ช่วยหน่อยครับ JAPAN 2009

[LightLucifer]

Let $\Gamma $ be a circumcircle. A circle with center $O$ touches to line segment $BC$ at $P$ and touches the arc $BC$ of $\Gamma $ which doesn’t have $A$ at $ Q$. If $\angle BAO $= $\angle \ CAO$, then prove that $\angle PAO = \angle \ QAO.$

[~ArT_Ty~]

แปลหน่อยครับ

ไม่ค่อยแน่ใจ

[LightLucifer]

ผมก็ไม่ค่อยแน่ใจนะครับ
$\Gamma $ เป็นวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$ วงกลม $O$ สมัผัสส่วนของเส้นตรง $BC$ ที่ $P$ และสัมผัสส่วนโค้ง $BC$ ด้านที่ไม่มีจุด $A$ ที่ $Q$ ถ้า $\angle BAO $= $\angle \ CAO$ จงพิสูจน์ว่า $\angle PAO = \angle \ QAO$

[passer-by]

Let $\Gamma $ be a circumcircle. A circle with center $O$ touches to line segment $BC$ at $P$ and touches the arc $BC$ of $\Gamma $ which doesn?t have $A$ at $ Q$. If $\angle BAO $= $\angle \ CAO$, then prove that $\angle PAO = \angle \ QAO.$


Hint: ต่อ AO ชน $\Gamma$ ที่ X ลาก QO มายัง circumcenter $O'$ และลาก $XO'$ จากนั้นก็พยายามพิสูจน์ APOQ cyclic ก็จบครับ

[LightLucifer]

THX for HINT ครับ

มีเรื่องสงสัยอีกข้อหนึ่งครับ
ผมไปอ่านหนังสือเล่มหนึ่งมา มันเฉลยโจทย์โดยใช้ทฤษฎีของนิวตัน แล้วบอกว่าเส้นสามเส้น concurrent กันอ่ะครับ
ผมเลยลอง search ใน internet ดูแต่ยังไม่เจอทฤษฎีนี้เลย
ใครทราบรบกวนอธิบายด้วยครับ

[Keehlzver]

ไม่ทราบว่าใช่สิ่งที่ต้องการหรือเปล่าครับ

Theorem. [Newton’s theorem] Let $ABCD$ be a quadrilateral, $AD\cap BC = E$,
and $AB\cap DC = F$ (such points $A,B,C,D,E, F$ form a complete quadrilateral).
Then the midpoints of $AC, BD,$ and $EF$ are collinear. If $ABCD$ is tangent,
then the incenter also lies on this line.

ที่มา:IMOMATH.COM ตรง Olympiad training Materials

[passer-by]

ผมไปอ่านหนังสือเล่มหนึ่งมา มันเฉลยโจทย์โดยใช้ทฤษฎีของนิวตัน แล้วบอกว่าเส้นสามเส้น concurrent กันอ่ะครับ
ผมเลยลอง search ใน internet ดูแต่ยังไม่เจอทฤษฎีนี้เลย
ใครทราบรบกวนอธิบายด้วยครับ

ลองดู link ข้างล่าง หน้า 2 ครับ
Newton's theorem (http://www.math.ust.hk/excalibur/v10_n3.pdf)

ส่วนใน case ของคุณ Keehlzver ก็ newton เหมือนกัน แต่ผมจะเรียก Gauss line แทน ตามชื่อเส้นที่เชื่อม midpoint ดังกล่าวครับ

[LightLucifer]

ขอบคุณมากๆเลยครับ

[LightLucifer]

มีอีกข้อให้ช่วยครับ

ให้ $ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมจตุรัส$E$และ$F$เป็นจุดบนด้าน$AB$และ$CD$ตามลำดับ โดยที่ $BE=BF$ ถ้า$N$เป็นจุดบน$CE$ที่ทำให้$\angle DNF = 90^{๐}$ จงพิสูจน์ว่า $\angle BNE=90^{๐}$