆ หรืออ้างเหตุของตัวบทก่อน
แล้วจึงอ้างผลตามมา
เช่น $\;\;\because \;$ เป็นมุมตรงข้ามของเส้นตรง 2 เส้นตัดกัน
$\qquad \therefore \;$ มุมจึงเท่ากัน (แล้วบอกว่ามุมอะไร = มุมอะไร)
แต่ในการย่อจำเป็นต้องอ้างตัวบทที่เท่าไรไว้เพื่อให้สั้นเข้า

ตัวอย่างที่ทำไว้ จัดไว้เป็นเรื่องๆ เช่น เรื่องด้านเท่ากัน ด้านตั้งฉากกัน ด้านขนานกันฯ และเรื่องหนึ่งๆ ยังแยก
การคิดออกเป็นพวกๆ เช่น เรื่องด้านเท่ากัน อาศัย ท.บ. 6, 21, 4, 7, 17, 18, 34, 42, 45 และ 47 (ดูบทที่ 1)
การเรียงลำดับความยากง่ายมิได้เรียงไปตามตัวอย่างที่มากน้อย แต่เรียงไปตามเรื่องหรือพวกเป็นส่วนมาก เช่น
ตัวอย่างที่ 12 (เป็นเรื่องด้านเท่ากัน) อาจจะยากกว่าตัวอย่างที่ 81 (เรื่อง $\Delta^s$ เป็น Similar) ก็ได้

การพิสูจน์ ได้พิสูจน์ให้ดูทั้ง 2 แบบ คือ แบบเก่า (แต่การอ้างตัวบทเป็นแบบใหม่) ไม่ได้แบ่งเป็น 2 ช่อง
คงรวมกันอยู่ในช่องเดียวกันทั้งเหตุและผล อ้างเหตุและผลโยงกันไปเป็นลูกโซ่ ดูยากแต่เรื่องกลมกลืนกันดี
ส่วนแบบใหม่ (ตั้งแต่ตัวอย่างที่ 81-106) แบ่งออกเป็น 2 ช่อง ช่องผล (อยู่ทางซ้ายมือ) เรียกว่า เนื้อความ (Statements)
ช่องเหตุ (อยู่ทางขวามือ) เรียกว่า เหตุผล (Reason) เขียนผลทางซ้ายมือ (ช่องเนื้อความ) ตามลำดับอักษรหรือเลข
แล้วเขียนเหตุผลลงทางขวามือ (ช่องเหตุผล) ตามลำดับอักษรหรือเลขที่ตรงกับช่องเนื้อความ

การย่อ เพื่อช่วยในการจำจึงได้ย่อไว้ให้ดูทุกๆ ตัวอย่าง (เวลาทำสอบไม่ต้องเขียนย่อลงไป) ส่วนเลขที่
ของตัวบทที่อ้างกำกับไว้ตรงกับของหนังสือ Hall & Stevens

ในการเรียบเรียงคู่มือนี้ข้าพเจ้าได้อาศัยหนังสือเรขาคณิตของ H.S. Hall & F.H. Stevens, C.V. Durell,
A.M. Welchons, W.R. Krickenberger, Helen R. Pearson, G. Pearson ข้อสอบของมหาวิทยาลัย
Oxford, Cambridge, London, จุฬาลงกรณฯ ข้อสอบประโยคเตรียมอุดมศึกษา ตลอดทั้งข้อสอบของสถาบัน
การศึกษาต่างๆ ข้าพเจ้าขอขอบพระคุณท่านผู้เป็นเจ้าของหนังสือทุกๆ ท่านด้วย

สุดท้ายนี้หวังว่าคู่มือเล่มนี้ จะเป็นประโยชน์แก่ท่านผู้สนใจบ้างไม่มากก็น้อย

ลัยอาจ ภมะราภา
2 มิ.ย. 05

(บังเอิญมากที่ตรงกับวันนี้พอดี แต่เป็นเมื่อ 48 ปีก่อน)

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

เห็นคุณswitchgear แนะนำมาขนาดนี้ ยากเห็นซักกระบวนท่าในคัมภีร์แล้วครับ

[Switchgear]

หากเทียบความโหดหินของโจทย์ในเล่มนี้ คงสู้ความยากของโจทย์ IMO
หรือเล่ม โลกเรขาคณิต ของ อ.ดำรงค์ ไม่ได้

แต่เล่มนี้มีจุดเด่นที่คำแนะนำในการรับมือกับโจทย์แต่ละแบบมากกว่า
ซึ่งหนังสืออื่นอาจจะแค่เอาโจทย์มารวมให้เยอะและยากเข้าไว้ แต่ไม่มี
เทคนิคหรือแนวคิดที่ชัดเจนในการแก้โจทย์ที่ยำไว้เหล่านั้น ...

[Switchgear]

มาเริ่มดูเนื้อหาเปิดเล่มกันดีกว่า :-)

บทนำ
การเตรียมทฤษฎีบทเพื่อสะดวกแก่การใช้

เนื่องจากการคิดเรขาคณิตต้องอยู่ในเวลาจำกัด ดังนั้นจึงควรแบ่งทฤษฎีบทออกเป็นพวกๆ ไว้ เพื่อช่วยให้การคิดรวดเร็วขึ้น
ต่อไปนี้เป็นเพียงตัวอย่างที่จะแบ่งทฤษฎีบทเพื่อช่วยในการคิด

1. ยึดเหตุเป็นหลัก กล่าวคือรวบรวมเอาทฤษฎีบทที่มีเหตุเหมือนกัน แต่มีผลต่างๆ กัน มารวมกันไว้ เช่น

ก. มีเหตุ เส้นสัมผัสวง (Tangent) ก็อาจมีผลได้ดังต่อไปนี้
I $\;\;\quad$ ตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส (ท.บ. 46)
II $\;\quad$ มีได้ 2 เส้น เมื่อลากจากจุดภายนอก เท่ากันและกางมุมที่จุดศูนย์กลางได้มุมเท่ากัน (ท.บ. 47 พร้อมบทแทรก)
III $\quad$ ทำมุมกับคอร์ดที่ลากจากจุดสัมผัส เท่ากับมุมในเซกเมนต์ (Segment) ตรงข้าม (ท.บ. 49)

ข. มีเหตุเป็น เส้นขนาน ก็อาจมีผลได้ดังต่อไปนี้
I $\;\;\quad$ มุมแย้งเท่ากัน, มุมภายนอก = มุมภายในข้างเดียวกัน, มุมภายในข้างเดียวกันรวมกันเข้า = 2 มุมฉาก
$\;\;\qquad$ เมื่อมีเส้นขวางมาตัด (ท.บ. 14)
II $\;\quad$ ขนานกับเส้นตรงเดียวกัน (ท.บ. 15)
III $\quad$ ตัดเส้นขวางอื่นๆ ได้ส่วนเท่ากัน เมื่อตัดเส้นขวางเส้นหนึ่งเท่ากันแล้ว (ท.บ. 22)
IV $\quad$ แบ่งครึ่งด้านที่ 3 เมื่อลากจากจุดกึ่งกลางของด้านใดด้านหนึ่งของ $\triangle$ แล้วขนานกับฐาน
V $\;\quad\; \triangle^s$ มีพื้นที่เท่ากัน เมื่ออยู่บนฐานอันเดียวกันและอยู่ข้างเดียวกัน (ท.บ. 26)
VI $\quad$ ตัดด้านอีกสองด้านของรูป $\triangle$ ออกได้สัดส่วนกัน เมื่อขนานกับด้านใดด้านหนึ่งของรูป $\triangle$

ค. มีเหตุเป็น เส้นแบ่งครึ่งมุม ก็คิดถึงผลดังนี้
I $\;\;\quad$ ตัดด้านตรงข้ามได้สัดส่วนกับอีก 2 ด้านของรูป $\triangle$ นั้น (ท.บ. 61)
II $\;\quad$ ตัดด้านตรงข้ามทำให้สี่เหลี่ยมผืนผ้าประกอบด้วยส่วนที่แบ่งบนด้านที่ตัด รวมกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนเส้นแบ่งครึ่งมุม
$\;\;\qquad$ เท่ากับสี่เหลี่ยมผืนผ้าประกอบด้วยด้านอีก 2 ด้านของรูป $\triangle$ นั้น (ท.บ. 76)

ง. มีเหตุเป็น รูปสี่เหลี่ยมอยู่ในวงกลม ก็อาจมีผลดังนี้
I $\;\;\quad$ มุมตรงข้ามรวมกันเข้า = 2 มุมฉาก (ท.บ. 40)
II $\;\quad$ รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งประกอบด้วยเส้นทแยงมุม = ผลบวกของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งประกอบด้วยด้านตรงข้าม (ท.บ. 78)

จ. มีเหตุเป็น วงกลมเท่ากัน ควรนึกถึงผลต่อไปนี้
I $\;\;\quad$ ส่วนโค้ง (Arcs) เท่ากัน เมื่อมุมเท่ากัน (ท.บ. 42)
II $\;\quad$ มุมเท่ากัน เมื่อส่วนโค้งเท่ากัน (ท.บ. 43)
III $\quad$ ส่วนโค้งเท่ากัน เมื่อคอร์ดเท่ากัน (ท.บ. 44)
IV $\quad$ คอร์ดเท่ากัน เมื่อส่วนโค้งเท่ากัน (ท.บ. 45)
V $\;\quad$ มุมที่จุดศูนย์กลาง หรือที่เส้นรอบวง ย่อมเป็นสัดส่วนกับส่วนโค้งที่รองรับมุมนั้นๆ (ท.บ. 69)
VI $\quad$ เซกเตอร์ (Sectors) ย่อมมีพื้นที่ได้สัดส่วนกับส่วนโค้งของเซกเตอร์นั้นๆ (แทรก ท.บ. 69)

-------------------------------

เพื่อนชาว MC เคยจัดแบ่ง ท.บ. ไว้ใช้งานแบบนี้หรือไม่ ? ผมคิดว่านี่คือคำแนะนำดีๆ ที่หนังสือส่วนใหญ่ทำหล่นหายไป !!!

อ่านเนื้อหาตอนต่อไปที่ความเห็น #17 ครับ ... กระโดดไปที่อื่นหน่อยจะได้หายง่วง :laugh:
.

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

เห็นด้วยอย่างมากครับ เพราะหนังสือเฉลยที่เห็นอยู่ในปัจจุบันก็ทำกันสไตล์นี้
คือ ขอให้มีโจทย์เยอะเข้าไว้ และแสดงแนวคิดให้สั้น(จนเกินไป)
โดยเฉพาะเล่มที่หนา 800 กว่าหน้า ถ้าลองอ่านดีๆจะเห็นว่าลอกเล่มอื่นหลายๆเล่มมารวมกันครับ

[Switchgear]

... เนื้อหาต่อจากความเห็น #15

2. ยึดผลเป็นหลัก กล่าวคือ รวบรวมเอาทฤษฎีบทที่มีผลเหมือนกัน แต่มีเหตุต่างๆ กัน มารวมกันไว้ เช่น

ก. มีผล (คือสิ่งที่จะต้องพิสูจน์) สามเหลี่ยมเท่ากันสนิท (Tangent) ก็ควรคิดย้อนถึงเหตุที่สืบเนื่องมาจาก
I $\;\;\quad$ 2 ด้านเท่ากัน มุมในระหว่างด้านเท่า เท่ากัน (ท.บ. 4)
II $\;\quad$ 3 ด้านเท่ากัน (ท.บ. 7)
III $\quad$ 2 มุมเท่ากัน 1 ด้านเท่ากัน (ท.บ. 17)
IV $\quad$ มุมฉากเท่ากัน ด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากัน และอีกด้านหนึ่งเท่ากัน (ท.บ. 18)

ข. มีผล มุมเท่ากัน ควรคิดย้อนถึงเหตุอันจะมาได้จาก
I $\;\;\quad$ ด้านตรงข้ามเท่ากัน เมื่อเป็นสามเหลี่ยมรูปเดียว (ท.บ. 5)
II $\;\quad$ สามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันสนิท (เมื่อเป็นสามเหลี่ยม 2 รูปตาม ท.บ. 4, 7, 17, 18)
III $\quad$ เป็นมุมแย้งกัน หรือเป็นมุมภายนอกกับมุมภายในข้างเดียวกัน เมื่อมีเส้นขวางตัดเส้นขนาน (ท.บ. 14)
IV $\quad$ เป็นมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ท.บ. 21)
V $\;\quad$ เป็นมุมในเซกเมนต์เดียวกัน (ท.บ. 39)
VI $\quad$ เป็นมุมที่เกิดจากคอร์ดที่ลากไปจากจุดสัมผัส (ท.บ. 49)

หมายเหตุ เรื่องมีผลเหมือนกันนี้จะอธิบายเพิ่มเติมจากที่กล่าวมานี้ เมื่อพิสูจน์ตัวอย่างต่างๆ

-------------------------------

อ่านเนื้อหาตอนต่อไปที่ความเห็น #19 ครับ ... :laugh:

[Keehlzver]

ขอบคุณมากครับ :great:

(เเล้วผมจะรออ่านที่เหลือนะครับ :D)

[Switchgear]

... เนื้อหาต่อจากความเห็น #17

3. เรื่องมากน้อยกว่ากัน รวบรวมทฤษฎีบทที่กล่าวถึงเรื่องการมากน้อยกว่ากันมาไว้ด้วยกัน เช่น
I $\;\;\quad$ มุมภายนอกของสามเหลี่ยม โตกว่ามุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิด (ท.บ. 8)
II $\;\quad$ มุมตรงข้ามด้านยาวของสามเหลี่ยม ย่อมใหญ่กว่ามุมที่อยู่ตรงข้ามด้านที่สั้น (ท.บ. 9)
III $\quad$ ด้านตรงข้ามมุมใหญ่ของรูปสามเหลี่ยม ย่อมยาวกว่าด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมเล็ก (ท.บ. 10)
IV $\quad$ ด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยม รวมกันย่อมยาวกว่าด้านที่ 3 (ท.บ. 11)
V $\;\quad$ เส้นตั้งฉากเป็นเส้นที่สั้นที่สุด (ท.บ. 12)
VI $\quad$ ด้าน 2 ด้านของสามเหลี่ยม 2 รูปเท่ากัน และมุมในระหว่างด้านเท่าของรูปหนึ่งใหญ่กว่ามุมของอีกรูปหนึ่ง
$\qquad\;$ ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมที่ใหญ่ ย่อมยาวกว่าด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมเล็ก (ท.บ. 19)
VII $\;\;$ คอร์ดที่ยาวย่อมอยู่ใกล้จุดศูนย์กลางกว่าคอร์ดที่สั้น และคอร์ดที่ใกล้จุดศูนย์กลางย่อมยาวกว่าคอร์ดที่อยู่
$\qquad\;$ ห่างจุดศูนย์กลางออกไป (ท.บ. 35 พร้อมบทกลับ)
VIII $\;$ เส้นที่ลากจากจุดภายในของวงกลมไปยังเส้นรอบวง เส้นที่ยาวที่สุดคือเส้นที่ลากผ่านจุดศูนย์กลาง
$\qquad\;$ ส่วนเส้นที่สั้นที่สุดคือเส้นที่ต่อแล้วจึงผ่านจุดศูนย์กลาง และเส้นที่กางมุมที่จุดศูนย์กลางได้ใหญ่กว่า
$\qquad\;$ ก็ยาวกว่าเส้นที่กางมุมได้เล็ก (ท.บ. 36)
IX $\quad$ เส้นที่ลากจากจุดภายนอกของวงกลมไปยังเส้นรอบวง เส้นที่ยาวที่สุดคือเส้นที่ลากผ่านจุดศูนย์กลาง
$\qquad\;$ ส่วนเส้นที่สั้นที่สุดคือเส้นที่ต่อแล้วจึงผ่านจุดศูนย์กลาง และเส้นที่กางมุมที่จุดศูนย์กลางได้มุมใหญ่กว่า
$\qquad\;$ ย่อมยาวกว่าเส้นที่กางมุมเล็ก (ท.บ. 37)

หมายเหตุ เรื่องมากน้อยกว่ากันนี้ ช่วยเหลือในการคิดเรื่อง Maxima และ Minima (บรรดาขั้นสูง ขั้นต่ำ) มาก

-------------------------------

โปรดติดตามเนื้อหาตอนต่อไปเกี่ยวกับ "การย่อเรขาคณิต" ในความเห็น #25 ครับ ...

[Switchgear]

เอาตัวอย่างของบทที่ 1 (หลักการคิดด้าน 2 ด้านเท่ากัน) มาโพสต์ให้ฝึกคิดล่วงหน้าก่อน ลองดูว่าตอนที่ยังไม่มีคำแนะนำนั้น
ตัวเราเองคิดแล้วติดขัดหรือไม่ จากนั้นค่อยมาดูกันว่าคำแนะนำของบทที่ 1 จะช่วยอะไรเราได้บ้างหรือเปล่า ?

ตัวอย่างที่ 1 วงกลม 2 วงตัดกันที่ P, Q มีเส้นสัมผัส 2 เส้น มาสัมผัสวงกลมทั้ง 2 ที่ P และไปพบกับเส้นรอบวงของ
วงกลมทั้ง 2 ที่ M, N ลาก MN ตัดเส้นรอบวงของวงกลมทั้ง 2 ที่จุด X, Y จงพิสูจน์ว่า PX = PY

ตัวอย่างที่ 2 PM, PN เป็นคอร์ด 2 คอร์ด ถ้า A, B เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนโค้งเล็ก PM, PN แล้วลาก AB ตัด PM
ที่จุด C ตัด PN ที่ D จงพิสูจน์ว่า PC = PD
(เดิมผมพิมพ์โจทย์ผิดว่า A, B เป็นจุดศูนย์กลาง ขอแก้ไขเป็นจุดกึ่งกลางแทน)

ตัวอย่างที่ 3 O เป็นจุดออร์ธอเซนเตอร์ (Orthocentre) ของรูปสามเหลี่ยม ABC ซึ่งบรรจุอยู่ในวงกลม ถ้าลากเส้น
จาก A ให้ผ่านจุดศูนย์กลางไปพบเส้นรอบวงที่ K จงพิสูจน์ว่า OC = BK

ตัวอย่างที่ 4 วงกลม 2 วงตัดกัน มีเส้นตรงลากผ่านจุดตัดไปจดเส้นรอบวงของวงกลมทั้งสอง ถ้าเส้นตรงคู่นี้ขนานกัน
เส้นปิดหัวท้ายข้างเดียวกันของเส้นขนานคู่นี้ย่อมเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 5 ในรูป (ก) PQR, MNQ และ MYR เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า จงพิสูจน์ว่า PN = MY (ดูไฟล์รูปที่แนบมา)

ตัวอย่างที่ 6 เส้นที่ปิดหัวท้ายของคอร์ดที่ขนานกันในวงกลม จะปิดข้างเดียวกันหรือปิดคนละข้างก็ตาม ย่อมเท่ากันเสมอ

ตัวอย่างที่ 7 PM เป็นคอร์ดที่ลากไปจากจุดสัมผัส P เส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดกึ่งกลางของส่วนโค้ง PM ไปตั้งฉาก
กับคอร์ด PM กับไปตั้งฉากกับเส้นสัมผัสวงซึ่งสัมผัสวงกลมที่ P ย่อมเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 8 ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมมี ABC, ADC เป็นมุมฉาก และ AB = AD ตัด AB, AC ที่จุด P, Q และ
ทำให้ AP + AQ = AB + AD จงพิสูจน์ว่า PC = QC

ตัวอย่างที่ 9 ABC เป็นสามเหลี่ยมที่บรรจุอยู่ในวงกลม AD, BE, CF ตั้งฉากกับ BC, CA, AB ที่จุด D, E, F ตามลำดับ
และตัดกันที่ O ถ้าต่อ OD ออกไปพบเส้นรอบวงที่จุด M จงพิสูจน์ว่า OB = BM

ตัวอย่างที่ 10 วงกลม 2 วงเท่ากัน ตัดกันที่ A, B ลาก PQ ตั้งฉากกับ AB ที่จุด O ไปพบเส้นรอบวงที่ M, N
และที่ P, Q จงพิสูจน์ว่า MB = NB

ตัวอย่างที่ 11 วงกลมสองวงสัมผัสกันอย่างภายนอกที่ A มี PQ และ XY เป็นเส้นสัมผัสร่วมตรง สัมผัสวงกลมที่ P, Q
และ X, Y ถ้าเส้นสัมผัสวงกลมซึ่งสัมผัสวงกลมที่ A ไปพบ PQ ที่ M และ XY ที่ N จงพิสูจน์ว่า PM = YN

ตัวอย่างที่ 12 O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม POM = 108 องศา, MON = 60 องศา และ NOR = 36 องศา
จงพิสูจน์ว่า PM = MN + NR

ตัวอย่างที่ 13 จงพิสูจน์ว่าผลบวกของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดใดจุดหนึ่งบนฐาน ไปยังด้านที่เท่ากันของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
เท่ากับเส้นตั้งฉากที่ลากจากมุมที่ฐานไปตั้งฉากกับด้านตรงข้าม

ตัวอย่างที่ 14 ผลบวกของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดภายในของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ไปตั้งฉากกับด้านทั้งสาม
ของรูปสามเหลี่ยม ย่อมเท่ากับเส้นตั้งฉากที่ลากจากมุมยอดมุมใดมุมหนึ่ง ไปตั้งฉากกับด้านตรงข้าม

ตัวอย่างที่ 15 ABCD เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ลาก PQ ผ่าน D ไปตัด AB, BC ที่ต่อออกไปที่ P, Q
จงพิสูจน์ว่า 1/AB = 1/PB + 1/BQ

ตัวอย่างที่ 16 ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าที่บรรจุอยู่ในวงกลม M เป็นจุดๆ หนึ่งอยู่บนส่วนโค้ง BC
จงพิสูจน์ว่า MA = MB + MC

ตัวอย่างบทที่ 1 มีอยู่ 16 ตัวอย่างครบถ้วนแล้วครับ ตอนนี้ใครคิดวิธีไหนได้ ก็โพสต์กันได้เลยนะครับ
แล้วค่อยมาดูเฉลยกัน หลังจากอธิบายเนื้อหาคำแนะนำของบทที่ 1 แล้ว

รูปประกอบข้างล่างนี้ ใช้สำหรับตัวอย่างที่ 5 ครับ!

[-Math-Sci-]

ขอบคุณที่แนะนำครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ลองโพสข้อ2 มาร่วมด้วยข่วยกันครับ
http://i543.photobucket.com/albums/gg442/kittiwatsaksampran/M.jpg

[หยินหยาง]

ลองโพสข้อ2 มาร่วมด้วยข่วยกันครับ
http://i543.photobucket.com/albums/gg442/kittiwatsaksampran/M.jpg

ผมว่าข้อ 2 ถ้าตามโจทย์ A, B เป็นจุดศูนย์กลางไม่ใช่หรือครับ ไม่ใช่เป็นจุดอยู่บนเส้นรอบวงนะครับ

[Puriwatt]

ผมไม่ได้เข้ามาดูหลายวัน มาพบกระทู้นี้ค่อยหายเพลียหน่อย
คุณเล็ก Switchgear นี่ไฟแรงสมเป็นมนุษย์ไฟฟ้าจริงๆ
ขอคาราวะน้ำ spirit สักหนึ่งจอกครับ

แถมเนื้อเพลงเก่าๆซึ้งๆ มาให้ดูเล่นด้วย เผื่อจะจดจำตอนเด็กๆได้ :sung:
ผลงาน ความดี ที่มีประจักษ์
จงร่วมรัก-ษาไว้ อย่าให้สูญ
เร่งทำ กรรมดี เพื่อกูล
จักส่งหนุน ให้เด่นงาม พระนามจุฬาฯ

[Switchgear]

... เนื้อหาต่อจากความเห็น #19

ใครเคยรู้จักคำว่า "การย่อเรขาคณิต" มาก่อนบ้าง ??? ผมก็เพิ่งอ่านเจอในหนังสือเล่มนี้ ซึ่งตามเนื้อหาที่เขียนไว้
บ่งบอกว่าเป็นแนวคิดของผู้แต่งหนังสือเอง ลองมาดูกันครับว่าจะย่อเรขาคณิตได้อย่างไร ?


การย่อเรขาคณิต

ตามธรรมดานักเรียนมักดูเรขาคณิตเต็มเรื่องเสมอ ซึ่งเป็นการดีเมื่อนักเรียนมีเวลามากๆ หากนักเรียนมีเวลาน้อย
ควรจะย่อไว้ดูด้วย (แต่ถ้าดูย่อไม่รู้เรื่องก็ต้องดูเต็มเรื่อง) ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างการย่อที่ได้คิดขึ้น หวังว่าคงจะ
เป็นประโยชน์แก่นักเรียนและครูผู้สอนบ้าง การย่อควรเขียนไว้ทางช่องซ้ายมือ ดังจะเห็นตามตัวอย่างที่จะ
กล่าวต่อไปทุกๆ ตัวอย่าง

1. สร้าง มีสร้างอะไรไว้หรือเปล่า สร้างแล้วได้ประโยชน์อะไร เช่น ลากเส้นขนานได้มุมแย้งเท่ากัน ฯ

2. จุดสำคัญ หรือเรียกว่าจุดอ่อนแอของโจทย์ที่เราจะโจมตี อยู่ตรงไหน เช่นพิสูจน์มุมนั้นเท่ากับมุมนี้ก่อน ฯ

3. ใช้ทฤษฎีบท หรือ บทสร้าง ใดบ้าง เช่น ท.บ.14, ท.บ.60 ฯ

4. ข้อควรระวัง หรือสิ่งที่หลอกลวงให้เราหลงอยู่ตรงไหน เช่น เขาบอกหลายเหลี่ยม เราทำเป็นสามเหลี่ยม ฯ

5. เคยติดตรงไหน คือเมื่อเวลาดูแล้วทำไม่ได้ ไปติดตอนไหน เช่น ติดตอนลืมพิสูจน์วงกลมล้อม ฯ

หมายเหตุ ในข้อหนึ่งๆ ไม่จำเป็นที่จะต้องมีเรื่องราวที่จะย่อทั้ง 5 ข้อ อาจจะมีเพียงบางข้อก็ได้ แต่ข้อ 2 กับข้อ 3
ควรมีเสมอ และเวลาทำสอบไม่ต้องเขียนย่อลงไปด้วย

-------------------------------

โปรดติดตามเนื้อหาตอนต่อไปเกี่ยวกับ "การเขียนรูป" ครับ!

แต่ก่อนจบความเห็นนี้ มาดูรูปประกอบของตัวอย่างที่ 12 เพื่อให้เข้าใจคำอธิบายเรื่อง "การย่อเรขาคณิต" มากขึ้น
พร้อมทั้งจะได้เห็นรูปแบบการเฉลยทั้งแบบเต็มและแบบย่อของตัวอย่างแต่ละข้อในหนังสือเล่มนี้ด้วย โดยตัวอย่าง
ทั้งเล่มก็จะเฉลยทั้งแบบเต็มและแบบย่อทำนองเดียวกันนี้ ... ดูแล้วเพื่อนชาว MC เริ่มชอบหนังสือเล่มนี้หรือยัง ?
.

[Switchgear]

... เนื้อหาต่อจากความเห็น #25

เพื่อนชาว MC เคยอ่านเจอหนังสือเรขาคณิตกี่เล่มครับ ที่ให้คำแนะนำเกี่ยวกับ "การเขียนรูป" ไว้ในหนังสือด้วย ???
ผมคิดว่านี่คือสิ่งสำคัญที่ควรมี แต่มักจะไม่พบอยู่ในหนังสือเรขาคณิตที่หาซื้อได้ในท้องตลาดทุกวันนี้

มาดูกันครับว่า หนังสือเล่มนี้ให้คำแนะนำที่เป็นประโยชน์ไว้อย่างไร ? (หรืออาจไม่เป็นประโยชน์สำหรับบางคน ???)

-------------------------------------------------

การเขียนรูป

การเขียนรูปให้ถูกต้อง ก็เป็นส่วนหนึ่งที่จะช่วยให้การคิดเรขาคณิตสะดวกเข้า และรวดเร็วขึ้น ดังนั้นจึงควรคำนึงถึง
หลักต่อไปนี้เข้ามาประกอบด้วย

1. ต้องเขียนรูปให้ ตรงตามโจทย์ (คืออย่าไปแถมนั่นแถมนี่) เช่น โจทย์บอกว่าวงกลม 2 วงตัดกัน ก็อย่าเขียนให้
วงกลมนั้นเท่ากัน หรือบอกว่า AB, AC เป็นคอร์ด 2 คอร์ดก็อย่าเขียนให้ AB = AC หรือบอกว่าสามเหลี่ยม ABC
เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ก็ไม่ควรเขียนให้เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า หรือบอกว่า R เป็นจุดๆ หนึ่งบน BC ก็ไม่ควรให้เป็น
จุดกึ่งกลาง ฯลฯ

2. อย่าเขียนรูปทำให้ คิดยาก เช่น เส้นขนานกันอยู่เกือบจะชิดกัน หรือมุมเล็กนิดเดียว หรือให้เส้นตรงไปรวมกันอยู่
จนยุ่งเหยิง (ถ้าไม่จำเป็น) ฯลฯ

3. ควรใช้ดินสอสีช่วย แยกความยุ่ง ของรูปออกบ้าง แต่การใช้ต้องมี ความหมาย เช่น แสดงการเท่ากัน, แสดงการ
ขนานกัน, แสดงการตั้งฉากกัน, แสดงให้เด่นขึ้นมา ฯลฯ ถ้าเส้นตรงยังไม่ต่อเป็นเส้นตรงอันเดียวกัน ก็ควรใช้คนละสี
เพื่อไม่ให้หลงคิดว่าเป็นเส้นตรงเส้นเดียวกันแล้ว แต่ไม่ใช่ใช้เพื่อความสวยงาม หรือใช้เลอะไปหมดอย่างไม่มีความหมาย

4. ตามธรรมดาเรามักเขียนรูปตามที่โจทย์กำหนดให้ (เขียนตามเหตุ) แล้วจะเกิดผลตามที่ต้องการเอง แต่ถ้าเขียน
ตาม เหตุยาก แล้ว เราควรดูก่อนว่าเกิดผลอย่างไร (คือเขาให้พิสูจน์อย่างไร) ถ้าผลนั้นเขียนง่ายกว่า เราก็เขียนให้
ตรงตามผล นั้น แล้วเหตุจะถูกต้องตามมาเอง เช่น โจทย์บอกว่า "สามเหลี่ยมสองรูปมีด้านสมนัยได้สัดส่วนกัน ก็ย่อมมี
มุมเท่ากัน 3 มุม มุมต่อมุม" จะเห็นว่าเขียนด้านสมนัยให้เป็นสัดส่วนนั้นยาก สู้เขียนให้มุมเท่ากันจะง่ายกว่า

ระวัง! เมื่อเขียนตามผลแล้วต้องได้ เหตุตรง จึงจะใช้ได้

-------------------------------------------------

ผมคิดว่าข้อแนะนำในการเขียนรูปข้างต้น ช่วยเตือนใจในการทำโจทย์ได้เยอะ โดยเฉพาะที่ว่า "อย่าไปแถมนั่นแถมนี่"

ตอนต่อไปจะเกี่ยวกับ "ข้อบกพร่องบางประการ" ตามอ่านกันต่อนะครับ
แล้วทบทวนดูว่าตัวเองเคยทำแบบฝึกหัดหรือข้อสอบแล้วเกิดข้อบกพร่องตามข้อเตือนใจข้อไหนบ้าง ? :laugh:
.

[กิตติ]

ข้อ2....ผมอ่านโจทย์แล้วก็เข้าใจอย่างที่คุณกระบี่เดียวเขียนภาพออกมา
หรือว่าคำว่า"จุดศูนย์กลางของส่วนโค้งเล็ก" จะไม่ได้หมายถึงจุดบนส่วนโค้ง หรือใช่คำเดียวกับ"จุดกึ่งกลาง"หรือเปล่า

[Switchgear]

ขออภัยด้วยครับ!

ตัวอย่างที่ 2 ผมพิมพ์ผิดเอง
ขอแก้ไขจาก "ถ้า A, B เป็นจุดศูนย์กลางของส่วนโค้งเล็ก" เป็น "ถ้า A, B เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนโค้งเล็ก"

ในหนังสือถูกแล้ว แต่ผมพิมพ์ผิดเอง ทำเอาผู้อ่านงงกันใหญ่!

ตามรูปที่คุณกระบี่เดียวดายฯ วาดนั้นถูกต้องแล้วครับ :p

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ผมว่าให้คุณswitchgear มายืนยันด้วยเฉลยอีกทีก็ดีครับ
คือ ถ้าคุณหยินหยางแย้งว่าต้องเป็นจุดศูนย์กลางของsector ก้อต้องคำนวณอีกมโหฬารครับ
แต่ผมว่าโจทย์คงไม่ต้องการอะไรให้ยากมากขนาดนั้น

[Switchgear]

เผชิญค้นข้อมูลอื่นใน Google แล้วเจอกระทู้เก่าของผมเอง เกี่ยวกับข้อบกพร่องในการพิสูจน์เรขาคณิตเช่นกัน
ก็เลยทำ Link ให้เพื่อนชาว MC ได้อ่านกัน (ผมเองก็ลืมไปแล้วว่าเคยโพสต์กระทู้นั้นไว้ คนแก่ก็อย่างงี้ !)

ชื่อกระทู้ "เล่ห์เหลี่ยมเรขาคณิต" ในเว็บ วิชาการ.คอม
http://www.vcharkarn.com/vcafe/60470

ยังมีอีกกระทู้หนึ่ง เป็นการย่อทฤษฎีบททั้ง 78 บทในภาคภาษาไทย (อยู่ในความเห็นที่ 65-83)
http://www.vcharkarn.com/vcafe/50044/1

[Switchgear]

จากโจทย์ตัวอย่างที่ 1 ถึง 16 ในความเห็น #20 นั้น เพื่อนชาว MC สรุปหลักการที่ชัดเจน
ในการแก้โจทย์แต่ละข้อได้หรือไม่ ? ว่าควรพิสูจน์ในแนวทางไหนบ้าง ?

เมื่อเข้าสู่เนื้อหาบทที่ 1 แล้ว ในหนังสือเขาจะแนะนำหลักการไว้เป็นข้อๆ ซึ่งผมกำลังเช็คดู
ว่าตัวอย่างแต่ละข้อนั้น เขาใช้หลักการข้อไหนในการแก้โจทย์ ... รออ่านกันนะครับ!

ตอนนี้มาเข้าสู่เนื้อหาเกี่ยวกับ "ข้อบกพร่องบางประการ" กันก่อน ... ต่อจากความเห็น #26

ข้อบกพร่องบางประการ

1. เมื่อเขียนรูปลงในกระดาษทดและคิดได้แล้ว ก็ควรลอกรูปลงในกระดาษคำตอบ และพิสูจน์ตามรูป
ในกระดาษคำตอบ ไม่ควรพิสูจน์ตามรูปในกระดาษทด แล้วลอกรูปลงภายหลังซึ่งอาจจะทำให้รูปกับ
เรื่องที่พิสูจน์นั้นไม่กลมกลืนกัน

2. จะใช้ผลของทฤษฎีบทไหนต้องมี เหตุ ของทฤษฎีบทนั้น อย่างสมบูรณ์ ไม่ใช่อ้างเพียงบางเหตุเท่านั้น เช่น

ก. สามเหลี่ยมมีด้านเท่ากัน 2 ด้าน มุมเท่ากัน 1 มุม จะเท่ากันสนิทไม่ได้ นอกจากมุมที่เท่ากันนั้นเป็น มุมใน
ระหว่างด้านเท่า (ท.บ.4)

ข. เส้นปิดหัวท้ายข้างเดียวกันของเส้นขนาน ย่อมขนานกัน ดังนี้ผิด นอกจากเส้นขนานนั้น ต้องเท่ากันด้วย (ท.บ.20)

ค. สี่เหลี่ยม 2 รูป ตั้งอยู่บนฐานอันเดียวกัน และอยู่ระหว่างเส้นขนานคู่เดียวกัน ย่อมมีพื้นที่เท่ากัน ดังนี้ผิด
นอกจากเป็น สี่เหลี่ยมด้านขนาน (ท.บ.24)

ง. มุมที่จุดศูนย์กลางย่อมเป็น 2 เท่าของมุมที่เส้นรอบวง ดังนี้ผิด นอกจากมุมนั้นจะต้องตั้งอยู่บน ส่วนโค้ง
อันเดียวกันด้วย (ท.บ.38)

จ. มุมเท่ากันแล้วอาร์คเท่ากัน หรืออาร์คเท่ากันแล้วมุมเท่ากัน หรือคอร์ดเท่ากันทำให้อาร์คเท่ากัน
หรืออาร์คเท่ากันทำให้คอร์ดเท่ากัน หรือมุมได้สัดส่วนกับอาร์ค เหล่านี้จะเป็นจริงได้เมื่อ วงกลมเท่ากัน
หรือ วงกลมอันเดียวกัน และมุมนั้นจะต้องเป็น มุมที่จุดศูนย์กลางหรือที่เส้นรอบวง เท่านั้น (ท.บ.42,
43, 44, 45, 69)

หมายเหตุ นี่เป็นเพียงตัวอย่างพอเป็นสังเขปเท่านั้น

3. คำว่ามุมที่เท่ากันหรือด้านที่เท่ากันนั้น ต้องเป็นด้านและมุมที่เป็น สมนัยกัน (Corresponding) หรือด้านที่เป็น
สัดส่วนกันเมื่อมุมเท่ากัน ก็ต้องเป็นด้านที่ สมนัยกัน (เช่น ท.บ.4, 7, 17, 18, 62, 63, 9)

4. อย่า สร้างเกินขอบเขต ไป เช่น
ก. โยงเส้นตรงระหว่างจุด 2 จุดให้ไปแบ่งครึ่งมุมหรือแบ่งครึ่งหรือตั้งฉากหรือขนานฯ กับเส้นตรงอื่นๆ ไม่ได้ทั้งนั้น
นอกจากจะพิสูจน์ว่าเป็นจริงตามนั้น (ดูตัวอย่างพร้อมรูปประกอบที่เป็นรูปสามเหลี่ยมตามที่แนบมา)
ข. เส้นแบ่งครึ่งมุมยอด กับเส้นที่แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับฐานของสามเหลี่ยม จะพบกันภายในสามเหลี่ยมไม่ได้
นอกจากสามเหลี่ยมนั้น จะเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

5. ตัวอักษรที่คล้ายๆ กันหรือเครื่องหมายหรือตัวเลขที่คล้ายกับตัวอักษร ไม่ควรนำมาใช้ด้วยกัน (ถ้าไม่จำเป็น)
เพราะจะทำให้เกิดหลงผิด เช่น ตัว E กับตัว F, ตัว O กับตัว Q กับตัว D กับเลข 0, ตัว X ตัวเครื่องหมายคูณ (x) ฯ

6. จะใช้บทสร้างใดต้องเขียนรูปให้เหมือนบทสร้างนั้น ทีมักจะผิดพลาดบ่อยๆ ก็คือ บทสร้าง 24 คือ การสร้างเซกเมนต์
ให้มุมในเซกเมนต์เท่ากันมุมที่กำหนดให้ ซึ่งมุมมักจะไม่ เท่ากัน หรือ สร้างเสร็จแล้ว ไม่มีเส้นสัมผัส หรือการแบ่งเส้นตรง
อย่างภายนอกออกเป็นอัตราส่วนที่กำหนดให้ (ตาม บทสร้างที่ 37) (ดูตัวอย่างพร้อมรูปประกอบที่เป็นการแบ่ง
อัตราส่วนภายนอกตามรูปที่แนบมา)

7. สามเหลี่ยมที่เท่ากันสนิท อาจจะอ้างพื้นที่เท่ากัน, ด้านเท่ากัน, มุมเท่ากัน และเป็น Similar (คล้าย) กันได้
แต่สามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากันจะอ้างด้านหรือมุมเท่ากันไม่ได้ หรือสามเหลี่ยมที่เป็น Similar กันจะอ้าง ด้านเท่ากัน
หรือพื้นที่เท่ากันไม่ได้ อ้างได้แต่เพียงว่า มุมเท่ากัน และด้านได้สัดส่วนกัน เท่านั้น

8. จำเรื่องของตัวบทไม่ได้ (ไม่จำเป็นต้องจำว่าบทที่เท่าไร แต่ต้องจำเรื่องราวของบทนั้นๆ ได้) เช่นถามว่า
แบบฝึกหัดข้อนี้มีเรื่องราวใกล้เคียงกับตัวบทใดบ้าง มักจะได้รับคำตอบว่า "ไม่ทราบ" ดังนั้นเมื่อเรียนบทไหนควรจำไว้
ด้วยว่า เมื่อมีเหตุเช่นนั้นจะเกิดผลอย่างไร หรือมีผลอย่างนั้น จะต้องมีเหตุอย่างไร

9. ระวังเรื่องข้อยกเว้นของบางบท เช่น เราสามารถสร้างวงกลมให้ผ่านได้เพียง 3 จุด แต่ถ้ามี 4 จุด และเมื่อโยงเส้นตรง
ระหว่าง 4 จุด เกิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมซึ่งมีมุมตรงข้ามรวมกันเท่ากับ 2 มุมฉากขึ้น ในกรณีเช่นนี้วงกลมจะต้องผ่านจุดทั้ง 4
จะผ่านเพียง 3 จุดไม่ได้ หรือเราสามารถสร้างวงกลมให้สัมผัสด้านของสี่เหลี่ยมได้เพียง 3 ด้าน แต่ถ้าผลบวกของ
ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมนั้นเท่ากันแล้ว วงกลมต้องสัมผัสด้านที่ 4 ด้วย จะสัมผัสเพียง 3 ด้านไม่ได้

-------------------------------

โปรดติดตามเนื้อหาตอนต่อไปเกี่ยวกับ "สิ่งที่ใช้อ้าง" ครับ! (ใกล้เข้าสู่การแก้โจทย์บทที่ 1 แล้ว)
.

[Switchgear]

ยังไม่ค่อยมีคนลองโพสต์แก้โจทย์ตัวอย่างทั้ง 16 ข้อเลย!

ขอไปพักผ่อนก่อน ... แล้วดึกๆ จะโพสต์เนื้อหา "สิ่งที่ใช้อ้าง" ให้ครับ

[หยินหยาง]

ตัวอย่างที่ 1 วงกลม 2 วงตัดกันที่ P, Q มีเส้นสัมผัส 2 เส้น มาสัมผัสวงกลมทั้ง 2 ที่ P และไปพบกับเส้นรอบวงของ
วงกลมทั้ง 2 ที่ M, N ลาก MN ตัดเส้นรอบวงของวงกลมทั้ง 2 ที่จุด X, Y จงพิสูจน์ว่า PX = PY



ผมลองทำดูข้อแรกให้ก่อน คนโพสต์จะได้มีกำลังใจ สำหรับผมแล้วผมชอบดูชอบอ่าน มากกว่าชอบตอบ ถ้าจะตอบคงจะเป็นแบบไม่ค่อยมีสาระ จะถนัดมากกว่าครับ
ผมขออธิบายด้วยรูปก็แล้วกัน น่าจะเข้าใจได้ไม่ยาก

http://img692.imageshack.us/img692/2781/60357551.jpg

[nut123]

เป็นหนังสือเก่าที่ดีมากๆเล่มหนึ่งครับ
อยากได้จังครับ

[Switchgear]

... ต่อจากความเห็น #31

สิ่งที่ใช้อ้าง

วิชาเรขาคณิตนี้ นักเรียนมักจะใช้สายตามาช่วยเหลือในการพิสูจน์มากเกินไป ควรใช้แต่พอเป็นสังเขปว่า
รูปไหน ด้านไหน มุมไหน ควรจะเท่ากัน เส้นไหนควรจะตั้งฉากแบ่งครึ่งหรือขนานกัน หรือรูปไหนควรจะ
เป็น Similar กันฯ ต่อไปเราก็ต้องหา เหตุผลมาพิสูจน์ให้เห็นจริง ว่าสิ่งนั้นๆ เป็นจริงตามที่เราใช้สายตา
เช่นเราเห็นคนมีขาเพียงข้างเดียวเท่านั้น ยังไม่เป็นการเพียงพอ เราต้องสืบหาเหตุผลมาชี้แจงด้วยว่า
ทำไมคนๆ นั้นจึงมีขาเพียงข้างเดียว ดังนั้นเมื่อเราเขียนสิ่งใดลงไป เราต้องมีหลักฐานมาอ้างอิงเสมอ
ว่าทำไมจึงเป็นเช่นนั้น สิ่งที่จะใช้อ้างได้ในวิชาเรขาคณิตก็มีอยู่ ดังที่จะกล่าวไว้เป็นตัวอย่างต่อไปนี้

ก. ตามโจทย์ หรือตามสิ่งที่กำหนดให้ (Given) แต่ต้องมีในโจทย์ข้อนั้นจริงๆ ไม่ใช่ตามโจทย์ข้ออื่น

ข. ความจริง ที่ไม่ต้องพิสูจน์ (Axiom)

ค. สัจพจน์ (Postulate)

ง. คำนิยาม (Definition)

จ. สร้าง (Construction) เราสร้างเพื่อมาช่วยในการพิสูจน์ของเรา เช่น ลากเส้นนั้นให้ไปทำอะไรกับใคร
หรือสร้างมุมนั้นให้เท่ากับมุมไหน หรือโตเท่าไร หรือแบ่งเส้นนั้นหรือรูปนั้นให้เป็นอย่างนั้นอย่างนี้ ฯลฯ
แต่อย่าลืมว่า ต้องสร้างไม่เกินขอบเขต เราสร้างไว้อย่างไรก็นำมาอ้างได้

ฉ. พิสูจน์มาแล้ว (Proved) เช่นเราพิสูจน์มาแล้วว่า มุมA = มุมB เราต้องนำไปใช้ในตอนหลังของข้อนี้
เราก็นำมาอ้างได้แต่ต้องเป็นในข้อนั้นๆ จริง ไม่ใช่อ้างว่าตามที่เคยพิสูจน์มาแล้ว แต่เป็นในข้ออื่นๆ

ช. ทฤษฎีบท (Theorem) หรือ บทสร้าง (Problem)

----------------------

โปรดติดตามหัวข้อสุดท้ายของบทนำ "หลักการคิด" ในคราวหน้าครับ :laugh:

[ความฝัน]

ขอบคุณมากครับ ที่นำสิ่งดีๆมาแบ่งปันกัน ผมขอเก็บกระทู้นี้ไว้นะครับ
หลังจากอ่านแล้ว จริงๆ ผมเคยเข้าไปอ่านกระทู้ของพี่ในวิชาการ.คอม
และก็ตามอ่านกระทู้อื่นๆโดยเฉพาะที่เกี่ยวกับ เรขาคณิต มานานแล้วแหละครับ
ตอนผมสมัครเขาmathcenterใหม่ๆ บอร์ดเรขาคณิตจะค่อนข้างเงียบ ในความคิดผม
ครั้นผมจะตั้งกระทู้เองก็ไม่รู้จะตั้งอะไร แต่พอพี่นำเนื้อหาดีๆมานำเสนอ ทำให้บอร์ดแลครึกครื้นดีครับ

[Switchgear]

ขอบคุณทุกคนที่ติดตามอ่าน และร่วมให้กำลังใจครับ ... ผมอยากให้เรามีกระทู้เยอะๆ ที่อ่านแล้วได้ความรู้เพิ่ม

มาต่อหัวข้อสุดท้ายของบทนำกันดีกว่า ... ต่อจากความเห็น #35

หลักการคิด

ความจริงวิชาเรขาคณิตเป็นวิชาที่คิดยาก และนักเรียนมักจะไม่ยอมคิดกัน เมื่อนักเรียนไม่ค่อยได้คิดก็ย่อมทำให้
คิดไม่ได้เป็นธรรมดา หนังสือคู่มือเล่มนี้พยายามแนะแนวทางที่คิดให้และเป็นเพียงวิธีใดวิธีหนึ่งเท่านั้น ความจริง
ยังมีอีกหลายวิธี หากนักเรียนจำแนวทางที่คิดไว้มากๆ ก็พอที่จะเป็นลู่ทางช่วยให้คิดเรขาคณิตได้บ้าง หลักการคิด
ที่ชอบใช้ก็คือ แยกโจทย์ออกว่าอะไรเป็นเหตุอะไรเป็นผล แล้วพยายามคิดย้อนจากผลว่า ก่อนที่จะมีผลนั้นๆ
ควรมีเหตุอันใดบ้าง และเหตุเหล่านั้น ตรงกับเหตุที่โจทย์ให้แล้วหรือยัง ถ้ายังก็ต้องคิดย้อนขึ้นไปอีกจนกระทั่ง
ได้เหตุตรงกับที่โจทย์ให้ได้ แต่ถ้าย้อนขึ้นไปไม่ได้ ก็ต้องหวนไปคิดถึงเหตุที่โจทย์ให้ว่าก่อให้เกิดผลอันใดขึ้นบ้าง
จะนำไปช่วยเหลือผลที่ย้อนขึ้นมาได้อย่างไรบ้าง ขอสรุปสั้นๆ ว่า ผล ที่โจทย์ให้ สืบมาจากเหตุอันใด และ เหตุ
ที่โจทย์ให้ ก่อให้เกิดผลอย่างไร ขั้นสุดท้ายก็คิดว่าทำอย่างไร จึงจะทำให้ผลที่ย้อนขึ้นไป กับเหตุที่ย้อนลงมา
ให้กลมกลืนกัน นี่แหละเป็นจุดสำคัญของการคิดเรขาคณิต และถ้าย้อนมาถึงว่าทำอย่างไร มุมจึงจะเท่ากัน
นี่เป็นหนทางที่ดี เพราะเรามีทฤษฎีบทซึ่งเกี่ยวกับเรื่องมุมเท่ากันไว้ช่วยเหลือมากมายหลายบท เช่นในรูป

กำหนดให้ AB = AC และ XY // BC จะต้องพิสูจน์ว่า X, Y, C, B เป็น Concyclic
วิธีคิด X, Y, C, B จะเป็น Concyclic ได้เมื่อ มุม 1 + มุม 3 = 2 มุมฉาก
แต่ มุม 2 + มุม 3 = 2 มุมฉาก (ท.บ.14)
ดังนั้นต้องพยายามพิสูจน์ให้ มุม 1 = มุม 2 ซึ่งจะคิดได้อย่างง่ายดาย เพราะว่า AB = AC

? คือจุดสำคัญ

อย่าลืม! ถ้าโจทย์ใกล้เคียงทฤษฎีบทหรือบทสร้างไหน ก็ควรพยายามใช้ทฤษฎีบทหรือบทสร้างนั้นๆ

--------------------------------

เมื่อเฉลยตัวอย่างโจทย์แต่ละข้อแล้ว ผู้อ่านควรจะลองกลับมาทบทวนหัวข้อต่างๆ ในบทนำอีกครั้ง จะเห็นว่าเป็นคำแนะนำ
ที่มีประโยชน์ในการกำหนดแนวทางพิสูจน์เรขาคณิตอย่างมาก ... ยิ่งทบทวนหลายครั้ง ก็จะยิ่งรู้สึกว่าเป็นเคล็ดลับที่ดีขึ้น!

ต่อไปโปรดติดตาม คำแนะนำในการแก้โจทย์ของบทที่ 1 เกี่ยวกับด้านเท่ากัน 2 ด้าน ....
.

[Switchgear]

... ต่อจากความเห็นที่แล้ว

บทที่ 1 หลักการคิดด้าน 2 ด้านเท่ากัน

1. ถ้าเป็นด้านของสามเหลี่ยมรูปเดียวกัน ก็พยายามคิดให้มุมตรงข้ามกับด้านนั้นเท่ากันก่อน (ท.บ.6)

2. ถ้าเป็นด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยม ก็พยายามพิสูจน์ให้เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ท.บ.21)

3. ถ้าเป็นด้านของรูปสามเหลี่ยม 2 รูป ก็พยายามพิสูจน์ให้สามเหลี่ยมทั้งสองนั้นเท่ากันสนิท (ท.บ.4,
$\quad$ 7, 17, 18) แบบนี้นิยมที่สุด

4. ถ้าเป็นคอร์ดของวงกลม ก็พยายามพิสูจน์ให้ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน (ท.บ.34) หรือพิสูจน์
$\quad$ ให้มุมเท่ากันก่อน แล้วอ้างอาร์คเท่ากัน ต่อไปก็อ้างคอร์ดเท่ากัน (ท.บ. 42, 45)

5. พยายามพิสูจน์ให้เป็นเส้นสัมผัส (แทรก ท.บ. 47)

หมายเหตุ

ก. หลักเหล่านี้บางข้อ เช่น ข้อ 2, 3 อาจนำไปใช้พิสูจน์เกี่ยวกับเรื่อง มุมเท่ากัน ได้ด้วย

ข. บางครั้งพิสูจน์ให้เท่ากันดยตรงไม่ได้ ก็ต้องพยายามพิสูจน์ให้ต่างก็ไปเท่ากับหรือเป็นเศษส่วนเท่ากัน
$\quad$ ของเส้นตรงเส้นเดียวกันก็ได้ เช่น โจทย์ให้พิสูจน์ด้าน x = y เราอาจพิสูจน์ให้ x และ y
$\quad$ ต่างก็เท่ากับ z หรือเป็น 2 เท่า หรือเป็น 1/2 ของ z ก็ได้

ค. ถ้าเป็นด้านหนึ่งเท่ากับ 2 ด้านรวมกัน สมมติว่าโจทย์ให้พิสูจน์ x = y + z เราอาจจะพิสูจน์ให้ส่วนหนึ่ง
$\quad$ ของ x = y แล้วส่วนที่เหลือของ x = z ก็ได้ แต่ถ้าด้านเหล่านั้นเป็นเส้นตั้งฉาก สู้วิธีพยายาม
$\quad$ พิสูจน์ให้พื้นที่ของทั้งสองข้างเท่ากัน แล้วฐานเท่ากันจะดีกว่า และวิธีนี้อาจนำไปใช้กับหลายด้าน
$\quad$ เท่ากันได้ด้วย
$\quad$ ถ้าด้านเป็นเส้นทแยงมุม ไปเท่ากับผลบวกของด้านของเส้นทแยงมุม ควรพยายามใช้ผลบวกของ
$\quad$ สี่เหลี่ยม ซึ่งประกอบด้วยด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่อยู่ในวงกลม ย่อมเท่ากับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
$\quad$ ซึ่งประกอบด้วยเส้นทแยงมุม

------------------------------------

เพื่อนๆ ลองอาศัยหลักการเหล่านี้ ประกอบกับเนื้อหาในบทนำ เพื่อวิเคราะห์ตัวอย่างที่ 1 ถึง 16 ดูซิครับว่า
ความรู้ที่ได้จากหนังสือเล่มนี้ ทำให้ตัวเราเองแก้โจทย์อย่างมีหลักการคิดที่ดีขึ้นบ้างหรือไม่ ???
.

[Switchgear]

แวะเข้ามาเฉลยตัวอย่างที่ 1 ... ผมคงโพสต์เฉลยแค่ตัวอย่างที่ 1 นี้ กับตัวอย่างที่ 12 ที่โพสต์ไปแล้ว
เพื่อเป็นแนวทาง ส่วนตัวอย่างที่เหลือเก็บไว้ให้ลองคิดกันเองครับ!

จากเฉลยตัวอย่างที่ 1 ที่แนบมา จะพบว่าโจทย์ถามด้าน 2 ด้านเท่ากันของสามเหลี่ยมรูปเดียวกัน จึง
ตรงกับหลักข้อ 1. ตามคำแนะนำของบทที่ 1 นั่นคือ พยายามคิดให้มุมตรงข้ามกับด้านเท่ากัน
ในข้อนี้หมายถึง "มุม x = มุม y" คือ เป้าหมายของการพิสูจน์ ซึ่งถ้าทำได้ก็ปิดเกม!

ต่อไปก็ต้องอาศัย "หลักการคิด" ตามหัวข้อสุดท้ายในบทนำ นั่นคือ คิดย้อนจากผลที่ต้องการ ดูว่า
เกิดจากเหตุอะไร ซึ่งเราจะพบว่า มุม x เป็นมุมภายนอกของสามเหลี่ยมที่เกิดจาก "มุม 2 + มุม 3"
ทำนองเดียวกัน มุม y ก็เกิดจาก "มุม 1 + มุม 4" ซึ่งตรงกับ จุดสำคัญ ในเฉลยแบบย่อนั่นเอง

จากนั้นเมื่อย้อนกลับไปทบทวนหัวข้อ "การเตรียมทฤษฎีบทเพื่อสะดวกแก่การใช้" ในบทนำ พบว่า
ข้อย่อย ข. มีผลมุมเท่ากันของ "ข้อ 2. ยึดผลเป็นหลัก" ประเด็น VI (ท.บ.49) นำมาแก้ปัญหาได้
ทำให้พิสูจน์ "มุม 2 = มุม 1" และ "มุม 4 = มุม 3" ซึ่งเป็นจุดสำคัญได้สำเร็จ และเดินต่อจนจบได้

นอกจากนี้ผู้อ่าน ควรใช้ตัวอย่างที่ 1 ในการทบทวนทุกหัวข้อในบทนำอีกครั้ง จะพบว่าคำแนะนำต่างๆ
ที่กล่าวไปทั้งหมด แฝงอยู่ในตัวอย่างนี้อย่างสมบูรณ์ ยิ่งย้อนกลับไปทบทวนเราก็จะยิ่งเข้าใจมากขึ้น
และควรจะลองศึกษาตัวอย่างที่ 12 ที่เคยโพสต์ไปแล้ว ตามแนวทางที่ผมลองนำเสนอด้วย

ตัวอย่างที่เหลือผมคงไม่เฉลยแล้ว จะข้ามไปขึ้นบทที่ 2 ต่อในคราวหน้าครับ

.

[Switchgear]

หากผู้อ่านสังเกตและศึกษาตัวอย่างที่ 1 และ 12 ให้ละเอียด รวมทั้งทบทวนเนื้อหาก่อนหน้านั้นทั้งหมด
จะพบว่า หนังสือเล่มนี้อธิบายใจความสำคัญอย่างครบถ้วน และนำสิ่งที่อธิบายไปใช้แก้โจทย์ที่ตามมา
นี่คือ หนังสือที่เขียนโดยฝีมือชั้นครูจริงๆ ... ไม่ใช่นักลอกเลียนแบบหรือนักหยิบฉวยมายำใหม่

ต่างจากหนังสือปัจจุบันส่วนใหญ่ ที่ลอกคำอธิบายจากหนังสือเล่มหนึ่ง แล้วยกตัวอย่างยากๆ ที่ลอกจาก
หนังสือเล่มอื่นมาต่อท้าย โดยไม่ได้สัมพันธ์กันเลย ทำให้ผู้อ่านรู้สึกว่า 'อ่านเนื้อหาแล้วไม่ได้อะไรขึ้นมา'
และไม่มีแนวทางที่ชัดเจนในการแก้โจทย์แต่ละข้อที่ตามมา หรือบางทีโจทย์ก็ไม่เกี่ยวกับเนื้อหาบทนั้นด้วยซ้ำ

ผมอยากให้เยาวชนไทย ได้อ่านหนังสือชั้นครูกันมากๆ หนังสือที่สอนและใช้สิ่งที่สอนอย่างเป็นลำดับ!
น่าเสียดายที่แผงหนังสือทุกวันนี้ หาหนังสือระดับนี้ได้ยากเหลือเกิน :-(

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

เห็นด้วยอย่างยิ่งกับคุณswitchgear(พี่เล็ก)นะครับ
แต่ว่า หนังสือสมัยนี้เขาเน้นการตลาดมากไปน่ะครับ

[Switchgear]

ในส่วนของ เรขาคณิต ผมคิดว่าหนังสือ โลกเรขาคณิต ของ อ.ดำรงค์ มีเนื้อหาที่ดีมากดีเดียว
แม้ว่าจะอัดแน่นจนไม่เหมาะสำหรับเป็นหนังสือเล่มแรกในวิชานี้ก็ตาม แต่คนที่พอมีพื้นฐาน
ระดับกลางๆ แล้ว ขอแนะนำให้ฝืนใจอ่าน โลกเรขาคณิต ทีละนิดทีละหน่อย แล้วจะได้
ความรู้มากมายหากทนอ่านจนจบได้

ในหนังสือดังกล่าวมีบทพิสูจน์ทฤษฎีต่างๆ อย่างครบถ้วน พร้อมทั้งโจทย์ยากมากมาย สมควร
หาซื้อไว้ศึกษาอ้างอิงอย่างยิ่งครับ! (แต่ขอเตือนว่าอย่าใช้เริ่มต้นเรียนเรขาคณิต ไม่งั้นท้อ!)

ส่วนเล่มอื่นในท้องตลาดผมยังนึกไม่ออก ... อาจมีอีก แต่ผมอ่านมาน้อยเกินไป :-)

ไหนๆ ก็ชื่นชม โลกเรขาคณิต ของ อ.ดำรงค์ แล้ว ขอแนะนำหนังสือเล่มล่าสุดของอาจารย์
คือ "รวมข้อสอบแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกระหว่างประเทศ IMO 1959-1982" ซึ่ง
พิมพ์ครั้งที่ 1 มกราคม 2553 ไม่รู้ว่าแฟนประจำของอาจารย์ได้หาซื้อมาอ่านกันหรือยัง ?
(ผมเองซื้อมาลูบๆ คลำๆ เป็นเจ้าของ 1 เล่มแล้ว เมื่อสองสัปดาห์ที่ผ่านมา)

ส่วน IMO ปีที่เหลือนั้น อาจารย์เขียนไว้ในคำนำว่าจะเป็นเล่มต่อไปครับ!

[Switchgear]

เอาโจทย์ตัวอย่างใน บทที่ 2 หลักการพิสูจน์มุมเป็นมุมฉาก หรือเส้นตรงตั้งฉากกัน มาแปะไว้ก่อน
มีอยู่ 14 ข้อ เผื่อว่าใครจะลองเอาไปคิดเล่นๆ แล้วผมค่อยมาแปะหลักการคิดให้อีกที

----------------------------

ตัวอย่างที่ 17 ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่บรรจุอยู่ในวงกลม ถ้าต่อด้าน AD, BC ไปพบกันที่จุด P
และต่อด้าน AB, DC พบกันที่จุด Q จงพิสูจน์ว่าเส้นแบ่งครึ่งมุม APB กับเส้นแบ่งครึ่งมุม AQD
จะตัดกันเป็นมุมฉาก

ตัวอย่างที่ 18 วงกลม 2 วงสัมผัสกันอย่างภายนอกที่ C มี AB เป็นเส้นสัมผัสวงร่วม สัมผัสวงกลม
ทั้ง 2 ที่ A, B จงพิสูจน์ว่า ACB เป็นมุมฉาก

ตัวอย่างที่ 19 เส้นสัมผัส 2 เส้นขนานกัน มีเส้นสัมผัสวงเส้นที่ 3 ไปตัดเส้นสัมผัสวง 2 เส้นนั้น
จงพิสูจน์ว่าส่วนที่ถูกตัดโดยเส้นสัมผัสวงทั้ง 2 กางมุมที่จุดศูนย์กลางได้มุมเป็นมุมฉาก

ตัวอย่างที่ 20 PQRM เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส N เป็นจุดๆ หนึ่งบน PQ และ S เป็นจุดๆ หนึ่งบน QR
ทำให้ MN = PS จงพิสูจน์ว่า MN และ PS ตัดกันเป็นมุมฉาก

ตัวอย่างที่ 21 PQRM เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน QSNR และ RMDC เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 รูป
สร้างบนด้าน QR, RM จงพิสูจน์ว่า PR ต่อออกไปตั้งฉากกับ CN

ตัวอย่างที่ 22 ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุม ABC เป็นมุมฉาก ABDN, BCPQ เป็น
สี่เหลี่ยมจัตุรัสสร้างบนด้าน AB, BC ถ้าต่อ PQ, ND ไปพบกันที่ M แล้ว จงพิสูจน์ว่า
MB ที่ต่อออกไปจะตั้งฉากกับ AC

ตัวอย่างที่ 23 PQ เป็นเส้นผ่าศูนย์กลางของครึ่งวงกลม AP, BQ เป็นคอร์ด 2 คอร์ด ตัดกัน
ที่จุด M ถ้าต่อ PB, QA ไปพบกันที่ R จงพิสูจน์ว่า RM ที่ต่อออกไปจะตั้งฉากกับ PQ

ตัวอย่างที่ 24 ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมบรรจุอยู่ภายในวงกลม ลาก BM ตั้งฉาก AC
ต่อ BM ไปพบเส้นรอบวงที่ N ให้ O เป็นจุดบน MB ซึ่งทำให้ OM = MN
จงพิสูจน์ว่า CO ต่อออกไปตั้งฉากกับ AB

ตัวอย่างที่ 25 จงพิสูจน์ว่า เส้นที่ลากจากจุดศูนย์กลางของวงกลมไปยังมุมยอดของรูปสามเหลี่ยม
ที่บรรจุในวงกลมนั้น ย่อมตัดด้านของสามเหลี่ยมพีแดล (Pedal triangle) เป็นมุมฉาก

ตัวอย่างที่ 26 AB เป็นเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลม ซึ่ง M เป็นจุดศูนย์กลาง AP, BQ เป็น
คอร์ด 2 คอร์ดตัดกันที่จุด R ถ้า N เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมซึ่งล้อม PQR จงพิสูจน์ว่า
MQ ตั้งฉากกับ NQ

ตัวอย่างที่ 27 ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมอยู่ในวงกลม O เป็นจุดๆ หนึ่งอยู่บนเส้นรอบวง
ลาก OM, ON ตั้งฉาก AB, BC ที่ M, N โยง MN ตัด AC ที่ R จงพิสูจน์ว่า
OR ตั้งฉาก AC


ตัวอย่างที่ 28 ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมบรรจุในวงกลม P เป็นจุดๆ หนึ่งอยู่บน
เส้นรอบวง ถ้าลาก PX, PY ตั้งฉาก AB, BC ที่ X, Y แล้วต่อ XY ไปพบ BC
ที่ Z จงพิสูจน์ว่า PZ ตั้งฉาก BC

ตัวอย่างที่ 29 สี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีวงกลมบรรจุอยู่ภายใน และมีวงกลมล้อมรอบ
จงพิสูจน์ว่า เส้นที่โยงระหว่างจุดสัมผัสที่อยู่ตรงกันข้าม ตัดกันเป็นมุมฉาก

ตัวอย่างที่ 30 ในรูป (ก) AB, CD ต่างตั้งฉาก AC ถ้า AX = 12k, XC = 5 m,
CD = 12 m และ BX = 13k จงพิสูจน์ว่า BXD เป็นมุมฉาก

[Switchgear]

มาแล้วครับ คำแนะนำเกี่ยวกับหลักการคิดบทที่ 2
หวังว่าคงเป็นประโยชน์ต่อคนที่อยากลองคิดโจทย์ตัวอย่างที่โพสต์ไว้ก่อนนี้

-----------------------------------------

บทที่ 2 หลักการพิสูจน์มุมเป็นมุมฉาก หรือเส้นตรงตั้งฉากกัน

1. พยายามพิสูจน์ให้มุมประชิดเท่ากัน หรือเป็น 1/2 ของมุมประชิดรวมกัน (ท.บ.1)

2. พยายามพิสูจน์ให้เป็นเส้นที่สั้นที่สุด (ท.บ.12)

3. โยงให้เป็นรูปสามเหลี่ยม แล้วพยายามพิสูจน์ให้ผลบวกของสองมุม = 1 มุมฉาก
$\quad$ หรือ = มุมที่ 3 เช่นในรูปสามเหลี่ยม ABC ถ้าพิสูจน์ได้ว่า A + C = 1 มุมฉาก
$\quad$ หรือ A + C = B จะอ้างได้ว่า B เป็นมุมฉาก (ท.บ.16)

4. เมื่อมีเส้นขนานกับเส้นขวาง พยายามพิสูจน์ให้มุมภายในข้างเดียวกันเท่ากัน (ท.บ.14)

5. พยายามพิสูจน์ให้สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมนั้น = ผลบวกของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
$\quad$ บนด้านประกอบมุม (ท.บ.30)

6. พยายามพิสูจน์ให้เป็นเส้นที่ลากจากจุดศูนย์กลางของวงกลม มาแบ่งครึ่งคอร์ด (ท.บ.31)

7. เมื่อเป็นรูปสี่เหลี่ยมบรรจุในวงกลม พยายามพิสูจน์ให้มุมตรงข้ามเท่ากัน (ท.บ.40)

8. พยายามพิสูจน์ให้เป็นมุมในครึ่งวงกลม (ท.บ.41)

9. พยายามพิสูจน์ให้เป็นเส้นสัมผัสวงกับรัศมี (ท.บ.46)

10. ถ้าในรูปมีมุมที่เป็นมุมฉากอยู่แล้ว ก็พยายามพิสูจน์ให้เท่ากับมุมที่เป็นมุมฉากนั้น
$\quad\;\;$ และใช้หลักเกณฑ์เหมือนกับพิสูจน์มุมเท่ากัน ด้านเท่ากัน ดังในบทที่ 1 มาช่วย
$\quad\;\;$ เรื่องมุมเท่ากันนี้ควรคิดถึงทฤษฎีบทต่อไปนี้มาประกอบด้วย คือ
$\quad\;\;$ ก. มุมในเซกเมนต์ของวงกลมเดียวกันย่อมเท่ากัน (ท.บ.39)
$\quad\;\;$ ข. มุมที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน (ท.บ.16)
$\quad\;\;$ ค. มุมแย้งเท่ากัน และมุมภายนอก = มุมภายในข้างเดียวกัน (ท.บ.14)
$\quad\;\;$ ง. มุมเกิดจากคอร์ดกับเส้นสัมผัส เท่ากับมุมในเซกเมนต์ตรงข้าม (ท.บ.49)

[Switchgear]

แวะเข้ามาโพสต์เฉลยตัวอย่างที่ 17 เพื่อให้เห็นแนวทางแก้โจทย์บทที่ 2 ... ตัวอย่างอื่นทิ้งไว้ให้คิดเล่นครับ!
แนวทางในการศึกษาเฉลยด้วยตัวเอง ก็เหมือนกับที่ผมเคยแนะนำในบทที่ 1 คือให้ทบทวนบทนำแต่ละหัวข้อ
พร้อมกับคำแนะนำในแต่ละบทไปพร้อมๆ กัน

โปรดติดตามคำแนะนำในการแก้โจทย์บทที่ 3 ต่อไป ...
.

[กิตติ]

พี่เล็กขยันจังครับ....เรขาคณิตเป็นยาดำยาขมของผมเลยแหละครับ เข้ามาเป็นกำลังใจให้
ผมคงขุดของเดิมไม่ขึ้นแล้วครับ มันฝังไว้ลึกครับ
อ่านคร่าวๆแล้ว ผมว่าเข้าทำนองปรัชญาในการแก้โจทย์เรขาคณิต ผมว่ามันก็สำคัญเหมือนกัน
ความรู้ในการแก้โจทย์มันก็เหมือนเครื่องมือ ปรัชญาหรือแนวคิดนั้นมันเป็นมุมมองจากมุมสูงให้เห็นตัวปัญหาทั้งหมด
เหมือนการแก้ปมเชือกที่พันกันยุ่ง เครื่องมือมันมีตั้งแต่ใช้กรรไกรตัด หรือใช้ขอเหล็กค่อยๆเกี่ยว
แนวคิดคงคล้ายๆกับมุมมองและการเลือก...ว่าจะตัดปม หรือค่อยๆแก้ปมทีละปม มันขึ้นกับผลลัพธ์ที่ต้องการ
ไม่มีอะไรแลกเปลี่ยนครับ...แวะมาเยี่ยมครับ

[Switchgear]

ผมชอบการเปรียบเทียบของคุณกิตติครับ คิดไปแล้วหนังสือส่วนใหญ่คงสอนแต่วิธีใช้เครื่องมือแต่ละชิ้น
แต่หนังสือเล่มนี้สอนการเลือกเครื่องมือให้ถูกจังหวะเวลา ในแต่ละขั้นตอนของการแก้ปมเชือก :-)

[์nat]

อยากอ่านบ้างอ่ะค่ะ ซื้อได้ที่ไหนๆ

[~ArT_Ty~]

มีโจทย์ในหนังสืออีกมั้ยครับ อยากทำอีกครับ

[Switchgear]

โจทย์ยังมีอีก แต่เห็นว่าไม่ค่อยมีใครเข้าอ่าน ประกอบกับมีงานประจำเข้ามาเยอะ
ช่วงนี้เลยหายไปเกือบเดือน ...

[banker]

ช่วย scan ปกให้ดูหน่อยได้ไหมครับ

[2012]

อยากอ่านต่อครับ ขอบคุณครับพี่เล็ก

ขอบูชาพระคุณครู ปรมาจารย์ลัยอาจ ภมะราภา

" พฤกษพกาสร อีกกุญชรอันปลดปลง
โททนต์เสน่งคง สำคัญหมายในกายมี
นรชาติวางวาย มลายสิ้นทั้งอินทรีย์
สถิตย์ทั่วแต่ชั่วดี ประดับไว้ในโลกา "

[banker]

ปกหนังสือครับ

3592

Author ลัยอาจ ภมะราภา
Title หลักการพิสุจน์เรขาณิต/ ลัยอาจ ภมะราภา
Edition พิมพ์ครั้งที่ 2 พ.ศ.2508
Imprint กรุงเทพ : ไทยวัฒนาพาณิช , 2508
Description 163 หน้า :21 ซม.
Subject คณิตศาสตร์

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

เข้มขลังมาก

[banker]

กำลังถ่ายเอกสาร ทำเป็นเล่มอยู่ เย็นนี้คงเสร็จ

(ต้องรีบเสร็จ เพราะทางห้องสมุดให้เอากลับไปคืนเย็นนี้) :haha:

คุณกระบี่ฯสนใจไหม

[Siren-Of-Step]

อ. banker ครับ ผมขอแจมด้วยได้ไหม (สนใจอะครับ)

[banker]

ถ้าสนใจก็ PM ชื่อ ที่อยู่ มา แล้วจะส่งไปให้

[หยินหยาง]

ถ้าสนใจก็ PM ชื่อ ที่อยู่ มา แล้วจะส่งไปให้
ใจปล้ำจริงๆ ระวังนะครับสมาชิกมีถึง 14,720 คนนะครับ
สนใจแต่เกรงใจครับ 555+
ปล.ที่จะส่งให้นี่คือ ปกหนังสือ ใช่มั้ยครับ :D:D

[banker]

ใจปล้ำจริงๆ ระวังนะครับสมาชิกมีถึง 14,720 คนนะครับ
สนใจแต่เกรงใจครับ 555+
ปล.ที่จะส่งให้นี่คือ ปกหนังสือ ใช่มั้ยครับ :D:D


ถ้ามีคนสนใจเป็นหมื่นก็ดีซิครับ จะได้มีคนเก่งเรขาคณิตแยะๆ (เรขาคณิตที่เป็นยาขมสำหรับหลายๆคน)

ถ้าใครสนใจ ก็ PM ชื่อที่อยู่มา เดี๋ยวจัดส่งไปให้ เป็นอภินันทนาการ :haha:

[กิตติ]

สนใจครับป๋าBanker รบกวนเล่มหนึ่งครับ เดี๋ยวPMไปหาครับ

[~ArT_Ty~]

ค่าจัดส่งเท่าไหร่ครับ

ขอมั่งได้มั้ยครับ

[banker]

ค่าจัดส่งเท่าไหร่ครับ

ขอมั่งได้มั้ยครับ

ถ้าสนใจ ก็ PM ชื่อที่อยู่มา เดี๋ยวจัดส่งไปให้ เป็นอภินันทนาการฟรี

พรุ่งนี้ วันอังคารจะจัดส่งแล้วครับ

[pure_mathja]

ขอด้วยคนนะครับ คุณ banker

[หยินหยาง]

ถ้าสนใจ ก็ PM ชื่อที่อยู่มา เดี๋ยวจัดส่งไปให้ เป็นอภินันทนาการฟรี

พรุ่งนี้ วันอังคารจะจัดส่งแล้วครับ

พรุ่งนี้ไม่ใช่ วันสาร์ทจีน หรือครับ ขอเป็นส่งเป็ด ส่งไก่ เอาไปไหว้เจ้าดีกว่าครับ จะได้ขอเจ้าให้เวลาอ่านหนังสือจะได้จำเข้าหัวบ้าง

[kongp]

ขอด้วยครับ

นายพงษ์พันธุ์ โปรณะ ร้านอำนวยพร ถ.สถลเชียงคาน อ.เมือง จ.เลย 42000

ค่าจัดส่งบอกด้วยครับ อยู่ไกลคงแพง

[banker]

วันนี้ ส่งให้ทุกท่านที่ขอมาแล้ว ยกเว้นคุณ kongp (เพิ่งมาเห็น)

วันนี้เหนื่อยแล้ว พรุ่งนี้จะส่งไปให้ครับ :haha:

[Siren-Of-Step]

วันนี้ ส่งให้ทุกท่านที่ขอมาแล้ว ยกเว้นคุณ kongp (เพิ่งมาเห็น)

วันนี้เหนื่อยแล้ว พรุ่งนี้จะส่งไปให้ครับ :haha:

ขอบคุณมาก ๆ นะครับ อานี้ ใจดีจริง ๆ อีกไม่ถึงอาทิตย์ก็วันเกิดอา แล้วสิครับ :D

[~ArT_Ty~]

ขอด้วยครับ

[banker]

ส่งให้ครบทุกคนแล้วนะครับ

คาดว่าภายในสัปดาห์นี้ น่าจะได้รับทุกคน

[!!!-Argentum-!!!]

รบกวนด้วยครับ คุณลุง

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

วันนี้ผมได้รับหนังสือจากคุณอาbankerแล้วครับ
หายไปหลายวัน พอดีภรรยาให้กำเนิดลูกชาย
ไปนอนโรงพยาบาลเป็นเพื่อนภรรยาเลยไม่ได้เข้ามาเลยครับ
กลับบ้านวันนี้ไปรษณีย์มาส่งหนังสือให้พอดี
ขอขอบพระคุณ คุณอาbankerมากๆครับ

[banker]

ยินดีด้วยครับ

ขอให้แข็งแรงทั้งแม่และลูกนะครับ

[กิตติ]

ขอแสดงความยินดีกับคุณพ่อคนใหม่ ขอให้คุณแม่และคุณลูกแข็งแรงสมบูรณ์
ผมเองก็เลี้ยงลูกคนเล็กอายุ1เดือนกับ7วัน...ตื่นกลางคืนตลอดทุกชั่วโมง เด็กยังปรับเวลาไม่ได้ ได้แต่รอให้เขาปรับเวลานอนให้ได้

[banker]

แต่ละคน พ่อลูกอ่อน ทั้งนั้น :haha:

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ครับ ลูกชายผมเมื่อคืนตื่นตี4ครึ่ง จับกินนมแล้วก็ไม่ยอมนอน
สงสัยช่วงนี้ผมกับภรรยาคงอดนอนกันมาราธอนเลยครับ
แต่ก็มีความสุขดีนะครับ จริงไหมครับคุณกิตติ
ป.ล. คุณอาbanker ถ้าผมจะปรึกษาวิธีเลี้ยงลูกคุณอาจะสะดวกไหมครับ

[poper]

ยินดีกับคุณกระบี่ด้วยครับ
ขอให้สุขภาพแข็งแรงทั้งครอบครัวนะครับ
(ถึงว่าช่วงนี้เงียบๆไป)

[Siren-Of-Step]

มีใครเคยซื้อ โลกเรขาคณิต ไหมครับ ระดับแบบฝึกหัดประมาณไหนหรอครับ

[banker]

ครับ ลูกชายผมเมื่อคืนตื่นตี4ครึ่ง จับกินนมแล้วก็ไม่ยอมนอน
สงสัยช่วงนี้ผมกับภรรยาคงอดนอนกันมาราธอนเลยครับ
แต่ก็มีความสุขดีนะครับ จริงไหมครับคุณกิตติ
ป.ล. คุณอาbanker ถ้าผมจะปรึกษาวิธีเลี้ยงลูกคุณอาจะสะดวกไหมครับ


แหม ... เลี้ยงลูก ลืมไปหมดแล้ว แต่ถ้าเลี้ยงเด็ก ..... อุ๊พ .. ไม่เอาดีกว่า :haha:

คุณกิตติ น่าจะให้คำแนะนำได้ดีกว่าครับ

หรือไม่ก็ลองโพสต์เป็นกระทู้ในฟรีสไตล์ ดู แล้วมาช่วยกันเลี้ยงลูกคุณกระบี่ฯกัน ผมว่าแต่ละคนในนี้น่าจะมีประสบการณ์ดีๆแนะนำ

5555 เมื่อคนชอบคณิตมาเลี้ยงลูก ก็น่าจะเก๋ไปอีกแบบสำหรับเว็บคณิตศาสตร์ :haha:

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

แหมคุณอาbanker ใช้คำว่าเลี้ยงหลานดีกว่าไหมครับ
ป.ล.ผมกลัวจะผิดจุดประสงค์เว็บบอร์ดนี้จังครับ
เอาเป็นว่าถ้ามีอะไรผมจะpmไปคุยแล้วกันครับทั้งคุณอาbanker
และคุณกิตติด้วย

[กิตติ]

ลูกชายคนเล็กอายุห่างจากเจ้าคนโต1รอบ....ผมก็ลืมไปแล้วว่าเลี้ยงเด็กเล็กเป็นยังไง ก็คลำทางใหม่เหมือนกันครับ
ผมแนะนำคุณกระบี่เดียวดายว่า....สำหรับลูกคนแรกก็ยังเขอะๆเขินอยู่ พอมีคนที่สองที่สามเดี๋ยวก็คล่องมือเอง เหมือนตอนทำโจทย์คณิตศาสตร์
ดังนั้นข้อแนะนำคือ ทุกอย่างจะดีขึ้นและเรียบร้อยมากขึ้นเมื่อมีลูกคนที่สองและสาม...จริงไหมครับป๋าBanker

[banker]

ลูกชายคนเล็กอายุห่างจากเจ้าคนโต1รอบ....ผมก็ลืมไปแล้วว่าเลี้ยงเด็กเล็กเป็นยังไง ก็คลำทางใหม่เหมือนกันครับ
ผมแนะนำคุณกระบี่เดียวดายว่า....สำหรับลูกคนแรกก็ยังเขอะๆเขินอยู่ พอมีคนที่สองที่สามเดี๋ยวก็คล่องมือเอง เหมือนตอนทำโจทย์คณิตศาสตร์
ดังนั้นข้อแนะนำคือ ทุกอย่างจะดีขึ้นและเรียบร้อยมากขึ้นเมื่อมีลูกคนที่สองและสาม...จริงไหมครับป๋าBanker

อาจไม่จริงก็ได้ อย่างคุณกิตติ มีลูกคนที่สอง ยังต้องคลำทางใหม่เลย :haha:

แต่ก็อย่างว่าแหละครับ เหมือนทำโจทย์คณิตศาสตร์ ไม่ได้ทำนานๆ ก็ไม่ค่อยคล่อง :haha:

ดังนั้นคุณกิตติ ก็เลยแนะนำคุณกระบี่ฯว่า รีบๆมีลูกเป็นซีรี่อนุกรม แล้วปิดโรงงานไปเลย ใช่ไหมครับคุณกิตติ :haha:

[กิตติ]

ขอบคุณครับลุงBanker....ผมได้รับหนังสือที่ลุงส่งมาให้แล้วครับ หนังสือเย็บเล่มมาอย่างดีเลยครับ
หนังสือวิชาเรขาคณิตที่เป็นยาขมสำหรับผม ถ้าได้อ่านหนังสือที่ลุงมาให้แล้ว ยาขมถ้วยนี้คงจะเปลี่ยนเป็นยาหวานน้ำเต้าทอง
ช่วยแก้ช้ำในเวลาเห็นโจทย์เรขาคณิต ผมเห็นทีไรข้ามไปทำข้ออื่นทุกทีครับ
หนังสือแต่ละเล่มที่ส่งมาให้นั้น ทรงคุณค่าและคลาสิคมากๆครับ

ผมมีลูกสามคนแล้วครับ ยังคลำทางเลี้ยงเด็กเล็กอยู่เลยครับ คนกลางห่างคนเล็ก 10 ปีครับ
คุณกระบี่ไม่ต้องแปลกใจหรอกครับว่า แค่คนแรกก็เล่นเอามึน

[Siren-Of-Step]

ผมก็ได้เช่นกันครับ ขอบคุณอามาก ๆ นะครับ อยากรู้ว่า มันคล้าย ๆ กับ 78 กระบวนท่าเรขาคณิตไหมครับ

[กิตติ]

78 กระบวนท่าเรขาคณิต.....เป็นหนังสือที่ออกโดยชุมนุมคณิตศาสตร์โรงเรียนเตรียมอุดม ปี 2518 เน้นเรื่องความรู้ทฤษฎีบทเป็นหลัก
หนังสือที่คุณลุงBankerส่งมาให้เนื้อหาจะคล้ายๆสอนการประยุกต์แนวคิดในการแก้โจทย์

[Αρχιμήδης]

ผมก็ได้แล้วครับ ขอบคุณ คุณลุงBANKER มากครับ :D ทำเป็นรูปเล่มอย่างดี ขอคารวะจริงๆครับ:please:

ช่วงนี้เตรียมตัวสอบเข้ามหาลัย เหนื่อยจริงๆครับ รอทุกอย่างเข้าที่เข้าทางผมขอตอบแทนคุณลุงBANKER บ้าง

[banker]

ผมก็ได้แล้วครับ ขอบคุณ คุณลุงBANKER มากครับ :D ทำเป็นรูปเล่มอย่างดี ขอคารวะจริงๆครับ:please:

ช่วงนี้เตรียมตัวสอบเข้ามหาลัย เหนื่อยจริงๆครับ รอทุกอย่างเข้าที่เข้าทางผมขอตอบแทนคุณลุงBANKER บ้าง

ถ้าจะตอบแทนผม เอาอย่างนี้นะครับ

ตั้งใจเรียน ขยันๆ ให้มีความรู้มากๆ

รู้แล้วก็มาช่วยน้องๆ ในเว็บนี้ :D

[~ArT_Ty~]

มีใครรู้บ้างครับว่าแบบฝึกหัดข้อ 60-63 เขียนว่าอย่างไรบ้างครับ

ของผมมันลบไปอ่ะครับ

[SolitudE]

มีใครรู้บ้างครับว่าแบบฝึกหัดข้อ 60-63 เขียนว่าอย่างไรบ้างครับ

ของผมมันลบไปอ่ะครับ

มันไม่ได้ลบครับ แต่โดนบังด้วยใบยืมหนังสือ :kiki:

[~ArT_Ty~]

มันไม่ได้ลบครับ แต่โดนบังด้วยใบยืมหนังสือ :kiki:

นั่นแหละครับ

แล้วมันเขียนว่าอะไรครับ

[banker]

มาสรุปอีกทีครับ

ผมไปดูต้นฉบับที่ copy มาแล้ว หน้านั้นโดนใบยืมหนังสือปิดไว้

ก็เลยไม่เห็นสามสี่ข้อนั้นครับ

[Αρχιμήδης]

ถ้าจะตอบแทนผม เอาอย่างนี้นะครับ

ตั้งใจเรียน ขยันๆ ให้มีความรู้มากๆ

รู้แล้วก็มาช่วยน้องๆ ในเว็บนี้ :D

ขอบคุณมากครับ แต่ที่ว่าให้ผมช่วยน้องๆ นั้น ผมว่าน่าจะให้น้องๆ ช่วยผมมากกว่า :haha::haha::haha:

หนังสือที่ท่านลัยอาจ ภมะราภา ใช้เป็นคู่มือ ผมหาได้แค่เล่มเดียวครับ (เท่าที่ผมหาเล่มอื่นๆ ต้องเสียเงินโหลด:p)
H. S. Hall, F. H . Stevens, Euclid
http://www.archive.org/details/atextbookeuclid00euclgoog

[หยินหยาง]

ถ้าจะตอบแทนผม เอาอย่างนี้นะครับ

ตั้งใจเรียน ขยันๆ ให้มีความรู้มากๆ

รู้แล้วก็มาช่วยน้องๆ ในเว็บนี้ :D

ตอนแจกก็เท่แล้ว แจกเสร็จยังหล่ออีกต่างหาก :great::great::great::please:

แสดงว่าคราวหน้าต้องระวังห้ามช่วยเหลือผู้อาวุโสแล้วซิครับ :laugh::laugh:

[กิตติ]

ยกเว้นผมไว้คนหนึ่งแล้วกันครับ...ไม่ได้เป็นน้อง แต่สมควรช่วย เพราะคิดสะเพร่าประจำ

[[FC]_Inuyasha]

ช่วยแนะนำหนังสือเรขาคณิตสำหรับผู้เริ่มต้น หน่อยได้ไหมครับ ?
แบบไม่เบสิคเกินไปและไม่โหดจนเกินไปน่ะครับ

[Switchgear]

เพิ่งแวะเข้ามาเจอว่าคุณ banker กรุณาแจกจ่ายหนังสือ ... ต้องขอร่วมชื่นชมด้วยครับ

เห็นมีคนถามหาแบบฝึกหัดข้อ 60-63 ผมจึงลองโพสต์ให้ คิดว่าคงจะใช่ข้อที่ต้องการ
.

[banker]

ขอบคุณท่านSwitchgearครับ

[Switchgear]

แบบฝึกหัดในหนังสือเล่มนี้ไม่มีเฉลย ฉะนั้นหากใครคิดเฉลยได้ ก็น่าจะลองโพสต์ดู
เพื่อเป็นวิทยาทานเพิ่มเติมสำหรับผู้อ่านอีกหลายคน :-)

[~ArT_Ty~]

ขอเฉลยครับ

4251

[kongp]

อยากทราบประโยชน์ของวิชานี้ครับ เห็นเอามาถามกันบ่อย พวกที่เรียนโยธา หรือ เครื่องกล คงบอกได้ บอกมาสิครับ อยากรู้?

[pangalbert]

ขอด้วยได้ไหมครับ ยังได้ไหม เพิ่งมาเจออ่ะ

[pangalbert]

ยังได้อยู่ไหมครับ

[akaluck]

ขอรื้อกระทู้เก่าครับ และ ขอความช่วยเหลือจากสมาชิก MC ที่ได้รับเหนังสือหรือที่มีหนังสือนี้ ผมสนใจหนังสือเล่มนี้มากๆครับช่วยแชร์กันหน่อยครับ คนละแผ่นสองแผ่นครับหรือทั้งเล่มก็ดีครับ ขอบคุณมากครับ